Langlands–Deligne lokal konstant

I matematik är den lokala konstanten Langlands–Deligne , även känd som den lokala epsilonfaktorn eller det lokala Artin-rotnumret (upp till en elementär reell funktion av s ), en elementär funktion associerad med en representation av Weil-gruppen i ett lokalt fält . Den funktionella ekvationen

L(ρ, s ) = ε(ρ, s )L(ρ ∨ ,1− s )

av en Artin L-funktion har en elementär funktion ε(ρ, s ) som förekommer i den, lika med en konstant som kallas Artin rottal gånger en elementär reell funktion av s , och Langlands upptäckte att ε(ρ, s ) kan skrivas på ett kanoniskt sätt som produkt

ε(ρ, s ) = Π ε(ρ v , s , ψ v )

av lokala konstanter ε(ρ v , s , ψ v ) associerade med primtal v .

Tate bevisade förekomsten av de lokala konstanterna i fallet att ρ är 1-dimensionell i Tates avhandling . Dwork (1956) bevisade förekomsten av den lokala konstanten ε(ρ v , s , ψ v ) upp till tecken. Det ursprungliga beviset på existensen av de lokala konstanterna av Langlands (1970) använde lokala metoder och var ganska långt och komplicerat och publicerades aldrig. Deligne (1973) upptäckte senare ett enklare bevis med hjälp av globala metoder.

Egenskaper

De lokala konstanterna ε(ρ, s , ψ E ) beror på en representation ρ av Weil-gruppen och ett val av karaktär ψ E för den additiva gruppen av E . De uppfyller följande villkor:

  • Om ρ är 1-dimensionell så är ε(ρ, s , ψ E ) den konstant som är associerad med den av Tates avhandling som konstanten i den funktionella ekvationen för den lokala L-funktionen.
  • ε(ρ1 ⊕ρ2 , s , ψE ) = ε(ρ1 , s , ψE ) ε( ρ2 , s , ψE ) . Som ett resultat kan ε(ρ, s , ψE ) också definieras för virtuella representationer ρ.
  • Om ρ är en virtuell representation av dimension 0 och E innehåller K så är ε(ρ, s , ψ E ) = ε(Ind E / K ρ, s , ψ K )

Brauers teorem om inducerade tecken antyder att dessa tre egenskaper karakteriserar de lokala konstanterna.

Deligne (1976) visade att de lokala konstanterna är triviala för verkliga (ortogonala) representationer av Weil-gruppen.

Notationskonventioner

Det finns flera olika konventioner för att beteckna de lokala konstanterna.

  • Parametern s är redundant och kan kombineras med representationen ρ, eftersom ε(ρ, s , ψ E ) = ε(ρ⊗|| s , 0, ψ E ) för ett lämpligt tecken ||.
  • Deligne inkluderar en extra parameter dx som består av ett val av Haar-mått på det lokala fältet. Andra konventioner utelämnar denna parameter genom att fastställa ett val av Haar-mått: antingen Haar-måttet som är självdual med avseende på ψ (används av Langlands), eller Haar-måttet som ger heltalen för E-mått 1. Dessa olika konventioner skiljer sig åt med elementära termer som är positiva reella tal.

externa länkar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Langlands–Deligne_local_constant&oldid=1020396054 "