Medellagrangian

Vågmoln på hög höjd bildades över Hampton-området i Burra, södra Australien den 16 januari 2007.

Inom kontinuummekaniken används Whithams medelvärde av lagrangemetoden – eller i korthet Whithams metod – för att studera den lagrangiska dynamiken hos långsamt varierande vågtåg i ett inhomogent (rörligt) medium . Metoden är tillämpbar på både linjära och icke-linjära system . Som en direkt följd av medelvärdet som används i metoden vågverkan en bevarad egenskap hos vågrörelsen. Däremot är vågenergin inte nödvändigtvis bevarad, på grund av utbytet av energi med medelrörelsen. Men den totala energin, summan av energierna i vågrörelsen och medelrörelsen, kommer att bevaras under en tidsinvariant lagrangian . Vidare har medelvärdet för lagrangian en stark relation till systemets dispersionsrelation .

Metoden beror på Gerald Whitham , som utvecklade den på 1960-talet. Det används till exempel vid modellering av ytgravitationsvågor på vätskegränssnitt och inom plasmafysik .

Resulterande ekvationer för ren vågrörelse

Om en lagrangisk formulering av ett kontinuummekaniksystem är tillgänglig, kan den genomsnittliga lagrangemetoden användas för att hitta approximationer för den genomsnittliga dynamiken för vågrörelsen – och (så småningom) för interaktionen mellan vågrörelsen och medelrörelsen – under antagande av enveloppen Bärvågornas dynamik varierar långsamt . Fasgenomsnitt av lagrangianen resulterar i ett medelvärde för lagrangian , som alltid är oberoende av själva vågfasen (men beror på långsamt varierande vågkvantiteter som vågamplitud , frekvens och vågnummer ) . Enligt Noethers teorem , variation av medelvärdet av Lagrangian ${\mathcal {L}}$ med avseende på den invarianta vågfasen $\theta ({\boldsymbol {x}},t)$ ger sedan upphov till en bevarandelag :

$\partial _{t}{\mathcal {A}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\mathcal {B}}}=0 .$ ()

Denna ekvation anger bevarandet av vågverkan – en generalisering av begreppet en adiabatisk invariant till kontinuummekanik – med

$${\mathcal {A}}\equiv -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\theta )}}=+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \omega }}$$

$${\boldsymbol {\mathcal {B}}}\equiv -{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial ({\boldsymbol {\nabla }}\theta )}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {k}}}}$$

är vågaktionen $}}$ } respektive vågaktionsflödet ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {B}}}}.$ Ytterligare ${\boldsymbol {x}}$ och $t$ anger rum respektive tid, medan ${\boldsymbol {\nabla }}$ är gradientoperatorn . Vinkelfrekvensen $\omega ({\boldsymbol {x}},t)$ och vågnummer $}},t)}$${\displaystyle {\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {$ x definieras som

   $\omega \equiv -\partial _{t}\theta$ och ${\boldsymbol {k}}\equiv +{\boldsymbol {\nabla }} \theta$ ()

och båda antas vara långsamt varierande. På grund av denna definition, $\omega ({\boldsymbol {x}},t)$ och ${\boldsymbol {k}}({\boldsymbol { x}},t)$ måste uppfylla konsistensrelationerna:

   $\partial _{t}{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {\nabla }}\omega ={\boldsymbol {0}}$ och ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {0}}.} ($ )

Den första konsistensekvationen är känd som bevarandet av vågtopparna och den andra anger att vågnummerfältet ${\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)$ är irroterande (dvs. har noll curl ).

Metod

Det genomsnittliga lagrangiska tillvägagångssättet gäller vågrörelser – möjligen överlagrade på en medelrörelse – som kan beskrivas i en lagrangisk formulering . Med hjälp av en ansatz på formen av vågdelen av rörelsen beräknas Lagrangian fasmedelvärde . Eftersom Lagrangian är associerad med rörelsens kinetiska energi och potentiella energi bidrar svängningarna till Lagrangian, även om medelvärdet för vågens oscillerande exkursion är noll (eller mycket litet).

Det resulterande medelvärdet av Lagrangian innehåller vågegenskaper som vågnummer , vinkelfrekvens och amplitud (eller motsvarande vågens energitäthet eller vågverkan ). Men själva vågfasen är frånvarande på grund av fasgenomsnittet. Följaktligen, genom Noethers teorem , finns det en bevarandelag som kallas bevarande av vågverkan.

