Littelmanns stigmodell

Inom matematik är Littelmanns vägmodell en kombinatorisk enhet tack vare Peter Littelmann för att beräkna multipliciteter utan att överräkna i representationsteorin för symmetriserbara Kac–Moody-algebror . Dess viktigaste tillämpning är för komplexa semisimple Lie-algebror eller motsvarande kompakta semisimple Lie-grupper , fallet som beskrivs i den här artikeln. Multiplicitationer i irreducerbara representationer , tensorprodukter och förgreningsregler kan beräknas med hjälp av en färgriktad graf , med etiketter som ges av de enkla rötterna av Lie-algebra.

Utvecklad som en bro mellan teorin om kristallbaser som härrör från Kashiwaras och Lusztigs arbete med kvantgrupper och standardmonomialteorin för CS Seshadri och Lakshmibai, associerar Littelmanns vägmodell till varje irreducerbar representation ett rationellt vektorrum med bas som ges av vägar från ursprunget till en vikt samt ett par rotoperatorer som verkar på banor för varje enkel rot . Detta ger ett direkt sätt att återställa de algebraiska och kombinatoriska strukturerna som tidigare upptäckts av Kashiwara och Lusztig med hjälp av kvantgrupper.

Bakgrund och motivation

Några av de grundläggande frågorna i representationsteorin för komplexa semisimple Lie-algebror eller kompakta semisimple Lie-grupper som går tillbaka till Hermann Weyl inkluderar:

För en given dominant vikt λ , hitta viktmultiplikheterna i den irreducerbara representationen L (λ) med högsta vikten λ.
För två högsta vikter λ, μ, hitta nedbrytningen av deras tensorprodukt L (λ) $\otimes$ L (μ) till irreducerbara representationer.
Antag att ${\mathfrak {g}}_{1}$ är Levi-komponenten i en parabolisk subalgebra av en halvenkel Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ . För en given dominant högsta vikt λ bestämmer du förgreningsregeln för att dekomponera begränsningen av L ( λ ) till ${\mathfrak {g}}_{1}$ .

(Observera att det första problemet, viktmångfald, är specialfallet för det tredje där den paraboliska subalgebra är en Borel-subalgebra. Dessutom kan Levi-förgreningsproblemet inbäddas i tensorproduktproblemet som ett visst begränsande fall.)

Svar på dessa frågor gavs först av Hermann Weyl och Richard Brauer som följder av explicita karaktärsformler , följt av senare kombinatoriska formler av Hans Freudenthal , Robert Steinberg och Bertram Kostant ; se Humphreys (1994) . En otillfredsställande egenskap hos dessa formler är att de involverade alternerande summor för kvantiteter som på förhand var kända som icke-negativa. Littelmanns metod uttrycker dessa multipliciteter som summor av icke-negativa heltal utan överräkning . Hans arbete generaliserar klassiska resultat baserade på unga tablåer för den allmänna linjära Lie-algebra ${\mathfrak {gl}}$ _n eller den speciella linjära Lie-algebra ${\mathfrak {sl}}$ _n :

Issai Schurs resultat i sin avhandling från 1901 att viktmångfalden kunde räknas i termer av kolumnstränga Young-tablåer (dvs svagt ökande till höger längs rader och strikt ökande nedåtgående kolumner).
Den berömda Littlewood–Richardson-regeln som beskriver både tensorproduktnedbrytningar och förgrening från ${\mathfrak {gl}}$ _{m + n} till ${\mathfrak {gl}}$ _m $\oplus$ ${\mathfrak {gl}}$ _n i termer av gitterpermutationer av skeva tablåer.

Försök att hitta liknande algoritmer utan att överräkna för de andra klassiska Lie-algebran hade bara varit delvis framgångsrika.

Littelmanns bidrag var att ge en enhetlig kombinatorisk modell som gällde alla symmetriserbara Kac-Moody-algebror och gav uttryckliga subtraktionsfria kombinatoriska formler för viktmultipliciteter, tensorproduktregler och förgreningsregler . Han åstadkom detta genom att introducera vektorutrymmet V över Q genererat av viktgittret av en Cartan-subalgebra ; på vektorrymden av bitvis linjära banor i V som kopplar origo till en vikt, definierade han ett par rotoperatorer för varje enkel rot av ${\mathfrak {g}}$ . De kombinatoriska data kan kodas i en färgriktad graf, med etiketter som ges av de enkla rötterna.

