Kubiskt komplex

Inom matematiken är ett kubiskt komplex (även kallat kubisk mängd och kartesiskt komplex ) en mängd som består av punkter , linjesegment , kvadrater , kuber och deras n -dimensionella motsvarigheter . De används analogt med enkla komplex och CW-komplex vid beräkningen av homologin för topologiska utrymmen .

Alla grafer är ( homeomorfa till) 1-dimensionella kubiska komplex.

Definitioner

Ett elementärt intervall är en delmängd $I\subsetneq \mathbf {R}$ av formen

$I=[l,l+1]\quad {\text{or}}\quad I=[l,l]$

för vissa $l\in \mathbf {Z}$ . En elementär kub $Q$ är den ändliga produkten av elementära intervall, dvs

$Q=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{d}\subsetneq \mathbf {R} ^{d }$

där $I_{1},I_{2},\ldots ,I_{d}$ är elementära intervall. På motsvarande sätt är en elementär kub vilken som helst översättning av en enhetskub $[0,1]^{n}$ inbäddad i det euklidiska rymden $\mathbf {R} ^{d}$ ( för vissa $n,d\in \mathbf {N} \cup \{0\}$ med $n\leq d$ ). En mängd $X\subseteq \mathbf {R} ^{d}$ är en kubisk komplex (eller kubisk mängd ) om den kan skrivas som en förening av elementära kuber (eller möjligen är homeomorf till sådana en uppsättning).

Relaterad terminologi

Elementära intervall med längden 0 (som innehåller en enda punkt) kallas degenererade , medan de av längden 1 är icke degenererade . Dimensionen för en kub är antalet icke degenererade intervall i $Q$ , betecknat ${\displaystyle \dim Q$ } . Dimensionen för ett kubiskt komplex $X$ är den största dimensionen av någon kub i $X$ .

Om $Q$ och $P$ är elementära kuber och $Q\subseteq P$ , då är ${\displaystyle Q} en$ yta av $P$ . Om $Q$ är en yta av $P$ och $Q\neq P$ , så är ${\displaystyle Q} en$ riktig yta av $P$ . Om $Q$ är en yta av $P$ och $\dim Q=\dim P-1$ , så är ${\displaystyle Q} en$ fasett eller primär yta av $P$ .

Algebraisk topologi

Huvudartikel: Kubisk homologi

I algebraisk topologi är kubiska komplex ofta användbara för konkreta beräkningar. I synnerhet finns det en definition av homologi för kubiska komplex som sammanfaller med den singulära homologin , men som är beräkningsbar .

Se även

• Enkelt komplex
• Enkel homologi
• Abstrakt cellkomplex