Logaritmisk form

I algebraisk geometri och teorin om komplexa grenrör är en logaritmisk differentialform en differentialform med poler av ett visst slag. Konceptet introducerades av Pierre Deligne . Kort sagt, logaritmiska differentialer har de mildaste möjliga singulariteterna som behövs för att ge information om en öppen submanifold (komplementet av polernas divisor). (Denna idé är preciserad av flera versioner av de Rhams teorem som diskuteras nedan.)

Låt X vara en komplex mångfald, D ⊂ X en reducerad divisor (en summa av distinkta kodimension-1 komplexa delrum), och ω en holomorf p -form på X − D . Om både ω och d ω har en ordningspol som högst 1 längs D , så sägs ω ha en logaritmisk pol längs D . ω är också känd som en logaritmisk p -form. P -formerna med stockstolpar längs D bildar en underhylla av de meromorfa p - formerna på X , betecknad

\Omega _{X}^{p}(\log D).

Namnet kommer från det faktum att i komplex analys , $d(\log z)=dz/z$ ; här $dz/z$ ett typiskt exempel på en 1-form på de komplexa talen C med en logaritmisk pol i origo. Differentialformer som $dz/z$ är meningsfulla i ett rent algebraiskt sammanhang, där det inte finns någon analog till logaritmfunktionen .

Logaritmiskt de Rham-komplex

Låt X vara ett komplext grenrör och D en reducerad divisor på X . Enligt definitionen av $\Omega _{X}^{p}(\log D)$ och det faktum att den yttre derivatan d uppfyller d ² = 0, har man

d\Omega _{X}^{p}(\log D)(U)\subset \Omega _{X}^{p+1}(\log D)(U)

för varje öppen delmängd U av X . De logaritmiska differentialerna bildar alltså ett komplex av skivor ${\displaystyle (\Omega _{X}^{\bullet }(\log D),d)} ,$ känd som logaritmisk de Rham-komplex associerat med divisorn D . Detta är ett subkomplex av den direkta bilden ${\displaystyle j_{*}(\Omega _{XD}^{\bullet })} ,$ där $j:XD\rightarrow X$ är inneslutningen och $\Omega _{XD}^{\bullet }$ är komplexet av skivor av holomorfa former på X − D .

Av speciellt intresse är fallet där D har normala korsningar : det vill säga, D är lokalt en summa av kodimension-1 komplexa delgrenar som skär tvärs. I detta fall är bunten av logaritmiska differentialformer subalgebra av $j_{*}(\Omega _{XD}^{\bullet })$ genererad av de holomorfa differentialformerna $\Omega _{X}^{\bullet }$ tillsammans med 1-formerna $df/f$ för holomorfa funktioner $f$ som inte är noll utanför D . Anteckna det

{\frac {d(fg)}{fg}}={\frac {df}{f}}+{\frac {dg}{g}}.

$z_{1},\ldots , z_{n}$ om D är en divisor med normala korsningar på ett komplext grenrör X , så har varje punkt x en öppen grannskap U där det finns holomorfa koordinatfunktioner så att x är ursprunget och D definieras av ekvationen $z_{1}\cdots z_{k}=0$ för vissa $0 \leq k\leq n$ . På den öppna uppsättningen U ges sektioner av $\Omega _{X}^{1}(\log D)$ av

\Omega _{X}^{1}(\log D)={\mathcal {O}}_{X}{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}_{X}{\frac {dz_{k}}{z_{k}}}\oplus {\mathcal {O}}_{X}dz_{k+1}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}_{X}dz_{n}.

Detta beskriver den holomorfa vektorbunten $\Omega _{X}^{1}(\log D)$ på $X$ . Sedan, för alla $k\geq 0$ , är vektorbunten $\Omega _{X}^{k}(\log D)$ den k: te exteriören makt ,

\Omega _{X}^{k}(\log D)=\bigwedge ^{k}\Omega _{X}^{1}(\log D).

Den logaritmiska tangentbunten $TX(-\log D)$ betyder dubbla vektorbunten till $\Omega _{X}^{1} (\log D)$ . Explicit är en sektion av $TX(-\log D)$ ett holomorft vektorfält på X som tangerar D vid alla jämna punkter i D .

Logaritmiska differentialer och singular kohomologi

Låt X vara ett komplext grenrör och D en divisor med normala korsningar på X . Deligne visade sig vara en holomorf analog till de Rhams teorem i termer av logaritmiska differentialer. Nämligen,

H^{k}(X,\Omega _{X}^{\bullet }(\log D))\cong H^{k}(XD,\mathbf {C} ),

där den vänstra sidan betecknar kohomologin av X med koefficienter i ett komplex av skivor, ibland kallat hyperkohomologi . Detta följer av den naturliga inkluderingen av komplex av kärvar

\Omega _{X}^{\bullet }(\log D)\högerpil j_{*}\Omega _{XD}^{\ kula }

att vara en kvasi-isomorfism .