Ursprungligen utvecklades den genomsnittliga lagrangiska metoden av Whitham för långsamt varierande dispersiva vågtåg. Flera utökningar har gjorts, t.ex. till interagerande vågkomponenter, Hamiltonsk mekanik , modulationseffekter av högre ordning , spridningseffekter .

Variationsformulering

Den genomsnittliga Lagrangiska metoden kräver att det finns en Lagrangian som beskriver vågrörelsen. Till exempel för ett fält $\varphi ({\boldsymbol {x}},t)$ , beskrivet av en lagrangisk densitet $L \left(\partial _{t}\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\varphi \right),$ principen för stationär verkan är:

$$\delta \left(\iiiint \,L\ vänster(\partial _{t}\varphi ({\boldsymbol {x}},t),{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ({\boldsymbol {x}},t),\varphi ({\boldsymbol {x}},t)\right)\,{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\,{\text{d}}t\right)=0,$$

med $\nabla }}}$ { gradientoperatorn och $\displaystyle \partial _{t}}$ { tidsderivatansoperatorn . Denna handlingsprincip resulterar i Euler–Lagrange-ekvationen :

$$\partial _{t}\left {(\partial Lfrac }{\partial \left(\partial _{t}\varphi \right)}}\right)+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \left ({\boldsymbol {\nabla }}\varphi \right)}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0,$$

vilket är den andra ordningens partiella differentialekvation som beskriver dynamiken för $\varphi .$ Partiella differentialekvationer av högre ordning kräver inkludering av högre än första ordningens derivator i lagrangian.

Exempel

Betrakta till exempel en icke-dimensionell och icke-linjär Klein–Gordon-ekvation i en rymddimension $x$ :

$${\partial _{t}^{2}\varphi }-{\partial _{x}^{2}\varphi } +\varphi +\sigma \varphi ^{3}=0.$$

 

 

 

 

()

Denna Euler-Lagrange-ekvation kommer från den lagrangiska densiteten:

$$L\left(\partial _{t}\varphi ,\partial _{x}\varphi ,\varphi \right)={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{t} \varphi \right)^{2}-{\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{x}\varphi \right)^{2}-{\tfrac {1}{2}}\ varphi ^{2}-{\tfrac {1}{4}}\sigma \varphi ^{4}.$$

 

 

 

 

()

Den lilla amplitudapproximationen för Sine–Gordon-ekvationen motsvarar värdet ${\textstyle \sigma =-{\tfrac {1}{24}}.}$ För ${\displaystyle \sigma =0} är$ systemet linjärt och den klassiska endimensionella Klein–Gordon-ekvationen erhålls.

Långsamt varierande vågor

Långsamt varierande linjära vågor

Whitham utvecklade flera tillvägagångssätt för att erhålla en genomsnittlig lagrangisk metod. Den enklaste är för långsamt varierande linjära vågtåg , vilken metod kommer att tillämpas här.

Det långsamt varierande vågsystemet – utan medelrörelse – i ett linjärt dispersivt system beskrivs som:

$$\varphi \sim \Re \left \{A({\boldsymbol {x}},t)\,e^{i\theta ({\boldsymbol {x}},t)}\right\}=a({\boldsymbol {x}},t )\,\cos \left(\theta ({\boldsymbol {x}},t)+\alpha \right),$$

med

$$a=\left|A\right|$$

och

$$\alpha =\arg \left\{A\right\},$$

där $\theta ({\boldsymbol {x}},t)$ är den verkliga vågfasen , $|A|$ anger det absoluta värdet av den komplexa amplituden $A({\boldsymbol {x}},t),$ medan $\arg\{A\}$ är dess argument och $\Re \{A\}$ betecknar dess reella del . Den verkliga amplituden och fasförskjutningen betecknas med $a$ respektive $\alpha$ .

Per definition uttrycks nu vinkelfrekvensen $\omega$ och vågnummervektorn $\boldsymbol {k}}} som$ { \displaystyle ${\ displaystyle \theta ({\boldsymbol {x}},t)}$ tidsderivatan och gradienten för vågfasen t som:

$$\omega \equiv -\partial _{t}\theta$$

och

$${\boldsymbol {k}}\equiv +{\boldsymbol {\nabla }}\theta .$$

Som en konsekvens, $\omega ({\boldsymbol {x}},t)$ och ${\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x }},t)$ måste uppfylla konsistensrelationerna:

$$\partial _{t}{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {\nabla }}\omega ={\boldsymbol {0}}$$

och

$${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {0}}.$$

Dessa två konsistensrelationer betecknar "bevarandet av vågtoppar" och vågnummerfältets irrotationalitet .

