Liouville–Bratu–Gelfand ekvation

För Liouvilles ekvation i differentialgeometri, se Liouvilles ekvation .

Inom matematik är Liouville–Bratu–Gelfands ekvation eller Liouvilles ekvation en icke-linjär Poisson-ekvation , uppkallad efter matematikerna Joseph Liouville , G. Bratu och Israel Gelfand . Ekvationen lyder

\nabla ^{2}\psi +\lambda e^{\psi }=0

Ekvationen visas i termisk flykt som Frank-Kamenetskii teori , astrofysik till exempel, Emden-Chandrasekhar ekvation . Denna ekvation beskriver också rymdladdningen av elektricitet runt en glödande tråd och beskriver planetarisk nebulosa .

Liouvilles lösning

I två dimensioner med kartesiska koordinater $(x,y)} föreslog$ displaystyle Joseph Liouville en lösning 1853 som

\lambda e^{\psi }(u^{2}+ v^{2}+1)^{2}=2\left[\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\ partiell u}{\partial y}}\right)^{2}\right]

där $f(z)=u+iv$ är en godtycklig analytisk funktion med $z=x+iy$ . 1915 hittade GW Walker en lösning genom att anta en form för $f(z)$ . Om $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ så är Walkers lösning

8e^{-\psi }=\lambda \left[\left({\frac {r}{a}}\ höger)^{n}+\vänster({\frac {a}{r}}\höger)^{n}\höger]^{2}

där $a$ är någon ändlig radie. Denna lösning avklingar vid oändligheten för alla $n$ , men blir oändlig vid origo för ${\displaystyle n<1} ,$ blir finit vid origo för $n=1$ och blir noll vid origo för $n>1$ . Walker föreslog också ytterligare två lösningar i sitt papper från 1915.

Radiellt symmetriska former

Om systemet som ska studeras är radiellt symmetriskt blir ekvationen i $n$ dimensionen

\psi ''+{\frac {n-1}{r}}\psi '+\lambda e^{\psi }=0

där $r$ är avståndet från origo. Med randvillkoren

\psi '(0)=0,\quad \psi (1)=0

och för $\lambda \geq 0$ finns en verklig lösning endast för ${\displaystyle \lambda \in [0,\lambda _{c}]} ,$ där $\lambda _{c}$ är den kritiska parametern som kallas Frank-Kamenetskii parameter . Den kritiska parametern är $\lambda _{c}=0,8785$ för ${\displaystyle n=1} ,$ λ $\displaystyle \lambda _{c}=2}$ för $n=2$ och $\lambda _{c}=3.32$ för $n=3$ . För $n=1,\ 2$ finns två lösningar och för $3\leq n\leq 9$ finns det oändligt många lösningar med lösningar som oscillerar kring punkten $\lambda =2(n-2)$ . För $n\geq 10$ är lösningen unik och i dessa fall ges den kritiska parametern av $\lambda _{c}=2(n- 2)$ . Mångfald av lösning för $n=3$ upptäcktes av Israel Gelfand 1963 och senare 1973 generaliserades för alla $n$ av Daniel D. Joseph och Thomas S. Lundgren .