Konstruktion av en komplex nolltetrad

Beräkningar i Newman–Penrose (NP) formalism av allmän relativitet börjar normalt med konstruktionen av en komplex nolltetrad $\{l^{a},n^ {a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}$ , där $\displaystyle \{l^{a},n^{a}\ }}$ är ett par reella nollvektorer och $\{m^{a},{\bar {m}}^{a}\}$ är ett par komplexa nollvektorer . Dessa tetradvektorer respekterar följande normaliserings- och metriska villkor under antagande av rymdtidssignaturen $(-,+,+,+):$

• $l_{a}l^{a}=n_{a}n^{a}=m_{a}m^{a}={\bar {m}}_{a}{\bar {m} }^{a}=0\,;$
• $l_{a}m^{a}=l_{a}{\bar {m}}^{a}=n_{a}m^{a}=n_{a}{\bar {m}} ^{a}=0\,;$
• $l_{a}n^{a}=l^{a}n_{a}=-1\,,\;\;m_{a}{\bar {m}}^{a}=m^ {a}{\bar {m}}_{a}=1\,;$
• $g_{ab}=-l_{a}n_{b}-n_{a}l_{b}+m_{a}{\bar {m}}_{b}+{\bar {m}} _{a}m_{b}\,,\;\;g^{ab}=-l^{a}n^{b}-n^{a}l^{b}+m^{a}{ \bar {m}}^{b}+{\bar {m}}^{a}m^{b}\,.$

Först efter tetraden $\{l^{a},n^{a},m^{a},{\bar {m}}^{ a}\}$ konstrueras kan man gå framåt för att beräkna riktningsderivator , spinkoefficienter , kommutatorer , Weyl-NP-skalärer $\Psi _{i}$ , Ricci-NP-skalärer $\ Phi _{ij}$ och Maxwell-NP-skalärerna $\phi _{i}$ och andra kvantiteter i NP-formalism. Det finns tre vanligaste metoderna för att konstruera en komplex nolltetrad:

1. Alla fyra tetradvektorerna är icke-holonomiska kombinationer av ortonormala holonomiska tetrader ;
2. $l^{a}$ (eller $n^{a}$ ) är justerade med det utgående (eller ingående) tangentvektorfältet för noll radiell geodesik , medan $m^ {a}$ och ${\bar {m}}^{a}$ är konstruerade via den icke-holonomiska metoden;
3. En tetrad som är anpassad till rumtidsstrukturen ur ett 3+1-perspektiv, där dess allmänna form antas och tetradfunktioner däri ska lösas.

I sammanhanget nedan kommer det att visas hur dessa tre metoder fungerar.

Obs: Förutom konventionen $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a }{\bar {m}}_{a}=1\}$ som används i den här artikeln, den andra som används är $\{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1\,,m^{a} {\bar {m}}_{a}=-1\}$ .

Icke-holonomisk tetrad

Den primära metoden för att konstruera en komplex nolltetrad är via kombinationer av ortonormala baser. För en rumstid $g_{ab}$ med en ortonormal tetrad $\{\omega _{0}\,,\omega _{1} \,,\omega _{2}\,,\omega _{3}\}$ ,

$g_{ab}=-\omega _{0}\omega _{0}+\omega _{1 }\omega _{1}+\omega _{2}\omega _{2}+\omega _{3}\omega _{3}\,,$

covektorerna $\{l_{a}\,,n_{a}\,,m_{a}\,,{\bar {m}}_ {a}\}$ av det icke-holonomiska komplexet null-tetrad kan konstrueras av

$l_{a}dx^{a}={\frac {\omega _{0}+\omega _{1}}{\sqrt {2}}}\,,\quad n_{a}dx^{a}={\frac {\omega _{0}-\omega _{1}}{\sqrt { 2}}}\,,$$m_{a}dx^{a}= {\frac {\omega _{2}+i\omega _{3}}{\sqrt {2}}}\,,\quad {\bar {m}}_{a}dx^{a}={ \frac {\omega _{2}-i\omega _{3}}{\sqrt {2}}}\,,$

och tetradvektorerna ${\displaystyle \{l^{a}\,,n^{a}\,,m^{a}\,,{\$$\{l_{a}\,,n_{a}\ ,,m_{a}\,,{\bar {m}}_{a}\}$ erhållas genom att höja indexen för via det inversa måttet $g^{ab}$ .

Anmärkning: Den icke-holonomiska konstruktionen är faktiskt i enlighet med den lokala ljuskonstrukturen .