På grund av antagandet om långsamma variationer i vågtåget – såväl som i en möjlig inhomogen medel- och medelrörelse – storheterna $A,$$a,$$\omega ,$${\boldsymbol {k}}$ och $\alpha$ varierar alla långsamt i rymden ${\boldsymbol {x}}$ och tiden $t$ – men vågen fasen $\theta$ i sig varierar inte långsamt. Följaktligen försummas derivator av $a,$$\omega ,$${\boldsymbol {k}}$ och $\alpha$ vid bestämning av derivatorna av $\varphi ({\boldsymbol {x}},t)$ för användning i medellagrangian:

$$\partial _{t}\varphi \approx +\omega \,a\,\sin(\theta +\alpha )$$

och

$${\boldsymbol {\nabla }}\varphi \approx -{\boldsymbol {k}}\,a\,\sin(\theta +\alpha ).$$

Därefter tillämpas dessa antaganden om $\varphi ({\boldsymbol {x}},t)$ och dess derivator på den lagrangiska densiteten $L\left(\partial _{t}\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\varphi \right).$

Långsamt varierande icke-linjära vågor

Flera tillvägagångssätt för långsamt varierande icke-linjära våglinjer är möjliga. En är genom användningen av Stokes-expansions , som används av Whitham för att analysera långsamt varierande Stokes-vågor . En Stokes-expansion av fältet $\varphi ({\boldsymbol {x}},t)$ kan skrivas som:

$$\varphi =a\,\cos \left (\theta +\alpha \right)+a_{2}\,\cos \left(2\theta +\alpha _{2}\right)+a_{3}\,\cos \left(3\theta + \alpha _{3}\right)+\cdots ,$$

där amplituderna $a,$$a_{2},$ etc. långsamt varierar, liksom faserna $\alpha ,$$\alpha _{2},$ etc. När det gäller det linjära vågfallet, i lägsta ordningen (när det gäller modulationseffekter ) försummas derivator av amplituder och faser, med undantag för derivator $\omega$ och ${\boldsymbol {k}}$ för den snabba fasen $\theta$ :

$${\display style \partial _{t}\varphi \approx +\omega a\,\sin \left(\theta +\alpha \right)+2\omega a_{2}\,\sin \left(2\theta +\alpha _{ 2}\right)+3\omega a_{3}\,\sin \left(3\theta +\alpha _{3}\right)+\cdots ,}$$

och

$${\boldsymbol {\nabla }}\varphi \approx -{\boldsymbol {k}}a\,\sin \left(\theta +\alpha \right)-2{\boldsymbol {k}}a_{ 2}\,\sin \left(2\theta +\alpha _{2}\right)-3{\boldsymbol {k}}a_{3}\,\sin \left(3\theta +\alpha _{ 3}\right)+\cdots .$$

Dessa approximationer ska tillämpas i den lagrangiska densiteten $L$ och dess fasmedelvärde ${\bar {L}}.$

Medellagrangian för långsamt varierande vågor

För ren vågrörelse är lagrangian $L\left(\partial _{t}\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\varphi \right)$ uttrycks i termer av fältet $\varphi ({\boldsymbol {x}},t)$ och dess derivator. I den genomsnittliga lagrangiska metoden tillämpas de ovan givna antagandena på fältet ${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)} –och dess derivator– för att beräkna lagrangian.$ Lagrangian medelvärdesbildas därefter över vågfasen $\theta$ :

$${\bar {L}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }L\left(\partial _{t}\varphi ,{\ fetstil {\nabla }}\varphi ,\varphi \right){\text{d}}\theta .$$

Som ett sista steg kan detta medelvärdesberäkningsresultat ${\bar {L}}$ uttryckas som den genomsnittliga lagrangiska densiteten ${\mathcal {L}}(\omega ,{\boldsymbol {k}},a)$ – som är en funktion av de långsamt varierande parametrarna $\omega ,$${\boldsymbol {k}}$ och $a$ och oberoende av vågfasen $\theta$ själv.

