Twisted Poincaré-dualitet

I matematik är den vridna Poincaré-dualiteten en sats som tar bort begränsningen av Poincaré-dualitet till orienterade grenrör . Förekomsten av en global orientering ersätts av att föra med sig lokal information, med hjälp av ett lokalt koefficientsystem .

Twisted Poincaré-dualitet för de Rham-kohomologi

En annan version av satsen med verkliga koefficienter har de Rham kohomologi med värden i orienteringspaketet . Detta är den platta reella linjebunten betecknad ${\displaystyle o(M)} ,$ som trivialiseras av koordinatdiagram för grenröret $M$ , med övergångskartor tecknet för den jakobiska determinanten för sjökortsövergången Kartor. Som en platt linjebunt har den en de Rham-kohomologi, betecknad med

H^{*}(M;\mathbb {R} ^{w})

eller

H^{*}( M;o(M))

.

För M ett kompakt grenrör är kohomologin i högsta grad utrustad med en så kallad spårmorfism

\theta \colon H^{d}(M;o(M))\to \mathbb {R}

,

det ska tolkas som integration på M , dvs att utvärdera mot grundklassen .

Poincaré-dualitet för differentialformer är då konjunktionen, för M ansluten, av följande två påståenden:

Spårmorfismen är en linjär isomorfism.
Bägareprodukten, eller exteriörprodukten av differentiella former

\cup \colon H^{*}(M; \mathbb {R} )\otimes H^{d-*}(M,o(M))\till H^{d}(M,o(M))\simeq \mathbb {R}

är icke degenererad.

Den orienterade Poincaré-dualiteten finns i detta uttalande, som förstås av det faktum att orienteringsbunten o(M) är trivial om mångfalden är orienterad, en orientering är en global trivialisering, dvs en parallell sektion som inte försvinner någonstans.

Se även

Några referenser finns i svaren till den här tråden på MathOverflow .
Onlineboken Algebraic and geometric surgery av Andrew Ranicki .
Bott, Raoul ; Tu, Loring W. (1982). Differentialformer i algebraisk topologi . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 82. New York-Berlin: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4757-3951-0 . ISBN 0-387-90613-4 . MR 0658304 .