Kombinatorisk kommutativ algebra

Kombinatorisk kommutativ algebra är en relativt ny, snabbt växande matematisk disciplin. Som namnet antyder ligger det i skärningspunkten mellan två mer etablerade fält, kommutativ algebra och kombinatorik , och använder ofta metoder från den ena för att ta itu med problem som uppstår i den andra. Mindre uppenbart polyedrisk geometri en betydande roll.

En av milstolparna i utvecklingen av ämnet var Richard Stanleys bevis från 1975 på Upper Bound Conjecture for simplicial spheres , som baserades på tidigare arbeten av Melvin Hochster och Gerald Reisner. Även om problemet kan formuleras rent i geometriska termer, byggde bevismetoderna på kommutativa algebratekniker.

En signatursats i kombinatorisk kommutativ algebra är karakteriseringen av h -vektorer för enkla polytoper som antas 1970 av Peter McMullen . Känd som g -satsen , bevisades den 1979 av Stanley ( villkorens nödvändighet , algebraiskt argument) och av Louis Billera och Carl W. Lee ( tillräcklighet , kombinatorisk och geometrisk konstruktion). En stor öppen fråga var utvidgningen av denna karakterisering från enkla polytoper till enkla sfärer, g -förmodan , som löstes 2018 av Karim Adiprasito .

Viktiga föreställningar om kombinatorisk kommutativ algebra

• Kvadratfri monomial ideal i en polynomring och Stanley–Reisner-ring av ett enkelt komplex .
• Cohen–Macaulay ring .
• Monomial ring , nära besläktad med en affin semigruppring och till koordinatringen av en affin torisk sort .
• Algebra med en rätande lag . Det finns flera versioner av dessa, inklusive Hodge-algebror av Corrado de Concini , David Eisenbud och Claudio Procesi .

Se även

• Algebraisk kombinatorik
• Polyedrisk kombinatorik
• Noll-divisor graf

En grundläggande artikel om Stanley–Reisner-komplex av en av pionjärerna inom teorin:

• Melvin Hochster , Cohen-Macaulay ringar, kombinatorik och enkla komplex . Ringteori, II (Proc. Second Conf., Univ. Oklahoma, Norman, Okla., 1975), s. 171–223. Föreläsningsanteckningar i Pure och Appl. Math., vol. 26, Dekker, New York, 1977.

Den första boken är en klassiker (första upplagan publicerad 1983):

•   Richard Stanley , kombinatorik och kommutativ algebra . Andra upplagan. Progress in Mathematics, 41. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996. x+164 s. ISBN 0-8176-3836-9

Mycket inflytelserik och välskriven läroboksmonografi:

•   Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen–Macaulay ringar . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 s. ISBN 0-521-41068-1

Ytterligare läsning:

•   Rafael Villarreal, Monomialalgebror . Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 238. Marcel Dekker, Inc., New York, 2001. x+455 s. ISBN 0-8247-0524-6
• Takayuki Hibi, Algebraisk kombinatorik på konvexa polytoper , Carslaw Publications, Glebe, Australien, 1992
•   Bernd Sturmfels , Gröbner baser och konvexa polytoper . University Lecture Series, 8. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xii+162 s. ISBN 0-8218-0487-1
•   Winfried Bruns, Joseph Gubeladze, Polytopes, Rings, and K-Theory , Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2009. 461 s. ISBN 978-0-387-76355-2

Ett färskt tillägg till den växande litteraturen på området innehåller en presentation av aktuella forskningsämnen:

•   Ezra Miller, Bernd Sturmfels, kombinatorisk kommutativ algebra . Graduate Texts in Mathematics , 227. Springer-Verlag, New York, 2005. xiv+417 s. ISBN 0-387-22356-8
• Jürgen Herzog och Takayuki Hibi, Monomial Ideals . Graduate Texts in Mathematics, 260. Springer-Verlag, New York, 2011. 304 s.