Diamagnetisk ojämlikhet

Inom matematik och fysik relaterar den diamagnetiska ojämlikheten Sobolev-normen för det absoluta värdet av en sektion av en linjebunt till dess kovariantderivata . Den diamagnetiska ojämlikheten har en viktig fysikalisk tolkning, att en laddad partikel i ett magnetfält har mer energi i sitt grundtillstånd än i ett vakuum .

För att exakt ange olikheten, låt $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ beteckna det vanliga Hilbertrummet för kvadratintegrerbara funktioner, och $H^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ Sobolev -rummet av kvadratintegrerbara funktioner med kvadratintegrerbara derivator. Låt $f,A_{1},\dots ,A_{n}$ vara mätbara funktioner på $\mathbb {R} ^{n}$ och anta att ${\displaystyle A_{j}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})} är verkligt värderad$ , ${ \displaystyle f}$ är komplext värderad, och $f,(\partial _{ 1}+iA_{1})f,\dots ,(\partial _{n}+iA_{n})f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ . Sedan för nästan varje $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ,

$$|\nabla |f|(x)|\leq |(\nabla +iA)f(x)|.$$

I synnerhet $|f|\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ .

Bevis

För detta bevis följer vi Lieb och Loss. Från antagandena, ${\displaystyle \partial _{j}|f|\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})} när den visas$ i känsla för distributioner och

$$\partial _{j}|f|(x)=\operatörsnamn {Re} \left({ \frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\partial _{j}f(x)\right)$$

för nästan varje $x$ så att $f(x)\neq 0$ (och $\partial _{j}|f| (x)=0$ om $f(x)=0$ ). Dessutom,

$$\operatorname {Re} \left({\frac {{\ överlinje {f}}(x)}{|f(x)|}}iA_{j}f(x)\right)=\operatörsnamn {Im} (A_{j}f)=0.$$

Så

$$\nabla |f|(x)=\operatörsnamn {Re} \left({\frac {{\överlinje {f}}(x)}{|f(x)|}}\mathbf {D} f (x)\right)\leq \left|{\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\mathbf {D} f(x)\right|=|\ mathbf {D} (x)|$$

för nästan varje $x$ så att $f(x)\neq 0$ . Fallet att $f(x)=0$ är liknande.

Applikation på linjebuntar

Låt $p:L\to \mathbb {R} ^{n}$ vara en U(1) linjebunt, och låt $A$ vara en anslutning 1-form för $L$ . I den här situationen $A$ realvärderad, och den kovarianta derivatan $\mathbf {D}$ uppfyller $\mathbf {D } f_{j}=(\partial _{j}+iA_{j})f$ för varje avsnitt $f$ . Här $\partial _{j}$ komponenterna i den triviala anslutningen för $L$ . Om $A_{j}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ och ${\displaystyle f,(\partial _{1}+iA_{1})f,\dots ,(\ partiell _{n}+iA_{n})f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})} ,$ sedan för nästan varje $x\in \mathbb {R } ^{n}$ , det följer av den diamagnetiska olikheten att

$$|\nabla |f|(x)|\leq |\mathbf {D} f(x)|.$$

Ovanstående fall är av det mest fysiska intresset. Vi ser $\mathbb {R} ^{n}$ som Minkowskis rumtid . Eftersom mätgruppen för elektromagnetism är ${\displaystyle U(1)} är$ anslutning 1-former för $L$ inget annat än de giltiga elektromagnetiska fyrpotentialerna på $\mathbb { R} ^{n}$ . Om $F=dA$ är den elektromagnetiska tensorn så är det masslösa Maxwell – Klein-Gordon- systemet för en sektion $\phi$ av $L$

$${\begin{cases}\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }=\operatörsnamn {Im} (\phi \mathbf {D} _{\nu}\phi )\\\mathbf {D} ^{\mu }\mathbf {D} _{\mu }\phi =0\end{cases}}$$

och energin i detta fysiska system är

$${\frac {||F(t)||_{L_{x}^{2}}^{2}}{2}}+{\frac {||\mathbf {D} \phi ( t)||_{L_{x}^{2}}^{2}}{2}}.$$

Den diamagnetiska ojämlikheten garanterar att energin minimeras i frånvaro av elektromagnetism, alltså $A=0$ .

Se även

• Diamagnetism – Vanlig, svag, frånstötande magnetism som alla material besitter