Littelmanns främsta motivation var att förena två olika aspekter av representationsteorin:

Standardmonomalteorin för Lakshmibai och Seshadri som härrör från Schubert-varianternas geometri .
Kristallbaser som uppstår i inställningen till kvantgrupper av Masaki Kashiwara och George Lusztig . Kashiwara och Lusztig konstruerade kanoniska baser för representationer av deformationer av den universella omslutande algebra av ${\mathfrak {g}}$ beroende på en formell deformationsparameter q . I det degenererade fallet när q = 0, ger dessa kristallbaser tillsammans med par av operatorer som motsvarar enkla rötter; se Ariki (2002) .

Även om den var annorlunda definierad, visades kristallbasen, dess rotoperatorer och kristallgrafen senare vara likvärdiga med Littelmanns vägmodell och graf; se Hong & Kang (2002 , s. xv). I fallet med komplexa semisimpla Lie-algebror finns det en förenklad fristående redogörelse i Littelmann (1997) som endast förlitar sig på rotsystemens egenskaper ; detta tillvägagångssätt följs här.

Definitioner

Låt P vara viktgittret i dualen av en Cartan-subalgebra i den halvenkla Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ .

En Littelmann-bana är en styckvis linjär kartläggning

\pi :[0,1]\cap \mathbf {Q} \rightarrow P\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q}

så att π(0) = 0 och π(1) är en vikt .

Låt ( H _α ) vara grunden för ${\mathfrak {h}}$ bestående av "coroot"-vektorer, dubbla till basen av ${\mathfrak {h}}$ * bildad av enkla rötter ( α). För fast α och en bana π har funktionen $h(t)=(\pi (t),H_{\alpha })$ ett minimivärde M .

Definiera icke-minskande självmappningar l och r av [0,1] $\cap$ Q med

l(t)=\min _{t\leq s\leq 1}(1,h(s)-M),\,\,\,\,\,\,r(t)=1- \min _{0\leq s\leq t}(1,h(s)-M).

Alltså l ( t ) = 0 tills sista gången h ( s ) = M och r ( t ) = 1 efter första gången h ( s ) = M.

Definiera nya banor π _l och π _r by

\pi _{r}(t)=\pi (t )+r(t)\alpha ,\,\,\,\,\,\,\pi _{l}(t)=\pi (t)-l(t)\alpha

Rotoperatorerna e _α och f _α definieras på en basvektor [π] av

$\displaystyle {e_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{r}]}$ om r (0) = 0 och annars 0;
$\displaystyle {f_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{l}]}$ om l (1) = 1 och 0 annars.

Nyckelfunktionen här är att vägarna utgör en bas för rotoperatorerna som den för en monomisk representation : när en rotoperator appliceras på baselementet för en sökväg är resultatet antingen 0 eller baselementet för en annan väg.

Egenskaper

Låt ${\mathcal {A}}$ vara den algebra som genereras av rotoperatorerna. Låt π( t ) vara en väg som ligger helt inom den positiva Weyl-kammaren som definieras av de enkla rötterna. Med hjälp av resultat på vägmodellen för CS Seshadri och Lakshmibai visade Littelmann det

A ${\mathcal {A}}$ -modulen som genereras av [π] beror endast på π(1) = λ och har en - bas bestående av banor [σ];
multipliciteten av vikten μ i den integrerbara högsta viktrepresentationen L (λ) är antalet banor σ med σ(1) = μ.

Det finns också en åtgärd från Weyl-gruppen på banor [π]. Om α är en enkel rot och k = h (1), med h som ovan, så fungerar motsvarande reflektion s _α enligt följande:

s _α [π] = [π] om k = 0;
s _α [π]= f _α^k [π] om k > 0;
s _α [π]= e _α^{– k} [π] om k < 0.

Om π är en bana som ligger helt inuti den positiva Weyl-kammaren, definieras Littelmann-grafen ${\mathcal {G}}_{\pi }$ som den färgade, riktade grafen som har som hörn icke-noll banor erhållna genom att successivt applicera operatorerna f _α till π. Det finns en riktad pil från en väg till en annan märkt av den enkla roten α, om målvägen erhålls från källvägen genom att applicera f _α .

Littelmann-graferna för två banor är isomorfa som färgade, riktade grafer om och endast om banorna har samma slutpunkt.

Littelmann-grafen beror därför bara på λ. Kashiwara och Joseph bevisade att det sammanfaller med "kristallgrafen" definierad av Kashiwara i teorin om kristallbaser.

Ansökningar

Teckenformel

Om π(1) = λ, är multipliciteten av vikten μ i L (λ) antalet hörn σ i Littelmann-grafen ${\mathcal {G}}_{\pi }$ med σ( 1) = μ.

Generaliserad Littlewood–Richardson regel

Låt π och σ vara banor i den positiva Weyl-kammaren med π(1) = λ och σ(1) = μ. Sedan

L(\lambda )\otimes L(\mu )=\bigoplus _{\eta }L(\lambda + \tau (1)),

där τ sträcker sig över banor i ${\mathcal {G}}_{\sigma }$ så att π $\star$ τ ligger helt i den positiva Weyl-kammaren och sammanlänkningen π $\star$ τ (t) definieras som π(2 t ) för t ≤ 1/2 och π(1) + τ( 2 t – 1) för t ≥ 1/2.

Förgreningsregel

Om ${\mathfrak {g}}_{1}$ är Levi-komponenten i en parabolisk subalgebra av ${\mathfrak {g}}$ med viktgitter P ₁ $\supset$ P då

L(\lambda )|_{{\mathfrak {g}}_{1}}=\bigoplus _{\sigma }L_{{\ mathfrak {g}}_{1}}(\sigma (1)),

där summan sträcker sig över alla banor σ i ${\mathcal {G}}_{\pi }$ som ligger helt i den positiva Weyl-kammaren för ${\mathfrak {g}}_{ 1}$ .

Se även

Kristallbas

Anteckningar

Ariki, Susumu (2002), Representations of Quantum Algebras and Combinatorics of Young Tableaux , University Lecture Series, vol. 26, American Mathematical Society, ISBN 0821832328
Berenstein, Arkady; Zelevinsky, Andrei (2001), "Tensor produktmångfald, kanoniska baser och totalt positiva varianter", Invent. Matematik. , 143 (1): 77–128, arXiv : math/9912012 , Bibcode : 2001InMat.143...77B , doi : 10.1007/s002220000102 , S2CID 17648744
Hong, Jin; Kang, Seok-Jin (2002), Introduktion till kvantgrupper och kristallbaser , Graduate Studies in Mathematics , vol. 42, American Mathematical Society, ISBN 0821828746
King, Ronald C. (1990), "S-funktioner och karaktärer av Lie algebras och superalgebras", Institute for Mathematics and Its Applications , IMA Vol. Matematik. Appl., Springer-Verlag, 19 : 226–261, Bibcode : 1990IMA....19..226K
Humphreys, James E. (1994), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory (2 uppl.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90053-5
Littelmann, Peter (1994), "A Littlewood-Richardson rule for symmetrizable Kac-Moody algebras", Invent. Matematik. , 116 : 329–346, Bibcode : 1994InMat.116..329L , doi : 10.1007/BF01231564 , S2CID 85546837
Littelmann, Peter (1995), "Paths and root operators in representation theory", Ann. av matte. , Annals of Mathematics, 142 (3): 499–525, doi : 10.2307/2118553 , JSTOR 2118553
Littelmann, Peter (1997), "Characters of Representations and Paths in ${\mathfrak {h}}$ _R *", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics , American Mathematical Society, 61 : 29–49, doi : 10.1090 /pspum/061/1476490 [instruktionskurs]
Littlewood, Dudley E. (1977) [1950], The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups , AMS Chelsea Publishing Series, vol. 357 (2:a upplagan), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-7435-6
Macdonald, Ian G. (1998), Symmetric Functions and Hall Polynomials , Oxford matematiska monografier (2nd ed.), Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850450-4
Mathieu, Olivier (1995), Le modèle des chemins, Exposé nr. 798 , Séminaire Bourbaki (astérique), vol. 37
Sundaram, Sheila (1990), "Tableaux in the representation theory of the classical Lie groups", Institute for Mathematics and Its Applications , IMA Vol. Matematik. Appl., Springer-Verlag, 19 : 191–225, Bibcode : 1990IMA....19..191S
Weyl, Hermann (2016) [1953], The Classical Groups: Their Invariants and Representations (PMS-1) , Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, vol. 45 (andra upplagan), Princeton University Press, ISBN 978-1-4008-8390-5