Den genomsnittliga lagrangiandensiteten ${\mathcal {L}}$ föreslås nu av Whitham för att följa den genomsnittliga variationsprincipen :

$\delta \iint {\mathcal {L}}(\omega ,{\boldsymbol {k}},a)\,{\text {d}}{\boldsymbol {x}}\,{\text{d}}t=0.$

Från variationerna av ${\mathcal {L}}$ följ de dynamiska ekvationerna för de långsamt varierande vågegenskaperna.

Exempel

Fortsätt på exemplet med den olinjära Klein–Gordon-ekvationen, se ekvationerna 4 och 5 och tillämpa ovanstående approximationer för $\varphi ,$$\partial _{t}\varphi$ och $\partial _{x}\varphi$ (för detta 1D-exempel) i den lagrangiska densiteten, är resultatet efter medelvärdesberäkning över ${\displaystyle \theta } :$

$${\bar { L}}={\tfrac {1}{4}}\left(\omega ^{2}-k^{2}-1\right)a^{2}-{\tfrac {3}{32}} \sigma a^{4}+\left(\omega ^{2}-k^{2}-{\tfrac {1}{4}}\right)a_{2}^{2}+{\mathcal { O}}{\left(a^{6}\right)},$$

där det har antagits att, i big-O notation , $a_{2}={\mathcal {O}}(a^{2})$ och $a_{3}={\mathcal {O}}(a^{3})$ . Variation av ${\bar {L}}$ med avseende på $a_{2}$ leder till $a_{2}=0.$ Så den genomsnittliga lagrangian är:

$${\mathcal {L}}={\tfrac {1}{4}}\left(\omega ^{2}-k^{2}-1\right)a^{2}-{\tfrac {3}{32}}\sigma a^{4}+{\mathcal {O}}{\left(a^{6}\right)}.$$

 

 

 

 

()

För linjär vågrörelse erhålls medelvärdet av Lagrangian genom att sätta $\sigma$ lika med noll.

Uppsättning ekvationer som kommer från medelvärdet av Lagrangian

Genom att tillämpa den genomsnittliga lagrangiska principen leder variation med avseende på vågfasen $\theta$ till bevarande av vågverkan:

$$\partial _{t}\left(+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\ partiell \omega }}\right)+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {k}}}}\ höger)=0,$$

eftersom $\omega =-\partial _{t}\theta$ och ${\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {\nabla }}\theta$ medan vågfasen $\theta$ inte visas i den genomsnittliga lagrangiska densiteten ${\mathcal {L}}$ på grund av fasgenomsnittet. Definiera vågverkan som ${\mathcal {A}}\equiv +\partial {\mathcal {L}}/\partial \omega$ och vågverkansflödet som ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {B}}}\equiv -\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {k}}} resultatet är$ :

$$\partial _{t}{\mathcal {A}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\mathcal {B}}}=0 .$$

Vågaktionsekvationen åtföljs av konsistensekvationerna för $\omega$ och ${\boldsymbol {k}}$ som är:

$$\partial _{t}{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {\nabla }}\omega ={\boldsymbol {0}}$$

och

$${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {0}}.$$

Variation med avseende på amplituden $a$ leder till dispersionsrelationen $\partial {\mathcal {L}}/\partial a=0.$

Exempel

Om vi ​​fortsätter med den olinjära Klein–Gordon-ekvationen, med hjälp av den genomsnittliga variationsprincipen på ekvation 6 , blir vågverkansekvationen genom variation med avseende på vågfasen $\theta :$

$$\partial _{t}\left({\tfrac {1}{2}}\omega a^{2} \right)+\partial _{x}\left({\tfrac {1}{2}}ka^{2}\right)=0,$$

och den olinjära dispersionsrelationen följer av variation med avseende på amplituden $a:$

$$\omega ^{2}=k^{2}+1+{\tfrac {3}{4}}\sigma a^{2}.$$

Så vågverkan är ${\textstyle {\mathcal {A}}={\tfrac {1}{2}}\omega a^{2}}$ och vågverkansflödet $ka^{2}.}$$v_{g}\equiv {\mathcal {B}}/{\mathcal {A}}=k/\omega .$ Grupphastigheten $v_{g}$ är /

Bevarande av vågverkan

Den genomsnittliga Lagrangian erhålls genom integration av Lagrangian över vågfasen . Som ett resultat av detta innehåller medelvärdet av lagrangian endast derivatorna av vågfasen $\theta$ (dessa derivator är per definition vinkelfrekvensen och vågnumret) och beror inte på själva vågfasen. Så lösningarna kommer att vara oberoende av valet av nollnivå för vågfasen. Följaktligen – enligt Noethers teorem – resulterar variation av medelvärdet av Lagrangian ${\bar {\mathcal {L}}}$ med avseende på vågfasen i en bevarandelag :

