Liouvilles ekvation

För Liouvilles ekvation i dynamiska system, se Liouvilles teorem (Hamiltonian) .

För Liouvilles ekvation i kvantmekanik, se Von Neumanns ekvation .

För Liouvilles ekvation i det euklidiska rymden, se Liouville–Bratu–Gelfands ekvation .

Inom differentialgeometri är Liouvilles ekvation , uppkallad efter Joseph Liouville , den ickelinjära partiella differentialekvationen som uppfylls av den konforma faktorn f för en metrisk f ² (d x ² + d y ² ) på en yta med konstant Gaussisk krökning K :

$\Delta _{0}\log f=-Kf^{2},$

där ∆ ₀ är den platta Laplace-operatorn

$\Delta _{0}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2 }}}=4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}.$

Liouvilles ekvation dyker upp i studiet av isotermiska koordinater i differentialgeometri: de oberoende variablerna x,y är koordinaterna, medan f kan beskrivas som den konforma faktorn med avseende på den platta metriken. Ibland är det kvadraten f ² som kallas den konforma faktorn, istället för f själv.

Liouvilles ekvation togs också som ett exempel av David Hilbert i formuleringen av hans nittonde problem .

Andra vanliga former av Liouvilles ekvation

Genom att använda ändringen av variabler log f ↦ u , erhålls en annan vanlig form av Liouvilles ekvation:

$\Delta _{0}u=-Ke^{2u}.$

Andra två former av ekvationen, som vanligtvis finns i litteraturen, erhålls genom att använda den lilla varianten 2 log f ↦ u av föregående förändring av variabler och Wirtinger-kalkylen : $\Delta _{0}u=-2Ke^{u}\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}u}{{\partial z}{\partial {\bar {z} }}}}=-{\frac {K}{2}}e^{u}.$

Observera att det är exakt i den första av de två föregående formerna som Liouvilles ekvation citerades av David Hilbert i formuleringen av hans nittonde problem .

En formulering som använder Laplace-Beltrami-operatören

På ett mer oföränderligt sätt kan ekvationen skrivas i termer av den inneboende Laplace–Beltrami-operatorn

$\Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{f^{2}}}\Delta _{0}$

som följer:

$\Delta _{\mathrm {LB} }\log \;f=-K.$

Egenskaper

Relation till Gauss-Codazzis ekvationer

Liouvilles ekvation är ekvivalent med Gauss-Codazzi-ekvationerna för minimala nedsänkningar i 3-utrymmet, när metriken skrivs i isotermiska koordinater $z$ så att Hopf-differentialen är $\mathrm {d} z^{2}$ .

Allmän lösning av ekvationen

I en enkelt ansluten domän Ω kan den allmänna lösningen av Liouvilles ekvation hittas med hjälp av Wirtinger-kalkyl. Dess form ges av

$u(z,{\bar {z} })=\ln \left(4{\frac {\left|{\mathrm {d} f(z)}/{\mathrm {d} z}\right|^{2}}{(1+K\ vänster|f(z)\höger|^{2})^{2}}}\höger)$

där f ( z ) är vilken meromorf funktion som helst så att

• d f / d z ( z ) ≠ 0 för varje z ∈ Ω .
• f ( z ) har som mest enkla poler i Ω .

Ansökan

Liouvilles ekvation kan användas för att bevisa följande klassificeringsresultat för ytor:

. En yta i det euklidiska 3-rummet med metrisk d l ² = g ( z , _ z )d z d _ z och med konstant skalär krökning K är lokalt isometrisk till:

1. sphere sfären om K  > 0 >
2. det euklidiska planet om K = 0 ;
3. det Lobachevskianska planet om K < 0 .

Se även

• Liouville field theory , en tvådimensionell konform fältteori vars klassiska rörelseekvation är en generalisering av Liouvilles ekvation

Anförda verk

•     Dubrovin, BA; Novikov, SP ; Fomenko, AT (1992) [Först publicerad 1984], Modern Geometry–Methods and Applications. Del I. Geometrin för ytor, transformationsgrupper och fält, Graduate Studies in Mathematics, vol. 93 (2nd ed.), Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag, s. xv+468, ISBN 3-540-97663-9 , MR 0736837 , Zbl 0751.53001 .
•     Henrici, Peter (1993) [Först publicerad 1986], Applied and Computational Complex Analysis , Wiley Classics Library, vol. 3 (Reprint ed.), New York - Chichester - Brisbane - Toronto - Singapore: John Wiley & Sons, s. X+637, ISBN 0-471-58986-1 , MR 0822470 , Zbl 1107.30300 .
•   Hilbert, David (1900), "Mathematische Probleme" , Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse ( på tyska) (3): 253–297, JFM 31.0068.03 , översatt till engelska av Mary Frances Winston Newson som    Hilbert, David ( 1902), "Mathematical Problems" , Bulletin of the American Mathematical Society , 8 (10): 437–479, doi : 10.1090 /S0002-9904-1902-00923-3 , JFM 30.79,7 1557926 .