Weierstrass funktioner

För fraktal kontinuerlig funktion utan en definierad derivata, se Weierstrass funktion .

Inom matematiken är Weierstrassfunktionerna specialfunktioner av en komplex variabel som är hjälpmedel till Weierstrass elliptiska funktion . De är uppkallade efter Karl Weierstrass . Relationen mellan sigma-, zeta- och $\wp$ -funktionerna är analog med den mellan sinus-, cotangens- och kvadratiska cosecant-funktionerna: den logaritmiska derivatan av sinus är cotangensen, vars derivata är negativ den kvadratiska cosecanten.

Weierstrass sigma funktion

Rita för sigma-funktionen med hjälp av domänfärgning .

Weierstrass sigma-funktionen associerad med ett tvådimensionellt gitter $\Lambda \subset \mathbb {C}$ definieras som produkten

${\begin{aligned}\ operatornamn {\sigma } {(z;\Lambda )}&=z\prod _{w\in \Lambda ^{*}}\left(1-{\frac {z}{w}}\right)e^ {z/w+{\frac {1}{2}}(z/w)^{2}}\\&=z\prod _{\begin{smallmatrix}m,n=-\infty \\\{m ,n\}\neq 0\end{smallmatrix}}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right) e^{z/(m\omega _{1}+n\omega _{2})+{\frac {1}{2}}(z/(m\omega _{1}+n\omega _{ 2}))^{2}}\end{aligned}}$

där $\Lambda ^{*}$ anger $\Lambda -\{0\}$ eller $\{\omega _{1}, \omega _{2}\}$ är ett fundamentalt par av punkter .

Genom noggrann manipulation av Weierstrass faktoriseringssats, eftersom den också relaterar till sinusfunktionen, är en annan potentiellt mer hanterbar oändlig produktdefinition

$\operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}={\frac {\omega _{i}}{\pi }}e^{\eta _{i}z ^{2}/\omega _{i}}\sin {\left({\frac {\pi z}{\omega _{i}}}\right)}\prod _{n=1}^{\ infty }\left(1-{\frac {\sin ^{2}{\left({\tfrac {\pi z}{\omega _{i}}}\right)}}{\sin ^{2} {\left({\tfrac {n\pi \omega _{j}}{\omega _{i}}}\right)}}}\right)$

för alla $\{i,j\}\in \{1,2,3\}$ med $i\neq j$ och där vi har använt notationen ${\displaystyle \eta _{i}=\zeta (\omega _{i}/2;\Lambda )} ($ se zeta-funktionen nedan) .

Weierstrass zeta-funktion

Rita av zeta-funktionen med hjälp av domänfärgning

Weierstrass zeta-funktionen definieras av summan

$\operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1} {z}}+\summa _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{zw}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z} {w^{2}}}\höger).$

Weierstrass zeta-funktionen är den logaritmiska derivatan av sigma-funktionen. Zeta-funktionen kan skrivas om som:

$\operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}$

där ${\mathcal {G}}_{2k+2}$ är Eisenstein-serien med vikten 2 k + 2.

Derivatan av zetafunktionen är $-\wp (z)$ , där $\wp (z)$ är Weierstrass elliptiska funktion

Weierstrass zetafunktion ska inte förväxlas med Riemanns zetafunktion i talteorin.

Weierstrass eta funktion

Weierstrass eta-funktionen definieras som

$\eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda ) -\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ för alla }}z\in \mathbb {C}$ och alla w i gittret $\Lambda$

Detta är väldefinierat, dvs $\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )$ beror bara på gittret vektor w . Weierstrass eta-funktionen ska inte förväxlas med vare sig Dedekind eta-funktionen eller Dirichlet eta-funktionen .

Weierstrass ℘-funktion

Rita av p-funktionen med hjälp av domänfärgning

Weierstrass p-funktionen är relaterad till zeta-funktionen av

$\operatorname {\wp } {(z;\Lambda )}=-\operatörsnamn {\zeta '} { (z;\Lambda )},{\mbox{ för alla }}z\in \mathbb {C}$

Weierstrass ℘-funktionen är en jämn elliptisk funktion av ordningen N=2 med en dubbelpol vid varje gitterpunkt och inga andra poler.

Degenererat fall

Betrakta situationen där en period är reell, som vi kan skala till $\omega _{1}=2\pi$ och den andra tas till gränsen för ${\ displaystyle \omega _{2}\rightarrow i\infty }$ så att funktionerna endast är enstaka periodiska. Motsvarande invarianter är $\{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}} ,{\tfrac {1}{216}}\right\}$ av diskriminant $\Delta =0$ . Då har vi $\eta _{1}={\tfrac {\pi }{12}}$ och alltså från ovanstående oändliga produktdefinition följande likhet:

$\operatörsnamn {\sigma } {(z;\Lambda )}=2e^{z^{2}/24}\ sin {\left({\tfrac {z}{2}}\right)}$

En generalisering för andra sinusliknande funktioner på andra dubbelperiodiska gitter är

$f(z)={\frac {\pi }{\omega _{1} }}e^{-(4\eta _{1}/\omega _{1})z^{2}}\operatörsnamn {\sigma } {(2z;\Lambda )}$

Den här artikeln innehåller material från Weierstrass sigma-funktion på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .