Mittens ekvation

Simulerad vy av ett objekt i en elliptisk omloppsbana , sett från omloppsbanans fokus . Vyn roterar med medelanomali , så objektet verkar svänga fram och tillbaka över denna medelposition med ekvationen för mitten . Objektet verkar också bli mindre och större när det rör sig längre bort och närmare på grund av omloppsbanans excentricitet . En markör (röd) visar positionen för periapsis .

I tvåkropps- , Kepler- omloppsmekanik , är mittekvationen vinkelskillnaden mellan den faktiska positionen för en kropp i sin elliptiska bana och den position den skulle inta om dess rörelse var enhetlig, i en cirkulär bana av samma period. Den definieras som skillnaden sann anomali , $ν$ , minus medelanomali , $M$ , och uttrycks vanligtvis en funktion av medelanomali, $M$ , och orbital excentricitet , $t.ex.$

Diskussion

Sedan antiken har problemet med att förutsäga de himmelska kropparnas rörelser förenklats genom att reducera det till en av en enda kropp i omloppsbana om en annan. Vid beräkning av kroppens position runt dess bana är det ofta bekvämt att börja med att anta cirkulär rörelse. Denna första approximation är då helt enkelt en konstant vinkelhastighet multiplicerad med en tidsperiod. Det finns olika metoder för att gå vidare för att korrigera den ungefärliga cirkulära positionen till den som produceras av elliptisk rörelse, många av dem komplexa, och många involverar lösning av Keplers ekvation . Däremot är mittekvationen en av de enklaste metoderna att tillämpa.

I fall av liten excentricitet kan positionen som ges av mittekvationen vara nästan lika exakt som vilken annan metod som helst för att lösa problemet. Många banor av intresse, såsom de för kroppar i solsystemet eller konstgjorda jordsatelliter , har dessa nästan cirkulära banor . När excentriciteten blir större, och banorna mer elliptiska, minskar ekvationens noggrannhet och misslyckas helt vid de högsta värdena, därför används den inte för sådana banor.

Ekvationen i sin moderna form kan trunkeras vid vilken som helst godtycklig noggrannhetsnivå, och när den är begränsad till bara de viktigaste termerna kan den producera en lätt beräknad approximation av den sanna positionen när full noggrannhet inte är viktig. Sådana approximationer kan användas, till exempel, som startvärden för iterativa lösningar av Keplers ekvation , eller för att beräkna stig- eller settider, som på grund av atmosfäriska effekter inte kan förutsägas med stor precision.

De gamla grekerna , i synnerhet Hipparchus , kände till ekvationen av mitten som prostaphaeresis , även om deras förståelse av geometrin för planeternas rörelse inte var densamma. Ordet ekvation ( latin , aequatio, -onis ) i nuvarande betydelse kommer från astronomi . Den specificerades och användes av Kepler , som den variabla kvantitet som bestäms genom beräkning som måste adderas eller subtraheras från medelrörelsen för att erhålla den sanna rörelsen. Inom astronomi har termen tidsekvation en liknande betydelse. Centrumekvationen i modern form utvecklades som en del av störningsanalys , det vill säga studien av effekterna av en tredje kropp på tvåkroppsrörelser .

Serieutvidgning

Maximalt fel av serieexpansionen av ekvationen för mitten, i radianer , som en funktion av orbital excentricitet (nedre axeln) och kraften av e vid vilken serien är trunkerad (höger axel). Observera att vid låg excentricitet (vänster sida av grafen) behöver serien inte bäras till hög ordning för att ge korrekta resultat.

Serieexpanderad ekvation av mitten som en funktion av medelanomali för olika excentriciteter , med ekvationen för mitten trunkerad vid e ⁷ för alla kurvor. Observera att den trunkerade ekvationen misslyckas vid hög excentricitet och producerar en oscillerande kurva.

I keplerisk rörelse följer kroppens koordinater samma värden med varje bana, vilket är definitionen av en periodisk funktion . Sådana funktioner kan uttryckas som periodiska serier av varje kontinuerligt ökande vinkelvariabel, och variabeln av mest intresse är medelanomali , $M$ . Eftersom den ökar jämnt med tiden, är att uttrycka någon annan variabel som en serie i medelanomali i huvudsak detsamma som att uttrycka den i termer av tid. Eftersom excentriciteten $e$ , för omloppsbanan är liten i värde, kan koefficienterna för serien utvecklas i termer av $e$ . Observera att även om dessa serier kan presenteras i trunkerad form, representerar de summan av ett oändligt antal termer.