Exempel: En icke-holonomisk tetrad

Givet ett rumtidsmått för formen (i signatur(-,+,+,+))

$g_{ab}=-g_{tt}dt^{2 }+g_{rr}dr^{2}+g_{\theta \theta }d\theta ^{2}+g_{\phi \phi }d\phi ^{2}\,,$

de icke-holonomiska ortonormala kovektorerna är därför

$\omega _{t}={\sqrt { g_{tt}}}dt\,,\;\;\omega _{r}={\sqrt {g_{rr}}}dr\,,\;\;\omega _{\theta }={\sqrt {g_{\theta \theta }}}d\theta \,,\;\;\omega _{\phi }={\sqrt {g_{\phi \phi }}}d\phi \,,$

och de icke-holonomiska nollkovektorerna är därför

$l_{a}dx^{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}( {\sqrt {g_{tt}}}dt+{\sqrt {g_{rr}}}dr)\,,$${ \displaystyle n_{a}dx^{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {g_{tt}}}dt-{\sqrt {g_{rr}}}dr )\,,}$

$m_{a}dx^{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {g_{\theta \theta }}}d\theta +i{\sqrt {g_{\phi \phi }}}d\phi )\,,$${\bar {m}}_{a}dx^{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {g_{\theta \theta }}}d\ theta -i{\sqrt {g_{\phi \phi }}}d\phi )\,.$

la (n ^{a ) i linje} med noll radiell geodetik

I Minkowskis rumtid matchar de icke-holonomiskt konstruerade nollvektorerna $n^{a}\}}$ de utgående respektive ingående nollstrålarna . Som en förlängning av denna idé i generiska krökta rumtider $\{l^{a}\,,n^{a}\}$ med tangentvektorfältet för null radiell kongruens . Den här typen av anpassning fungerar dock bara för $\{t,r,\theta ,\phi \}$ , $\{ u,r,\theta ,\phi \}$ eller $\{v,r,\theta ,\phi \}$ koordinater där de radiella beteendena kan beskrivas väl, med $u$ och $v$ betecknar den utgående (retarderade) respektive ingående (avancerade) nollkoordinaten.

Exempel: Null-tetrad för Schwarzschild-mått i Eddington-Finkelstein-koordinater läser

$ds^{2 }=-Fdv^{2}+2dvdr+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\phi ^{2})\,,\; \;{\text{med }}F\,:=\,{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}\,,$

så är Lagrangian för noll radiell geodesik i Schwarzschilds rumtid

$L=-F{\dot {v}}^{2}+2{\dot {v}}{\dot {r}}\, ,$

som har en ingående lösning ${\dot {v}}=0$ och en utgående lösning ${\dot {r}}={\frac {F}{ 2}}{\dot {v}}$ . Nu kan man konstruera en komplex nolltetrad som är anpassad till den ingående noll radiella geodesiken:

$l^{a$

och de dubbla bas-kovektorerna är därför

$l_{a}=(-{\frac {F}{2}},1,0,0)\,,\quad n_{a}=(-1,0,0,0)\,, \quad m_{a}={\frac {r}{\sqrt {2}}}(0,0,1,i\sin \theta )\,.$

Här använde vi korsnormaliseringsvillkoret ${\displaystyle l^{a}n_{a}=n^{a}l_{a}=-1$ samt krav på $g_{ab}+l_{a}n_{b}+n_{a}l_{b}$ ska sträcka sig över det inducerade måttet ${ \displaystyle h_{AB}}$ för tvärsnitt av {v=konstant, r=konstant}, där $dv$ och $dr$ inte är ömsesidigt ortogonala. Dessutom är de återstående två tetrad (ko)vektorerna konstruerade icke-holonomiskt. Med tetraden definierad kan man nu ta reda på spinkoefficienterna, Weyl-Np-skalärerna och Ricci-NP-skalärerna som

$\kappa =\sigma =\tau =0\,,\quad \nu =\lambda =\pi =0\,,\quad \ gamma =0$$\rho ={\frac {-r+2M}{2r^{2}}}\,,\quad \mu =-{\frac {1}{r}}\,,\quad \alpha = -\beta ={\frac {-{\sqrt {2}}\cot \theta }{4r}}\,,\quad \varepsilon ={\frac {M}{2r^{2}}}\,;$

$\Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4} =0\,,\quad \Psi _{2}=-{\frac {M}{r^{3}}}\,,$

$\Phi _{00}=\Phi _{10}=\Phi _{20}=\Phi _{11}=\Phi _{12}=\Phi _{22}=\Lambda =0\ ,.$

Exempel: Null-tetrad för extremal Reissner–Nordström-metrik i Eddington-Finkelstein-koordinater läser

