Kvadratisk Lie algebra

En kvadratisk Lie-algebra är en Lie-algebra tillsammans med en kompatibel symmetrisk bilinjär form. Kompatibilitet betyder att den är invariant under den adjoint representation . Exempel på sådana är semisimpla Lie-algebror , såsom su(n) och sl(n, R ) .

Definition

En kvadratisk Lie-algebra är en Lie-algebra ( g ,[.,.]) tillsammans med en icke-degenererad symmetrisk bilinjär form $(.,.)\colon {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R}$ som är invariant under adjoint action, dvs.

([ X , Y ], Z )+( Y ,[ X , Z ])=0

där X,Y,Z är element i Lie-algebra g . En lokalisering/generalisering är begreppet Courant-algebroid där vektorutrymmet g ersätts av (sektioner av) ett vektorknippe .

Exempel

Som ett första exempel, betrakta R ⁿ med nollparentes och standard inre produkt

$((x_{1},\dots ,x_{n}),(y_ {1},\dots ,y_{n})):=\summa _{j}x_{j}y_{j}$ .

Eftersom parentesen är trivial är invariansen trivialt uppfylld.

Som ett mer utarbetat exempel betrakta so(3) , dvs R ³ med bas X,Y,Z , standard inre produkt och Lie-konsol

$[X,Y]=Z,\quad [Y,Z]=X,\quad [Z,X ]=Y$ .

Enkel beräkning visar att den inre produkten verkligen är bevarad. En generalisering är följande.

Halvenkla Lie algebror

En stor grupp av exempel passar in i kategorin halvenkla Lie-algebror, dvs Lie-algebror vars angränsande representation är trogen. Exempel är sl(n,R) och su(n) , samt direkta summor av dem. Låt alltså g vara en halvenkel Lie-algebra med adjoint representation ad , dvs

$\mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {Sluta } ({\mathfrak {g}}):X\mapsto (\mathrm {ad} _{X}\colon Y\mapsto [X,Y])$ .

Definiera nu Killing-formen

$k\colon {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} :X\otimes Y\mapsto -\mathrm {tr} (\mathrm {ad} _{X}\circ \mathrm {ad} _{Y})$ .

På grund av Cartan-kriteriet är Killing-formen icke-degenererad om och endast om Lie-algebra är halvenkel.

Om g dessutom är en enkel Lie-algebra , då är Killing-formen upp till att skala om den enda invarianta symmetriska bilinjära formen.

Den här artikeln innehåller material från Quadratic Lie-algebra på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .