Monomial ideal

I abstrakt algebra är ett monomial ideal ett ideal som genereras av monomialer i en multivariat polynomring över ett fält .

Ett toriskt ideal är ett ideal som genereras av skillnader mellan monomialer (förutsatt att idealet är ett primärt ideal ). En affin eller projektiv algebraisk variation definierad av ett toriskt ideal eller ett homogent toriskt ideal är en affin eller projektiv torisk variation , möjligen icke-normal .

Definitioner och egenskaper

Låt $\mathbb {K}$ vara ett fält och $R=\mathbb {K} [x]$ vara polynomringen över K $\displaystyle \mathbb {K} }$ med n variabler $x=x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}$ .

En monomial i $R$ är en produkt $x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1} }x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}$ för en n -tuppel ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dotsc ,\alpha _{n})\i \mathbb {N} ^{n}} av icke-negativa heltal$ .

Följande tre villkor är ekvivalenta för en ideal $I\subseteq R$ :

1. $I$ genereras av monomialer,
2. Om ${\textstyle f=\summa _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\alpha }x^{\alpha }\in I}$ , sedan $x^{\alpha }\in I$ , förutsatt att $c_{\alpha }$ inte är noll.
3. $I$ är torusfixerad , dvs given $(c_{1},c_{2},\dotsc ,c_{ n})\in (\mathbb {K} ^{*})^{n}$ , då fixas $I$ under åtgärden $f(x_ {i})=c_{i}x_{i}$ för alla $i$ .

Vi säger att $I\subseteq \mathbb {K} [x]$ är ett monomial ideal om det uppfyller något av dessa ekvivalenta villkor.

Givet ett monomial ideal $I=(m_{1},m_{2},\dotsc ,m_{k})$ , $f\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]$ är i $I$ om och endast om varje monomial ideal term $f_{i}$ av $f$ är en multipel av en $m_{j}$ .

Bevis: Antag att $I=(m_{1},m_{2},\dotsc ,m_{k})$ och att $f\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]$ är i $I$ . Då $f=f_{1}m_{1}+f_{2}m_{2}+\dotsm +f_{k}m_ {k}$ , för vissa $f_{i}\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]$ .

För alla $1\leqslant i\leqslant k$ , kan vi uttrycka varje $f_{i}$ som summan av monomialer, så att $f$ kan skrivas som summan av multiplar av $m_{i}$ . Följaktligen $f$ att vara summan av multiplar av monomiala termer för minst en av $m_{i}$ .

Omvänt, låt $I=(m_{1},m_{2},\dotsc ,m_{k})$ och låt varje monomial term i $f\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},...,x_{n}]$ vara en multipel av en av $m_{ i}$ i $I$ . Sedan kan varje monomial term i $I$ faktoriseras från varje monomial i $f$ . Därför $f$ formen $f=c_{1}m_{1}+c_{2}m_{2 }+\dotsm +c_{k}m_{k}$ för vissa $c_{i}\in \mathbb {K} [x_{1 },x_{2},\dotsc ,x_{n}]$ , som ett resultat $f\in I$ .

Följande illustrerar ett exempel på monomiala och polynomiska ideal.

Låt $I=(xyz,y^{2})$ sedan polynomet $x^{2}yz+3xy^ {2}$ är i I , eftersom varje term är en multipel av ett element i J , dvs de kan skrivas om som $x^{2}yz=x( xyz)$ och $3xy^{2}=3x(y^{2}),$ båda i I . Men om $J=(xz^{2},y^{2})$ , då detta polynom $x^ {2}yz+3xy^{2}$ är inte i J , eftersom dess termer inte är multiplar av element i J .

Monomiala ideal och unga diagram

Ett monomial ideal kan tolkas som ett Young-diagram . Antag att $I\in \mathbb {R} [x,y]$ , då kan $I$ tolkas i termer av de minimala monomialgeneratorerna som ${\displaystyle I=(x^{a_{1}}y^{b_{1}},x^{a_{2 }}y^{b_{2}},\dotsc ,x^{a_{k}}y^{b_{k}})} , där a 1$ > $a_{ 1}>a_{2}>\dotsm >a_{k}\geq 0}$ och $b_{k}>\dotsm >b_{2}>b_{1 }\geq 0$ . De minimala monomialgeneratorerna av $I$ kan ses som de inre hörnen av Young-diagrammet. De minimala generatorerna skulle avgöra var vi skulle rita trappdiagrammet. Monomialerna som inte finns i $I$ ligger inne i trappan, och dessa monomialer utgör en vektorrymdsbas för kvotringen $\mathbb {R} [x,y]/I$ .