$ds^{2 }=-Gdv^{2}+2dvdr+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\!\theta \,d\phi ^{2}\, ,\;\;{\text{med }}G\,:=\,{\Big (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{2}\,,$

så Lagrangian är

$2L=-G{\dot {v}}^{2}+2{\dot {v}}{\dot {r}}+r^{2}({\dot {\theta }}^ {2}+\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}^{2})\,.$

För noll radiell geodesik med $\{L=0\,,{\dot {\theta }}=0\,,{\dot {\phi }}= 0\}$ , det finns två lösningar

${\dot {v}}=0$ (ingående) och ${\dot {r}}=2F{\dot {v}}$ (utgående) ,

och därför kan tetraden för en ingående observatör ställas in som

$l^{a}\partial _{a}\,=\,{\Big ( }1\,,{\frac {F}{2}}\,,0\,,0{\Big )}\,,\quad n^{a}\partial _{a}\,=\,{ \Big (}0\,,-1\,,0\,,0{\Big )}\,,$

$l_{a}dx^{a}\,=\,{\Big (}-{\frac {F}{2}}\,,1\,,0,0 {\Big )}\,,\quad n_{a}dx^{a}\,=\,{\Big (}-1\,,0\,,0\,,0{\Big )}\, ,$

$m^{a}\partial _{a}\,=\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\Big (}0\,,0\,,{\ frac {1}{r}}\,,{\frac {i}{r\sin \theta }}{\Big )}\,,\quad m_{a}dx^{a}\,=\,{ \frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\Big (}0\,,0\,,r\,,i\sin \theta {\Big )}\,.$

Med tetraden definierad kan vi nu räkna ut spinnkoefficienterna, Weyl-NP-skalärer och Ricci-NP-skalärer som

$\kappa =\sigma =\tau =0\,,\quad \nu =\lambda =\pi =0\,,\quad \ gamma =0$$\rho ={\frac {(rM)^{2}}{2r^{3}}}\,,\quad \mu =-{\frac {1}{r}}\,,\quad \alpha =-\beta ={\frac {-{\sqrt {2}}\cot \theta }{4r}}\,,\quad \varepsilon ={\frac {M(rM)}{2r^{3 }}}\,;$

$\Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\ Psi _{4}=0\,,\quad \Psi _{2}=-{\frac {(Mr-M)}{r^{4}}}\,,$

$\Phi _{00}=\Phi _{10}=\Phi _{20}=\Phi _{12}=\Phi _{22}=\Lambda =0\,,\quad \Phi _ {11}=-{\frac {M^{2}}{2r^{4}}}\,.$

Tetrads anpassade till rumtidsstrukturen

Vid några typiska gränsområden såsom noll oändlighet, tidsliknande oändlighet , rymdliknande oändlighet, svarta hål horisonter och kosmologiska horisonter , används nolltetrader anpassade till rumtidsstrukturer vanligtvis för att uppnå de mest kortfattade Newman-Penrose beskrivningarna.

Newman-Unti tetrad för noll oändlighet

För noll infinity används den klassiska Newman-Unti (NU) tetrad för att studera asymptotiska beteenden vid noll infinity ,

$l^{a}\partial _{a}=\partial _{r}:=D\,,$${\displaystyle n^{a}\partial _{a}=\partial _{u}+U\partial _{r}+X\partial _{\ varsigma }+{\bar {X}}\partial _{\bar {\varsigma }}:=\Delta \,,} m$$m^{a}\partial _{a}=\omega \partial _{r}+\xi ^{3}\partial _{\varsigma }+\xi ^{4}\partial _{ \bar {\varsigma }}:=\delta \,,$${\bar { m}}^{a}\partial _{a}={\bar {\omega }}\partial _{r}+{\bar {\xi }}^{3}\partial _{\bar {\varsigma }}+{\bar {\xi }}^{4}\partial _{\varsigma }:={\bar {\delta }}\,,$

där $\{U,X,\omega ,\xi ^{3},\xi ^{4}\}$ är tetradfunktioner som ska lösas. För NU-tetrad parametriseras foliationsbladen av den utgående (avancerade) nollkoordinaten $u$ med $l_{a}=du$ , och $displaystyle r}$ är normaliserad affin koordinat längs $l^{a}$$(Dr=l^{a}\partial _{a}r=1)$ ; den ingående nollvektorn $n^{a}$ fungerar som nollgenerator vid noll oändlighet med $\Delta u=n^{a}\partial _{ a}u=1$ . Koordinaterna $\{u,r,\varsigma ,{\bar {\varsigma }}\}$ omfattar två reella affina koordinater $\{ u,r\}$ och två komplexa stereografiska koordinater ${\displaystyle \{\varsigma :=e^{i\phi }\cot {\frac {\theta }{2}},{\bar {\varsigma }}=e^{-i\phi }\cot {\frac {\theta }{2}}\}} ,$ där $\{\theta ,\phi \}$ är de vanliga sfäriska koordinaterna på tvärsnittet ${\hat {\Delta }}_{u} =S_{u}^{2}$ (som visas i ref., komplexa stereografiska snarare än verkliga isotermiska koordinater används bara för bekvämligheten att helt lösa NP-ekvationer).