Logaritmiska differentialer i algebraisk geometri

I algebraisk geometri bildar vektorbunten av logaritmisk differential p -former $\Omega _{X}^{p}(\log D)$ på ett jämnt schema X över ett fält, med avseende en divisor $D=\summa D_{j}$ med enkla normalkorsningar, definieras enligt ovan: sektioner av $\Omega _{X} ^{p}(\log D)$ är (algebraiska) differentialformer ω på $XD$ så att både ω och d ω har en ordningspol högst en längs D . Explicit, för en stängd punkt x som ligger i $D_{j}$ för $1\leq j\leq k$ och inte i $D_{j}$ för $j>k$ , låt $u_{j}$ vara vanliga funktioner på någon öppen grannskap U av x så att $D_{j}$ är det slutna underschemat som definieras av $u_{j}=0$ inuti U för $1\leq j\leq k$ , och x är det slutna underschemat av U definierat av $u_{1}=\cdots =u_{n}=0$ . Sedan ges en bas av sektioner av $\Omega _{X}^{1}(\log D)$ på U av:

{du_{1} \over u_{1}},\dots ,{du_{k} \over u_{k}},\,du_{k+1},\dots ,du_{n}.

Detta beskriver vektorbunten $\Omega _{X}^{1}(\log D)$ på X , och sedan $\Omega _{X}^{p}(\log D)$ är den p: te yttre potensen av $\Omega _{X}^{1}(\log D)$ .

Det finns en exakt sekvens av koherenta skivor på X :

0\to \Omega _{X}^{1}\to \Omega _{X }^{1}(\log D){\overset {\beta }{\to }}\oplus _{j}({i_{j}})_{*}{\mathcal {O}}_{D_ {j}}\till 0,

där $i_{j}:D_{j}\to X$ är inkluderingen av en irreducerbar komponent av D . Här kallas β för restkartan ; så denna sekvens säger att en 1-form med log-poler längs D är regelbunden (det vill säga har inga poler) om och bara om dess rester är noll. Mer generellt, för vilken p ≥ 0 som helst, finns det en exakt sekvens av koherenta skivor på X :

0\to \Omega _{X}^{p}\to \Omega _{X}^{p}(\log D){\overset {\beta }{\to }}\oplus _{j}({i_{j}} )_{*}\Omega _{D_{j}}^{p-1}(\log(D-D_{j}))\to \cdots \to 0,

där summorna löper över alla irreducerbara komponenter av given dimension av skärningspunkterna för divisorerna D _j . Även här kallas β för restmappen.

Explicit, på en öppen delmängd av $X$ som bara möter en komponent $D_{j}$ av $D$ , med $D_{j}$ lokalt definierad av $f=0$ , resten av en logaritmisk $p$ -form längs $D_{j}$ bestäms av: resten av en vanlig p -form är noll, medan

{\text{Res}}_{D_{j}}{\bigg (}{\frac {df}{f}}\wedge \alpha {\bigg )}=\alpha |_{D_ {j}}

för alla vanliga $(p-1)$ -form $\alpha$ . Vissa författare definierar resten genom att säga att $\alpha \wedge (df/f)$ har rest $\alpha |_{D_{j}}$ , som skiljer sig från definitionen här genom tecknet $(-1)^{p-1}$ .

Exempel på återstoden

Över de komplexa talen kan resten av en differentialform med logpoler längs en divisor $D_{j}$ ses som ett resultat av integration över loopar i $X$ runt $D_{j}$ . I detta sammanhang kan resten kallas Poincaré-resten .

För ett explicit exempel, betrakta en elliptisk kurva D i det komplexa projektiva planet $\mathbf {P} ^{2}=\{[x,y,z]\ }$ , definierad i affina koordinater $z=1$ av ekvationen $g(x,y)=y^{2 }-f(x)=0,$ där $f(x)=x(x-1)(x-\lambda )$ och $\lambda \neq 0,1$ är ett komplext tal. Då D en slät hyperyta av grad 3 i $\mathbf {P} ^{2}$ och i synnerhet en divisor med enkla normalkorsningar. Det finns en meromorf 2-form på $\mathbf {P} ^{2}$ som ges i affina koordinater av

\omega ={\frac {dx\wedge dy}{g(x,y)}},

som har stockstolpar längs D . Eftersom den kanoniska bunten ${\displaystyle K_{\mathbf {P} ^{2}}=\Omega _{\mathbf {P} ^{2}}^{2}} är isomorf$ till linjebunten ${\mathcal {O}}(-3)$ , poldelaren för $\omega$ måste ha grad 3. Så polernas divisor för ${\ displaystyle \omega }$ består bara av D (särskilt $\omega$ har ingen pol längs linjen $z=0$ i oändligheten). Återstoden av ω längs D ges av den holomorfa 1-formen

{\text{Res}}_{D}(\omega )=\left.{\frac {dy}{\partial g/\partial x}}\right|_{D}=\left.- {\frac {dx}{\partial g/\partial y}}\right|_{D}=\left.-{\frac {1}{2}}{\frac {dx}{y}}\right |_{D}.

