Lamés stressellipsoid

Lamés spänningsellipsoid är ett alternativ till Mohrs cirkel för den grafiska representationen av spänningstillståndet vid en punkt . Ellipsoidens yta representerar platsen för ändpunkterna för alla spänningsvektorer som verkar på alla plan som passerar genom en given punkt i kontinuumkroppen. Med andra ord, ändpunkterna för alla spänningsvektorer vid en given punkt i kontinuumkroppen ligger på spänningsellipsoidytan, dvs radievektorn från ellipsoidens centrum, belägen vid den aktuella materialpunkten, till en punkt på ytan på ellipsoiden är lika med spänningsvektorn på något plan som passerar genom punkten. I två dimensioner representeras ytan av en ellips .

När väl ekvationerna för ellipsoiden är kända, kan storleken på spänningsvektorn erhållas för vilket plan som helst som passerar genom den punkten.

För att bestämma ekvationen för spänningsellipsoiden betraktar vi koordinataxlarna $x_{1},x_{2},x_{3}\,\!$ tagna i principens riktningar axlar, dvs i ett huvudspänningsutrymme. Koordinaterna för spänningsvektorn $\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\!$ på ett plan med normal enhetsvektor $\mathbf {n } \,\!$ som passerar genom en given punkt $P\,\!$ representeras av

$T_{1}^{(\mathbf {n} )}= \sigma _{1}n_{1},\qquad T_{2}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{2}n_{2},\qquad T_{3}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{3}n_{3}\,$

Och att veta att $\mathbf {n} \,\!$ är en enhetsvektor vi har

$n_{1}^{2}+n_{2} ^{2}+n_{3}^{2}={\frac {T_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}+{\frac {T_{2}^ {2}}{\sigma _{2}^{2}}}+{\frac {T_{3}^{2}}{\sigma _{3}^{2}}}=1\,$

vilket är ekvationen för en ellipsoid centrerad vid koordinatsystemets ursprung, med längderna på ellipsoidens halvaxlar lika med storleken på huvudspänningarna, dvs. skärningarna av ellipsoiden med huvudaxlarna är $\pm \sigma _{1},\pm \sigma _{2},\pm \sigma _{3}\,\!$ .

• Den första spänningsinvarianten $I_{1}\,\!$ är direkt proportionell mot summan av ellipsoidens huvudradier.
• Den andra spänningsinvarianten $I_{2}\,\!$ är direkt proportionell mot summan av ellipsoidens tre huvudareor. De tre huvudområdena är ellipserna på varje huvudplan.
• Den tredje spänningsinvarianten $I_{3}\,\!$ är direkt proportionell mot ellipsoidens volym.
• Om två av de tre huvudspänningarna är numeriskt lika blir spänningsellipsoiden en rotationsellipsoid . Således två huvudområden är ellipser och den tredje är en cirkel .
• Om alla huvudspänningar är lika och har samma tecken, blir spänningsellipsoiden en sfär och vilka tre vinkelräta riktningar som helst kan tas som huvudaxlar.

Spänningsellipsoiden i sig själv indikerar dock inte det plan på vilket den givna dragvektorn verkar. Endast för det fall där spänningsvektorn ligger längs en av huvudriktningarna är det möjligt att känna till planets riktning, eftersom huvudspänningarna verkar vinkelrätt mot sina plan. För att hitta orienteringen av något annat plan använde vi spänningsdirektörytan eller spänningsdirektörens kvadric representerad av ekvationen

${\frac {x_{1}^{2}}{\sigma _{1}}}+{\frac {x_ {2}^{2}}{\sigma _{2}}}+{\frac {x_{3}^{2}}{\sigma _{3}}}=1$

Spänningen som representeras av en radievektor för spänningsellipsoiden verkar på ett plan som är orienterat parallellt med tangentplanet till spänningsriktarens yta vid punkten för dess skärning med radievektorn.

Bibliografi

•   Timosjenko, Stephen P. ; James Norman Goodier (1970). Theory of Elasticity (tredje upplagan). McGraw-Hill International Editions. ISBN 0-07-085805-5 .
•   Timosjenko, Stephen P. (1983). Materialets styrkahistoria: med en kort redogörelse för elasticitetsteorin och strukturlärans historia . Dover böcker om fysik. Dover Publikationer. ISBN 0-486-61187-6 .