Serien för $ν$ , den sanna anomalien kan uttryckas mest bekvämt i termer av $M$ , $e$ och Bessel-funktioner av det första slaget,

\nu =M+2\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {1}{s}}\left\{J_{s}(se)+\summa _{ p=1}^{\infty }\beta ^{p}\left[J_{sp}(se)+J_{s+p}(se)\right]\right\}\sin sM,

var

J_{n}(se)

är Bessel-funktionerna och

\beta ={\frac {1}{e}}\left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right).

Resultatet är i radianer .

Bessel-funktionerna kan utökas i potenser av $x$ med,

J_{n}(x)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{ n}\summa _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m}}{m !\prod _{k=1}^{m}(n+k)}}

och $β m$ av,

\beta ^{m}=\left({\frac {e}{2}}\right)^{m}\left[1+m\sum _{n=1}^{\infty }{ \frac {(2n+m-1)!}{n!(n+m)!}}\left({\frac {e}{2}}\right)^{2n}\right].

Genom att ersätta och reducera, blir ekvationen för $ν$ (avkortad i ordningen $e 7$ ),

{\begin{aligned}\nu =M&+\left(2e-{\frac {1}{4}}e ^{3}+{\frac {5}{96}}e^{5}+{\frac {107}{4608}}e^{7}\right)\sin M\\&{}+\left ({\frac {5}{4}}e^{2}-{\frac {11}{24}}e^{4}+{\frac {17}{192}}e^{6}\right )\sin 2M\\&{}+\left({\frac {13}{12}}e^{3}-{\frac {43}{64}}e^{5}+{\frac {95 }{512}}e^{7}\right)\sin 3M\\&{}+\left({\frac {103}{96}}e^{4}-{\frac {451}{480} }e^{6}\right)\sin 4M\\&{}+\left({\frac {1097}{960}}e^{5}-{\frac {5957}{4608}}e^{ 7}\right)\sin 5M\\&{}+{\frac {1223}{960}}e^{6}\sin 6M+{\frac {47273}{32256}}e^{7}\sin 7M+ \cdots \end{aligned}}

och enligt definitionen, flytta $M$ till vänster sida,

$\nu -M=\left(2e-{\frac {1}{4} }e^{3}+{\frac {5}{96}}e^{5}+{\frac {107}{4608}}e^{7}\right)\sin M+\cdots$

ger ekvationen för mitten.

Denna ekvation härleds ibland på ett alternativt sätt och presenteras i termer av potenser av $e$ med koefficienter i funktioner av $sin M$ (trunkerad i ordningen $e 6$ ),

_ displaystyle {\begin{aligned}\nu =M&{}+2e\sin M+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin 2M\\&{}+{\frac {e^{3 }}{12}}(13\sin 3M-3\sin M)\\&{}+{\frac {e^{4}}{96}}(103\sin 4M-44\sin 2M)\\ &{}+{\frac {e^{5}}{960}}(1097\sin 5M-645\sin 3M+50\sin M)\\&{}+{\frac {e^{6}} {960}}(1223\sin 6M-902\sin 4M+85\sin 2M)+\cdots \end{aligned}}}

som är identisk med ovanstående formulär.

För små $e$ konvergerar serien snabbt. Om $e$ överstiger 0,6627... divergerar det för vissa värden på $M$ , som först upptäcktes av Pierre-Simon Laplace .

