Komplex rumtid

Inom matematik och matematisk fysik utökar komplex rymdtid den traditionella uppfattningen om rumtid som beskrivs av rums- och tidskoordinater med realvärde till komplext värderade rum- och tidskoordinater. Begreppet är helt matematiskt utan någon fysik antydd, men bör ses som ett verktyg, till exempel, vilket exemplifieras av Wick- rotationen .

Verkliga och komplexa utrymmen

Matematik

Komplexifieringen av ett verkligt vektorrum resulterar i ett komplext vektorrum (över det komplexa talfältet ) . Att "komplexifiera" ett mellanslag innebär att utöka vanlig skalär multiplikation av vektorer med reella tal till skalär multiplikation med komplexa tal . För komplexiserade inre produktutrymmen ersätter den komplexa inre produkten på vektorer den vanliga verkliga inre produkten , ett exempel på att den senare är prickprodukten .

Inom matematisk fysik, när vi komplexiserar ett reellt koordinatrum $\mathbb {R} ^{n}$ skapar vi ett komplext koordinatrum $\mathbb {C} ^{n}$ , hänvisat till i differentialgeometri som ett " komplext grenrör ". Mellanrummet $\mathbb {C} ^{n}$ kan relateras till $\mathbb {R} ^{2n}$ , eftersom varje komplext tal utgör två reella tal.

En komplex rumtidsgeometri hänvisar till att den metriska tensorn är komplex, inte rymdtiden i sig.

Fysik

Minkowski -rummet för speciell relativitet (SR) och allmän relativitet (GR) är ett 4-dimensionellt " pseudo-euklidiskt rymd " vektorrum. Den rymdtid som ligger bakom Albert Einsteins fältekvationer , som matematiskt beskriver gravitationen , är ett verkligt 4-dimensionellt " Pseudo-Riemann-manifold ".

Inom kvantmekaniken är vågfunktioner som beskriver partiklar komplext värderade funktioner av verkliga rums- och tidsvariabler. Uppsättningen av alla vågfunktioner för ett givet system är ett oändligt dimensionellt komplext Hilbert-rum .

Historia

Begreppet rumtid som har mer än fyra dimensioner är av intresse i sin egen matematiska rätt. Dess framträdande i fysiken kan ha sin rötter i försök att förena de grundläggande interaktionerna , ursprungligen gravitation och elektromagnetism . Dessa idéer råder inom strängteorin och vidare. Idén om komplex rumtid har fått betydligt mindre uppmärksamhet, men den har övervägts i samband med Lorentz-Dirac-ekvationen och Maxwell-ekvationerna. Andra idéer inkluderar kartläggning av verklig rumtid till ett komplext representationsrum av $SU(2, 2)$ , se twistorteori .

1919 publicerade Theodor Kaluza sin 5-dimensionella förlängning av allmän relativitet till Albert Einstein , som var imponerad av hur ekvationerna av elektromagnetism uppstod från Kaluzas teori. 1926 Oskar Klein att Kaluzas extra dimension kunde " krulas ihop " till en extremt liten cirkel, som om en cirkulär topologi är gömd inom varje punkt i rymden. Istället för att vara en annan rumslig dimension kan den extra dimensionen ses som en vinkel, vilket skapade en hyperdimension när den snurrade 360°. Denna 5d-teorin heter Kaluza–Klein-teorin .

publicerade Hsin P. Soh från MIT , med råd från Arthur Eddington , en teori som försökte förena gravitation och elektromagnetism inom en komplex 4-dimensionell Riemannsk geometri . Linjeelementet ds ² är komplext värderat, så att den reella delen motsvarar massa och gravitation, medan den imaginära delen med laddning och elektromagnetism . De vanliga rymden x , y , z och tid t -koordinaterna är själva verkliga och rumtiden är inte komplex, men tangentrum får vara det.

Under flera decennier efter att ha publicerat sin allmänna relativitetsteori 1915 försökte Albert Einstein förena gravitation med elektromagnetism , för att skapa en enhetlig fältteori som förklarar båda interaktionerna. Under de senare åren av andra världskriget började Albert Einstein överväga komplexa rumtidsgeometrier av olika slag.

1953 generaliserade Wolfgang Pauli Kaluza–Klein-teorin till ett sexdimensionellt rum, och (med hjälp av dimensionell reduktion ) härledde det väsentliga i en $SU(2)$ -mätarteori (tillämpad i kvantmekaniken på den elektrosvaga interaktionen ), som om Kleins " upprullad" cirkel hade blivit ytan av en oändlig hypersfär .

1975 publicerade Jerzy Plebanski "Some Solutions of Complex Albert Einstein Equations".

Det har gjorts försök att formulera Dirac-ekvationen i komplex rumtid genom analytisk fortsättning .

Se även

Vidare läsning

Goenner, Hubert FM (2014). "Om de förenade fältteoriernas historia del II (ca 1930 — ca 1965)" . Levande recensioner i relativitetsteori . 17 (5): 5. Bibcode : 2014LRR....17....5G . doi : 10.12942/lrr-2014-5 . PMC 5255905 . PMID 28179849 .
Kaiser, Gerald (2009). "Kvantfysik, relativitet och komplex rumtid: Mot en ny syntes". arXiv : 0910.0352 [ math-ph ].