$\partial _{t}{\mathcal {A}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\mathcal {B}}}=0,$

var

• $${\mathcal {A}}\equiv {\frac {\delta {\bar {\mathcal {L}}}}{ \delta \omega }}=-{\frac {\delta {\bar {\mathcal {L}}}}{\delta \left(\partial _{t}\theta \right)}},$$
• $${\boldsymbol {\mathcal {B}}}\equiv -{\frac {\delta {\bar {\mathcal {L }}}}{\delta {\boldsymbol {k}}}}=-{\frac {\delta {\bar {\mathcal {L}}}}{\delta \left({\boldsymbol {\nabla }} \theta \right)}},$$

med $\displaystyle {\mathcal {A}}}$ { vågverkan och $\boldsymbol {\mathcal {B}}}}$ { vågverkansflödet . Vidare betecknar ${\displaystyle \partial _{t}} den$ partiella derivatan med avseende på tid, och ${\boldsymbol {\nabla }}$ är gradientoperatorn . Per definition ges grupphastigheten ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{g}} av:$

$${\boldsymbol {\mathcal {B}}}\equiv {\boldsymbol {v}}_{g}{\mathcal {A}}.$$

Observera att energin i vågrörelsen i allmänhet inte behöver bevaras, eftersom det kan ske ett energiutbyte med ett medelflöde. Den totala energin – summan av energierna för vågrörelsen och medelflödet – bevaras (när det inte sker något arbete av yttre krafter och ingen energiförlust ).

Bevarande av vågverkan hittas också genom att tillämpa den generaliserade lagrangiska medelvärdemetoden (GLM) på ekvationerna av det kombinerade flödet av vågor och medelrörelse, med hjälp av newtonsk mekanik istället för en variationsmetod.

Anslutning till spridningsrelationen

Ren vågrörelse av linjära modeller leder alltid till en genomsnittlig lagrangisk densitet av formen:

$${\mathcal {L}}=G(\omega ,{\boldsymbol {k}})a^{2}.$$

ger variationen med avseende på amplitud: $\partial {\mathcal {L}}/\partial a=0$

$$G(\omega ,{\boldsymbol {k}})=0.$$

Så detta visar sig vara dispersionsrelationen för de linjära vågorna, och medelvärdet för lagrangian för linjära vågor är alltid dispersionsfunktionen $G(\omega ,{\boldsymbol {k}})$ gånger amplituden i kvadrat.

Mer allmänt, för svagt olinjära och långsamt modulerade vågor som utbreder sig i en rymddimension och inkluderar spridningseffekter av högre ordning – utan att försumma tids- och rumsderivatorna ∂ t a {\ $_{t}a}$ och ${\ displaystyle \partial _{x}a}$ av amplituden $a(\mu x,\mu t)$ när man tar derivator, där $\mu \ll 1$ är en liten moduleringsparameter – den genomsnittliga lagrangiska densiteten är av formen:

$${\mathcal {L}}=G(\omega ,k)a^{2}+G_{2}(\omega ,k)a^{4 }+{\tfrac {1}{2}}\mu ^{2}\left(G_{\omega \omega }(\partial _{T}a)^{2}+2G_{\omega k}(\ partiell _{T}a)(\partial _{X}a)+G_{kk}(\partial _{X}a)^{2}\right),$$

med de långsamma variablerna $X=\mu x$ och $T=\mu t.$

Publikationer av Whitham om metoden

En översikt finns i boken:

•   Whitham, GB (1974), Linjära och icke-linjära vågor , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-94090-9

Några publikationer av Whitham om metoden är:

• Whitham, GB (1965), "A general approach to linear and non-linear dispersive waves using a Lagrangian", Journal of Fluid Mechanics , 22 (2): 273–283, Bibcode : 1965JFM....22..273W , doi : 10.1017/S0022112065000745
• —— (1967a). "Icke-linjär spridning av vattenvågor". Journal of Fluid Mechanics . 27 (2): 399–412. Bibcode : 1967JFM....27..399W . doi : 10.1017/S0022112067000424 .
• —— (1967b), "Variational methods and applications to water waves", Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical and Physical Sciences , 299 (1456): 6–25, Bibcode : 1967RSPSA.299....6W , doi : 10.1098/rspa.1967.0119
• —— (1970), "Two-timing, variational principles and waves" (PDF) , Journal of Fluid Mechanics , 44 (2): 373–395, Bibcode : 1970JFM....44..373W , doi : 10.1017/ S002211207000188X
• Jimenez, J.; Whitham, GB (1976), "An averaged Lagrangian method for dissipative wavetrains", Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical and Physical Sciences , 349 ( 1658): 277–287, Bibcode : 1976RSPSA.349..277J , doi : 10.1098/rspa.1976.0073

