Dimensionell minskning

Dimensionell reduktion är gränsen för en kompakterad teori där storleken på den kompakta dimensionen går till noll. Inom fysiken kan en teori i D rumtidsdimensioner omdefinieras i ett lägre antal dimensioner d , genom att ta alla fält för att vara oberoende av platsen i de extra D − d dimensionerna.

Tänk till exempel en periodisk kompakt dimension med period L . Låt x vara koordinaten längs denna dimension. Alla fält $\phi$ kan beskrivas som summan av följande termer:

\phi _{n}(x)=A_{n}\cos \left({\frac {2\pi nx}{L }}\höger)

med A _n en konstant. Enligt kvantmekaniken har en sådan term momentum nh / L längs x , där h är Plancks konstant . Därför, när L går till noll, går rörelsemängden till oändligheten, och det gör energin också, om inte n = 0. Men n = 0 ger ett fält som är konstant med avseende på x . Så vid denna gräns, och vid ändlig energi, $\phi$ inte att bero på x .

Detta argument generaliserar. Den kompakta dimensionen ställer specifika randvillkor för alla fält, till exempel periodiska randvillkor i fallet med en periodisk dimension, och typiskt Neumann eller Dirichlet randvillkor i andra fall. Antag nu att storleken på den kompakta dimensionen är L ; då är de möjliga egenvärdena under gradient längs denna dimension heltals- eller halvheltalsmultipler av 1/ L (beroende på de exakta randvillkoren). Inom kvantmekaniken är detta egenvärde fältets rörelsemängd och är därför relaterat till dess energi. Som L → 0 går alla egenvärden utom noll till oändligheten, och det gör också energin. Därför, vid denna gräns, med ändlig energi, är noll det enda möjliga egenvärdet under gradient längs den kompakta dimensionen, vilket betyder att ingenting beror på denna dimension.

Dimensionell reduktion avser också en specifik upphävande av divergenser i Feynman-diagram. Det lades fram av Amnon Aharony , Yoseph Imry och Shang-keng Ma som bevisade 1976 att "till alla ordrar i störningsexpansion, de kritiska exponenterna i ett d -dimensionellt (4 < d < 6) system med kortdistansutbyte och ett slumpmässigt släckt fält är samma som för ett ( d –2)-dimensionellt rent system." Deras argument indikerade att "Feynman-diagrammen som ger det ledande singulära beteendet för det slumpmässiga fallet är identiskt lika, bortsett från kombinatoriska faktorer, med motsvarande Feynman-diagram för det rena fallet i två färre dimensioner." Denna dimensionsreduktion undersöktes ytterligare i samband med supersymmetrisk teori om Langevins stokastiska differentialekvationer av Giorgio Parisi och Nicolas Sourlas som "observerade att de mest infraröda divergerande diagrammen är de med det maximala antalet slumpmässiga källinsättningar, och om de andra diagrammen är försummat lämnas man med en schematisk expansion för en klassisk fältteori i närvaro av slumpmässiga källor... Parisi och Sourlas förklarade denna dimensionella reduktion med en dold supersymmetri."

Se även