Jacobis fyrkvadratsats

För andra satser av Jacobi se Jacobis sats (disambiguation) .

Jacobis fyrkvadratsats ger en formel för antalet sätt som ett givet positivt heltal n kan representeras som summan av fyra kvadrater.

Historia

Teoremet bevisades 1834 av Carl Gustav Jakob Jacobi .

Sats

Två representationer anses olika om deras termer är i olika ordning eller om det heltal som kvadreras (inte bara kvadraten) är olika; för att illustrera är dessa tre av de åtta olika sätten att representera 1:

${\begin{aligned}&1^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}\\&0^{2}+1^{2}+0^{2 }+0^{2}\\&(-1)^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}.\end{aligned}}$

Antalet sätt att representera n som summan av fyra kvadrater är åtta gånger summan av divisorerna för n om n är udda och 24 gånger summan av de udda divisorerna av n om n är jämn (se divisorfunktion ), dvs.

$r_{4}(n)={\begin{cases}8\sum \limits _{m|n}m&{\text{if }}n{\text{ är udda}}\\[12pt] 24\summa \limits _{\begin{smallmatrix}m|n\\m{\text{ udda}}\end{smallmatrix}}m&{\text{om }}n{\text{ är jämn}}.\ slut{cases}}$

Motsvarande är det åtta gånger summan av alla dess divisorer som inte är delbara med 4, dvs.

$r_{4}(n)=8\summa _{m\mid n,\,4\nmid m}m.$

Vi kan också skriva detta som

$r_{4}(n)=8\sigma (n)-32\sigma (n/4)\ ,$

där den andra termen ska tas som noll om n inte är delbar med 4. I synnerhet för ett primtal p har vi den explicita formeln r ₄ ( p ) = 8( p + 1).

Vissa värden på r ₄ ( n ) förekommer oändligt ofta eftersom r ₄ ( n ) = r ₄ (2 ^m n ) när n är jämnt. Värdena på r ₄ ( n ) kan vara godtyckligt stora: faktiskt är r ₄ ( n ) oändligt ofta större än 8 √ log n .

Bevis

Satsen kan bevisas på elementära sätt med början på Jacobis trippelprodukt .

Beviset visar att Theta-serien för gittret Z ⁴ är en modulär form av en viss nivå, och därmed lika med en linjär kombination av Eisenstein-serien .

Se även

• Lagranges fyrkvadratsats
• Lambert-serien
• Kvadratsumman fungerar

Anteckningar

•    Hirschhorn, Michael D.; McGowan, James A. (2001). "Algebraiska konsekvenser av Jacobis två- och fyra-kvadratsatser". I Garvan, FG; Ismail, MEH (red.). Symbolisk beräkning, talteori, specialfunktioner, fysik och kombinatorik . Utvecklingen inom matematik. Vol. 4. Springer. s. 107–132. CiteSeerX 10.1.1.26.9028 . doi : 10.1007/978-1-4613-0257-5_7 . ISBN 978-1-4020-0101-7 .
• Hirschhorn, Michael D. (1987). "Ett enkelt bevis på Jacobis fyrkvadratsats" . Proceedings of the American Mathematical Society . 101 (3): 436. doi : 10.1090/s0002-9939-1987-0908644-9 .
•    Williams, Kenneth S. (2011). Talteori i Liouvilles anda . London Mathematical Society Studenttexter. Vol. 76. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-17562-3 . Zbl 1227.11002 .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Sum of Squares Function" . MathWorld .