Även för NU-tetrad är de grundläggande spårviddsförhållandena

$\kappa =\pi =\varepsilon =0\,,\quad \rho ={\bar {\rho }}\,,\quad \tau ={\bar {\alpha }}+\beta \, .$

Anpassad tetrad för exteriörer och nära horisonten av isolerade horisonter

För en mer heltäckande bild av svarta hål i kvasilokala definitioner krävs anpassade tetrader som smidigt kan överföras från det yttre till det nära horisontella området och till horisonterna. Till exempel, för isolerade horisonter som beskriver svarta hål i jämvikt med deras yttre, kan en sådan tetrad och de relaterade koordinaterna konstrueras på detta sätt. Välj den första riktiga nollkovektorn $n_{a}$ som gradient av lövblad

$n_{a}\,=-dv\,,$ där $v$ är den ingående (retarderade) nollkoordinaten av Eddington–Finkelstein-typ, som markerar foliationskors- sektioner och fungerar som en affin parameter med avseende på det utgående nollvektorfältet $l^{a}\partial _{a}$ , dvs.

${\displaystyle Dv=1\,,\quad \Delta v=\delta v={\bar {\delta }}v=0\,.} Introducera$ den andra koordinaten $r$ som en affin parameter längs ingående nollvektorfält $n^{a}$ , som följer normaliseringen

$n^{a}\partial _{a}r\,=\,-1\;\Leftrightarrow \;n^{a}\partial _{a}\,=\,-\partial _{r }\,.$

Nu är den första riktiga noll-tetradvektorn $n^{a}$ fixerad. För att bestämma de återstående tetradvektorerna $\{l^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}$ deras kovektorer, förutom de grundläggande korsnormaliseringsvillkoren, krävs det också att: (i) det utgående nollnormalfältet $\displaystyle l^{a}}$ fungerar som nollgeneratorer; (ii) nollramen (covektorer) $\{l_{a},n_{a},m_{a},{\bar {m}} _{a}\}$ förökas parallellt längs $n^{a}\partial _{a}$ ; (iii) $\{m^{a},{\bar {m}}^{a}\}$ spänner över {t=konstant, r=konstant} tvärsnitt som är märkta med reella isotermiska koordinater $\{y,z\}$ .

Tetrads som uppfyller ovanstående begränsningar kan uttryckas i den allmänna formen att

${\displaystyle l^{a}\partial _{a}=\partial _{v}+U\partial _{r}+X^{3}\partial _{y}+X^{4}\partial _{z}\,:=\,D\,,} n$$n^{a}\partial _{a}=-\partial _{r}\,:=\,\Delta \,,$$m^{a}\partial _{a}=\Omega \partial _{r}+\xi ^{3}\partial _{y}+\xi ^{4} \partial _{z}\,:=\,\delta \,,$${\bar {m}}^{a}\partial _{a}={\bar {\Omega }}\partial _{r}+{\bar {\xi }}^{3}\partial _{y}+{\bar {\xi }}^{4}\partial _{z}\,:=\,{\bar {\delta }}\,.$

Mätarförhållandena i denna tetrad är

$\nu =\tau =\gamma =0\,,\quad \mu ={\bar {\mu }}\, ,\quad \pi =\alpha +{\bar {\beta }}\,,$

Anmärkning: Till skillnad från koordinater av Schwarzschild-typ representerar r=0 här horisonten , medan r>0 (r<0) motsvarar det yttre (inre) av en isolerad horisont. Människor utökar ofta en skalär $Q$ funktion med avseende på horisonten r=0,

$Q=\sum _{i=0}Q^{(i )}r^{i}=Q^{(0)}+Q^{(1)}r+\cdots +Q^{(n)}r^{n}+\ldots$

där $Q^{(0)}$ refererar till dess värde på horisonten. Själva koordinaterna som används i den anpassade tetraden ovan är faktiskt de Gaussiska nollkoordinaterna som används för att studera nära horisontell geometri och mekanik för svarta hål.

Se även

• Newman-Penrose formalism