Betrakta följande exempel. Låt $I=(x^{3},x^{2}y,y^{3})\subset \mathbb {R} [x,y]$ vara ett monomial ideal. Då uppsättningen av rutnätspunkter $S={\{(3,0),(2,1),(0) ,3)}\}\subset \mathbb {N} ^{2}$ motsvarar de minimala monomialgeneratorerna $x^{3}y^{0}, x^{2}y^{1},x^{0}y^{3}$ i $I$ . Sedan, som bilden visar, består det rosa Young-diagrammet av monomialerna som inte finns i $I$ . Punkterna i de inre hörnen av Young-diagrammet tillåter oss att identifiera de minimala monomialerna $x^{0}y^{3},x^{2}y ^{1},x^{3}y^{0}$ i $I$ som ses i de gröna rutorna. Därför är $I=(y^{3},x^{2}y,x^{3})$ .

Ett ungt diagram och dess samband med dess monomiala ideal.

I allmänhet, till vilken uppsättning rutnät som helst, kan vi associera ett Young-diagram, så att det monomiala idealet konstrueras genom att bestämma de inre hörnen som utgör trappdiagrammet; på samma sätt, givet ett monomial ideal, kan vi skapa Young-diagrammet genom att titta på $(a_{i},b_{j})$ och representera dem som de inre hörnen av Young diagram. Koordinaterna för de inre hörnen skulle representera potenserna för de minimala monomialerna i $I$ . Således kan monomiala ideal beskrivas med Young-diagram över partitioner.

Dessutom $(\mathbb {C} ^{*})^{2}$ -åtgärden på uppsättningen av $I\subset \mathbb { C} [x,y]$ så att $\dim _{\mathbb {C} }\mathbb {C} [x,y]/I=n$ som ett vektorrum över $\mathbb {C}$ har fixpunkter som endast motsvarar monomial ideal, vilka motsvarar partitioner med storlek n , som identifieras av Young-diagram med n rutor.

Monomial Beställning och Gröbner Grund

En monomial ordning är en brunnordning $\geq$ på uppsättningen av monomialer så att om $a,m_{1},m_{2}$ är monomialer, då $am_{1}\geq am_{2}$ .

Genom monomordningen kan vi ange följande definitioner för ett polynom i $\mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc , x_{n}]$ .

Definition

1. Betrakta ett ideal $I\subset \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]$ , och en fast monomiell ordning. Den ledande termen för ett polynom som inte är noll $f\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n }]$ , betecknad med $LT(f)$ är den monomiala termen av maximal ordning i $f$ och den ledande termen för $f=0$ är ${\ displaystil 0}$ .
2. Idealet för ledande termer , betecknat med $LT(I)$ , är idealet som genereras av de ledande termerna för varje element i idealet, det vill säga $LT(I)=(LT(f)\mid f\in I)$ .
3. En Gröbnerbas för en ideal $I\subset \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n} ]$ är en ändlig uppsättning generatorer ${\{g_{1},g_{2},\dotsc ,g_{s}}\}$ för ${ \displaystyle I}$ vars ledande termer genererar idealet för alla ledande termer i $I$ , dvs. $I=(g_{1}, g_{2},\dotsc ,g_{s})$ och ${\displaystyle LT$ .

Observera att $LT(I)$ i allmänhet beror på vilken ordning som används; till exempel, om vi väljer den lexikografiska ordningen på $\mathbb {R} [x,y]$ med förbehåll för x > y , då ${\displaystyle LT(2x^{3}y+9xy^{5}+19)=2x^{3}y} ,$ men om vi tar y > x så $LT(2x^{3}y+9xy^{5}+19)=9xy^{5}$ .

Dessutom finns monomer på Gröbner-basis och för att definiera divisionsalgoritmen för polynom med flera variabler.

Lägg märke till att för ett monomial ideal ${\displaystyle I=(g_{1},g_{2}, \dotsc ,g_{s})\in \mathbb {F} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]} , den ändliga$ uppsättningen generatorer ${\{g_{1},g_{2},\dotsc ,g_{s}}\}$ är en Gröbner-bas för $I$ . För att se detta, notera att alla polynom $f\in I$ kan uttryckas som $f=a_{1} g_{1}+a_{2}g_{2}+\dotsm +a_{s}g_{s}$ för $a_{i} \in \mathbb {F} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]$ . Då är den ledande termen för $f$ en multipel för vissa $g_{i}$ . Som ett resultat genereras $LT(I)$$g_{i}$ på samma sätt.

Se även

• Stanley–Reisner ring
• Hodge algebra

Fotnoter

•   Miller, Ezra; Sturmfels, Bernd (2005), Combinatorial Commutative Algebra , Graduate Texts in Mathematics , vol. 227, New York : Springer-Verlag , ISBN 0-387-22356-8
•   Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract Algebra (tredje upplagan), New York : John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-43334-7

Vidare läsning

• Cox, David . "Föreläsningar om toriska sorter" (PDF) . Föreläsning 3. §4 och §5.
• Sturmfels, Bernd (1996). Gröbner baser och konvexa polytoper . Providence, RI: American Mathematical Society .
•     Taylor, Diana Kahn (1966). Ideal genererade av monomialer i en R-sekvens (PhD-avhandling). University of Chicago. MR 2611561 . ProQuest 302227382 .
• Teissier, Bernard (2004). Monomial ideal, binomial ideals, polynomial ideals (PDF) .