Pfister form

Inom matematiken är en Pfister-form en speciell typ av kvadratisk form , som introducerades av Albrecht Pfister 1965. I det följande betraktas kvadratiska former över ett fält F av karakteristisk inte 2. För ett naturligt tal n , en n -faldig Pfister-form över F är en kvadratisk form av dimensionen 2 ⁿ som kan skrivas som en tensorprodukt av kvadratiska former

$− le \lang! a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a_{1}\rangle \otimes \langle 1,-a_{2}\rangle \ ibland \cdots \otimes \langle 1,-a_{n}\rangle ,}$

för vissa icke-nollelement a ₁ , ..., a _n av F . (Vissa författare utelämnar tecknen i denna definition; notationen här förenklar relationen till Milnor K-teori , som diskuteras nedan.) En n -faldig Pfister-form kan också konstrueras induktivt från en ( n −1)-faldig Pfister-form q och ett icke-nollelement a av F , som $q\oplus (-a)q$ .

Så de 1- och 2-faldiga Pfister-formerna ser ut så här:

$\langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2 }-ay^{2}$ .

$\langle \!\langle a,b\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a,-b,ab\rangle =x^{2}-ay^{2}-bz^{2 }+abw^{2}.$

För n ≤ 3 är de n -faldiga Pfisterformerna normformer av sammansättningsalgebror . I så fall är två n -faldiga Pfister-former isomorfa om och endast om motsvarande sammansättningsalgebror är isomorfa. I synnerhet ger detta klassificeringen av oktonionalgebror .

De n -faldiga Pfister-formerna genererar additivt den n -te potensen I ⁿ av det grundläggande idealet för Witt - ringen av F.

Karakteriseringar

En kvadratisk form q över ett fält F är multiplikativ om vi för vektorer med obestämda x och y kan skriva q ( x ). q ( y ) = q ( z ) för någon vektor z för rationella funktioner i x och y över F. Isotropiska kvadratiska former är multiplikativa. För anisotropa kvadratiska former är Pfister-former multiplikativa och omvänt.

För n -faldiga Pfisterformer med n ≤ 3 hade detta varit känt sedan 1800-talet; i det fallet z tas för att vara bilinjär i x och y , med egenskaperna hos sammansättningsalgebran. Det var en anmärkningsvärd upptäckt av Pfister att n -faldiga Pfister-former för alla n är multiplikativa i mer allmän mening här, involverande rationella funktioner. Till exempel drog han slutsatsen att för vilket fält F och vilket naturligt tal n som helst , stängs mängden av summor av 2 ⁿ kvadrater i F under multiplikation, med hjälp av den kvadratiska formen $x_ {1}^{2}+\cdots +x_{2^{n}}^{2}$ är en n -faldig Pfister-form (nämligen ${\displaystyle \langle \!\langle -1,\ldots ,-1\rangle \!\rangle } )$ .

Ett annat slående drag hos Pfister-former är att varje isotropisk Pfister-form faktiskt är hyperbolisk, det vill säga isomorf till en direkt summa av kopior av det hyperboliska planet ⟨ 1 , − 1 ⟩ {\ $\rangle }$ . Denna egenskap kännetecknar också Pfister-former, enligt följande: Om q är en anisotropisk kvadratisk form över ett fält F , och om q blir hyperboliskt över varje förlängningsfält E så att q blir isotropiskt över E , så är q isomorft till en φ för någon annan än noll a i F och någon Pfister bildar φ över F .

Samband med K -teori

Låt k _n ( F ) vara den n - e Milnor K - gruppen modulo 2. Det finns en homomorfism från k _n ( F ) till kvoten I ⁿ / I ^{n +1} i Witt-ringen av F , given av

$\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \! \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \!\rangle ,$

där bilden är en n -faldig Pfister-form. Homomorfismen är surjektiv , eftersom Pfister-formerna additivt genererar I ⁿ . En del av Milnor-förmodan , bevisad av Orlov, Vishik och Voevodsky , säger att denna homomorfism i själva verket är en isomorfism k _n ( F ) ≅ I ⁿ / I ^{n +1} . Det ger en explicit beskrivning av den abelska gruppen I ⁿ / I ^{n +1} genom generatorer och relationer . Den andra delen av Milnor-förmodan, bevisad av Voevodsky, säger att k _n ( F ) (och därmed I ⁿ / I ^{n +1} ) mappar isomorft till Galois kohomologigruppen H n ⁽ F , F 2 ₎ .

Pfister grannar

En Pfister-granne är en anisotropisk form σ som är isomorf till en underform av a φ för en del icke-noll a i F och någon Pfister-form φ med dim φ < 2 dim σ. Den associerade Pfister-formen φ bestäms upp till isomorfism av σ. Varje anisotropisk form av dimension 3 är en Pfister-granne; en anisotrop form av dimension 4 är en Pfister-granne om och endast om dess diskriminant i F ^* /( F ^* ) ² är trivial. Ett fält F har egenskapen att varje 5-dimensionell anisotrop form över F är en Pfister-granne om och endast om det är ett länkat fält .

Anteckningar

•    Elman, Richard ; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008), Algebraisk och geometrisk teori om kvadratiska former , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4329-1 , MR 2427530
•     Lam, Tsit-Yuen (2005), Introduktion till kvadratiska former över fält , Graduate Studies in Mathematics , vol. 67, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1095-2 , MR 2104929 , Zbl 1068.11023 , Ch. 10
•   Orlov, Dmitri; Vishik, Alexander; Voevodsky, Vladimir (2007), "An exact sequence for K _* ^M /2 with applications to quadratic forms", Annals of Mathematics , 165 : 1–13, arXiv : math/0101023 , doi : 10.4007/annals.2007.165 MR 2276765