Exempel

	Orbital excentricitet	Maximal ekvation för mitten (serie trunkerad som visas)
	Orbital excentricitet	e ⁷	e ³	e ²
Venus	0,006777	0,7766°	0,7766°	0,7766°
Jorden	0,01671	1,915°	1,915°	1,915°
Saturnus	0,05386	6,174°	6,174°	6,186°
Mars	0,09339	10,71°	10,71°	10,77°
Merkurius	0,2056	23,68°	23,77°	23,28°

Se även

^ ^a ^b Vallado, David A. (2001). Fundamentals of Astrodynamics and Applications (andra upplagan). Microcosm Press, El Segundo, CA. sid. 82. ISBN 1-881883-12-4 .
^ Narrien, John (1833). En historisk redogörelse för astronomis ursprung och framsteg . Baldwin och Cradock, London. s. 230 –231.
^ Capderou, Michel (2005). Satellitbanor och uppdrag . Springer-Verlag . sid. 23 . ISBN 978-2-287-21317-5 .
^ Moulton, Forest Ray (1914). An Introduction to Celestial Mechanics (andra reviderade upplagan). Macmillan Co., New York. sid. 165. , på Google böcker
^ ^a ^b Smart, WM (1953). Himmelsk mekanik . Longmans, Green and Co., London. sid. 26.
^ Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). Metoder för himlamekanik . Academic Press, New York och London. sid. 60 .
^ Vallado, David A. (2001). sid. 80
^ ^a ^b Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). sid. 77.
^ Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). sid. 62.
^ Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). sid. 68.
^ Smart, WM (1953). sid. 32.
^ ^a ^b Moulton, Forest Ray (1914). s. 171–172.
^ Danby, JMA (1988). Grunderna i himmelsmekanik . Willmann-Bell, Inc., Richmond, VA. s. 199–200. ISBN 0-943396-20-4 .
^ Plummer, HC (1918). En inledande avhandling om dynamisk astronomi . Cambridge University Press . s. 46 –47.
^ Seidelmann, P. Kenneth; Urban, Sean E., red. (2013). Förklarande tillägg till den astronomiska almanackan (3:e upplagan). University Science Books, Mill Valley, CA. sid. 338. ISBN 978-1-891389-85-6 .

Vidare läsning

Marth, A. (1890). Om beräkningen av mittekvationen i elliptiska banor med måttlig excentricitet . Månatliga meddelanden från Royal Astronomical Society, Vol. 50, sid. 502. Ger ekvationen för mitten i ordningen e ¹⁰ .
Morrison, J. (1883). På beräkningen av den excentriska anomali, ekvation av centrum och radievektor för en planet, i termer av medelanomali och excentricitet . Månatliga meddelanden från Royal Astronomical Society, Vol. 43, sid. 345. Ger ekvationen för mitten i ordningen e ¹² .
Morrison, J. (1883). Errata . Månatliga meddelanden från Royal Astronomical Society, Vol. 43, sid. 494.

[Vallado82-1] Vallado, David A. (2001). Fundamentals of Astrodynamics and Applications (andra upplagan). Microcosm Press, El Segundo, CA. sid. 82. ISBN 1-881883-12-4 .

[2] Narrien, John (1833). En historisk redogörelse för astronomis ursprung och framsteg . Baldwin och Cradock, London. s. 230 –231.

[3] Capderou, Michel (2005). Satellitbanor och uppdrag . Springer-Verlag . sid. 23 . ISBN 978-2-287-21317-5 .

[4] Moulton, Forest Ray (1914). An Introduction to Celestial Mechanics (andra reviderade upplagan). Macmillan Co., New York. sid. 165. , på Google böcker

[Smart26-5] Smart, WM (1953). Himmelsk mekanik . Longmans, Green and Co., London. sid. 26.

[6] Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). Metoder för himlamekanik . Academic Press, New York och London. sid. 60 .

[7] Vallado, David A. (2001). sid. 80

[B&C77-8] Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). sid. 77.

[9] Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). sid. 62.

[10] Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). sid. 68.

[11] Smart, WM (1953). sid. 32.

[Moulton171-12] Moulton, Forest Ray (1914). s. 171–172.

[13] Danby, JMA (1988). Grunderna i himmelsmekanik . Willmann-Bell, Inc., Richmond, VA. s. 199–200. ISBN 0-943396-20-4 .

[14] Plummer, HC (1918). En inledande avhandling om dynamisk astronomi . Cambridge University Press . s. 46 –47.

[15] Seidelmann, P. Kenneth; Urban, Sean E., red. (2013). Förklarande tillägg till den astronomiska almanackan (3:e upplagan). University Science Books, Mill Valley, CA. sid. 338. ISBN 978-1-891389-85-6 .