Vidare läsning

• Andrews, GD; McIntyre, ME (1978), "On wave-action and its relatives" (PDF) , Journal of Fluid Mechanics , 89 (4): 647–664, Bibcode : 1978JFM....89..647A , doi : 10.1017/ S0022112078002785
•   Badin, G.; Crisciani, F. (2018). Variationsformulering av vätske- och geofysisk vätskedynamik - Mekanik, symmetrier och bevarandelagar - . Springer. sid. 218. doi : 10.1007/978-3-319-59695-2 . ISBN 978-3-319-59694-5 .
• Bretherton, FP ; Garrett, CJR (1968), "Wavetrains in inhomogeneous moving media", Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical and Physical Sciences , 302 ( 1471): 529–554, Bibcode : 1968RSPSA.302..529B , doi : 810 /rspa.1968.0034
•   Craik, ADD (1988), Våginteraktioner och vätskeflöden , Cambridge University Press, ISBN 9780521368292
•   Dewar, RL (1970), "Interaktion mellan hydromagnetiska vågor och ett tidsberoende, inhomogent medium", Physics of Fluids , 13 (11): 2710–2720, Bibcode : 1970PhFl...13.2710D , doi : 10.1063/8416, 928/5416 , ISSN 0031-9171
• Grimshaw, R. (1984), "Wave action and wave–mean flow interaction, with application to stratified shear flows", Annual Review of Fluid Mechanics , 16 : 11–44, Bibcode : 1984AnRFM..16...11G , doi : 10.1146/annurev.fl.16.010184.000303
• Hayes, WD (1970), "Conservation of action and modal wave action", Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical and Physical Sciences, 320 ( 1541): 187–208, Bibcode : 1970RSPSA.320..187H , doi : 10.1098/rspa.1970.0205
• " Group velocity and nonlinear dispersive wave propagation", Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical and Physical Sciences, 332 ( 1589): 199–221, Bibcode : 1973RSPSA.332..199H . : 10.1098/rspa.1973.0021
•   Holm, DD (2002), "Lagrangian averages, averaged Lagrangians, and the mean effects of fluctuations in fluid dynamics", Chaos , 12 (2): 518–530, Bibcode : 2002Chaos..12..518H , doi : 10.1063/ 1.1460941 , PMID 12779582
•   Janssen, PAEM (2004), The Interaction of Ocean Waves and Wind , Cambridge University Press, ISBN 9780521465403
•   Radder, AC (1999), "Hamiltonian dynamics of water waves", i Liu, PL-F. (red.), Advances in Coastal and Ocean Engineering , vol. 4, World Scientific, s. 21–59, ISBN 9789810233105
• Sedletsky, YV (2012), "Addition of dispersive terms to the method of averaged Lagrangian", Physics of Fluids , 24 (6): 062105 (15 s.), Bibcode : 2012PhFl...24f2105S , doi : 10.10729/61.
• Simmons, WF (1969), "A variational method for weak resonant wave interactions", Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical and Physical Sciences , 309 ( 1499): 551–577, Bibcode : 1969RSPSA.309..551S , doi : 10.1098/rspa.1969.0056
• Willebrand, J. (1975), "Energy transport in a nonlinear and inhomogeneous random gravity wave field", Journal of Fluid Mechanics , 70 (1): 113–126, Bibcode : 1975JFM....70..113W , doi : 10.1017/S0022112075001929
• Yuen, HC; Lake, BM (1975), "Icke-linjära djupvattenvågor: teori och experiment", Physics of Fluids , 18 (8): 956–960, Bibcode : 1975PhFl...18..956Y , doi : 10.1063/1.861268
• Yuen, HC; Lake, BM (1980), "Instabilities of waves on deep water", Annual Review of Fluid Mechanics , 12 : 303–334, Bibcode : 1980AnRFM..12..303Y , doi : 10.1146/annurev.fl.12.101.0101181.0101.