Det följer att $dx/y|_{D}$ sträcker sig till en holomorf enform på den projektiva kurvan D i $\mathbf {P} ^{2}$ , en elliptisk kurva.

Restavbildningen ${\displaystyle H^{0}(\mathbf {P} ^{2},\Omega _{ \mathbf {P} ^{2}}^{2}(\log D))\till H^{0}(D,\Omega _{D}^{1})} som anses här är en del av$ en linjär karta $H^{2}(\mathbf {P} ^{2}-D,\mathbf {C} )\to H^{ 1}(D,\mathbf {C} )$ , som kan kallas "Gysin-kartan". Detta är en del av Gysin-sekvensen som är associerad med vilken som helst slät divisor D i ett komplext grenrör X :

\cdots \to H^{j-2}(D)\to H^{j}(X)\to H^{j}(XD)\to H^{j-1}(D)\ till \cdots .

Historisk terminologi

I 1800-talets teori om elliptiska funktioner kallades 1-former med logaritmiska poler ibland integraler av det andra slaget (och, med en olycklig inkonsekvens, ibland differentialer av det tredje slaget ). Till exempel kallades Weierstrass zeta-funktionen associerad med ett gitter $\Lambda$ i C en "integral av det andra slaget" för att betyda att den kunde skrivas

\zeta (z)={\frac {\sigma '(z)}{\sigma (z)}}.

I moderna termer följer det att $\zeta (z)dz=d\sigma /\sigma$ är en 1-form på C med logaritmiska poler på $\Lambda$ , eftersom $\Lambda$ är nollmängden för Weierstrass sigmafunktion $\sigma (z).$

Mixed Hodge-teori för släta varianter

Över de komplexa talen visade Deligne en förstärkning av Alexander Grothendiecks algebraiska de Rham-teorem, som förknippade sammanhängande kohomologi med singular kohomologi . För varje jämnt schema X över C med en divisor med enkla normalkorsningar D finns det en naturlig isomorfism

H^{k}(X,\Omega _{X}^{\bullet }(\log D ))\cong H^{k}(XD,\mathbf {C} )

för varje heltal k , där grupperna till vänster definieras med Zariski-topologin och grupperna till höger använder den klassiska (euklidiska) topologin.

Dessutom, när X är jämn och korrekt över C , den resulterande spektrala sekvensen

E_{1}^{pq}=H^{q}(X ,\Omega _{X}^{p}(\log D))\Högerpil H^{p+q}(XD,\mathbf {C} )

degenererar vid $E_{1}$ . $Så$ kohomologin för $XD$ med komplexa koefficienter har en minskande filtrering, Hodge-filtreringen , vars associerade $displaystil H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D))}$ vektorrum är de algebraiskt definierade grupperna .

Detta är en del av den blandade Hodge-strukturen som Deligne definierade på kohomologin för alla komplexa algebraiska varianter. I synnerhet finns det också en viktfiltrering på den rationella kohomologin av $XD$ . Den resulterande filtreringen på $H^{*}(XD,\mathbf {C} )$ kan konstrueras med det logaritmiska de Rham-komplexet. Definiera nämligen en ökande filtrering $W_{\bullet }\Omega _{X}^{p}(\log D)$ med

W_{m}\Omega _{X}^{p}(\log D)={\begin{cases}0&m<0\\\Omega _{X}^{pm}\cdot \Omega _{ X}^{m}(\log D)&0\leq m\leq p\\\Omega _{X}^{p}(\log D)&m\geq p.\end{cases}}

Den resulterande filtreringen på kohomologi är viktfiltreringen:

W_{m}H^{k}(XD,\mathbf {C} )={\text{Im}}(H^{k}(X,W_{mk}\Omega _{X}^{ \bullet }(\log D))\högerpil H^{k}(XD,\mathbf {C} )).

Med utgångspunkt i dessa resultat generaliserade Hélène Esnault och Eckart Viehweg Kodaira–Akizuki–Nakanos försvinnande sats i termer av logaritmiska differentialer. Låt nämligen X vara en jämn komplex projektiv variation av dimension n , D en divisor med enkla normalkorsningar på X och L en riklig linjebunt på X . Sedan