Klassisk definition av sannolikhet
Den klassiska definitionen eller tolkningen av sannolikhet identifieras med verk av Jacob Bernoulli och Pierre-Simon Laplace . Som anges i Laplaces Théorie analytique des probabilités ,
- Sannolikheten för en händelse är förhållandet mellan antalet fall som är gynnsamt för den, och antalet av alla möjliga fall när ingenting får oss att förvänta oss att något av dessa fall skulle inträffa mer än något annat, vilket gör dem, för oss, lika möjligt.
Denna definition är i huvudsak en konsekvens av principen om likgiltighet . Om elementära händelser tilldelas lika sannolikheter, så är sannolikheten för en disjunktion av elementära händelser bara antalet händelser i disjunktionen dividerat med det totala antalet elementära händelser.
Den klassiska definitionen av sannolikhet ifrågasattes av flera författare från artonhundratalet, inklusive John Venn och George Boole . Den frekventistiska definitionen av sannolikhet blev allmänt accepterad som ett resultat av deras kritik, och särskilt genom verk av RA Fisher . Den klassiska definitionen fick ett slags återupplivande på grund av det allmänna intresset för Bayesiansk sannolikhet , eftersom Bayesianska metoder kräver en tidigare sannolikhetsfördelning och principen om likgiltighet erbjuder en källa till en sådan fördelning. Klassisk sannolikhet kan erbjuda tidigare sannolikheter som återspeglar okunskap som ofta verkar lämpligt innan ett experiment genomförs.
Historia
Som ett matematiskt ämne uppkom sannolikhetsteorin väldigt sent – jämfört med till exempel geometri – trots att vi har förhistoriska bevis på att människan leker med tärningar från kulturer från hela världen. En av de tidigaste författarna om sannolikhet var Gerolamo Cardano . Han producerade kanske den tidigaste kända definitionen av klassisk sannolikhet.
Den ihållande utvecklingen av sannolikhet började år 1654 när Blaise Pascal hade en viss korrespondens med sin fars vän Pierre de Fermat om två problem angående hasardspel som han hade hört från Chevalier de Méré tidigare samma år, som Pascal råkade följa med under en resa. Ett problem var det så kallade poängproblemet , ett klassiskt problem redan då (behandlat av Luca Pacioli så tidigt som 1494, och ännu tidigare i ett anonymt manuskript 1400), som handlade om frågan hur man kan dela upp pengarna som står på spel i en rättvist sätt när det pågående spelet avbryts halvvägs. Det andra problemet handlade om en matematisk tumregel som inte verkade hålla när man utökade ett tärningsspel från att använda en tärning till två tärningar. Detta sista problem, eller paradoxen, var upptäckten av Méré själv och visade, enligt honom, hur farligt det var att tillämpa matematik på verkligheten. De diskuterade även andra matematisk-filosofiska frågor och paradoxer under resan som Méré tyckte stärkte hans allmänna filosofiska syn.
Pascal, i oenighet med Mérés syn på matematik som något vackert och felfritt men dåligt kopplat till verkligheten, bestämde sig för att bevisa att Méré hade fel genom att lösa dessa två problem inom ren matematik. När han fick veta att Fermat, redan erkänd som en framstående matematiker, hade kommit fram till samma slutsatser, var han övertygad om att de hade löst problemen på ett avgörande sätt. Denna korrespondens cirkulerade bland andra forskare vid den tiden, i synnerhet till Huygens , Roberval och indirekt Caramuel , och markerar startpunkten för när matematiker i allmänhet började studera problem från hasardspel. Korrespondensen nämnde inte "sannolikhet"; Det fokuserade på rättvisa priser.
Ett halvt sekel senare visade Jacob Bernoulli ett sofistikerat grepp om sannolikhet. Han visade facilitet med permutationer och kombinationer, diskuterade sannolikhetsbegreppet med exempel bortom den klassiska definitionen (som personliga, rättsliga och ekonomiska beslut) och visade att sannolikheter kunde uppskattas genom upprepade försök med osäkerhet som minskade i takt med att antalet rättegångar ökade.
1765 års volym av Diderot och d'Alemberts klassiska Encyclopédie innehåller en lång diskussion om sannolikhet och sammanfattning av kunskap fram till den tiden. En skillnad görs mellan sannolikheter "drawn from the consideration of nature itself" (fysiska) och sannolikheter "baserade endast på erfarenheter i det förflutna som kan få oss att med säkerhet dra slutsatser för framtiden" (bevis).
Källan till en tydlig och bestående definition av sannolikhet var Laplace . Så sent som 1814 uttalade han:
Teorin om slumpen består i att reducera alla händelser av samma slag till ett visst antal fall som är lika möjliga, det vill säga till sådana som vi kan vara lika osäkra på vad gäller deras existens, och att bestämma antalet fall. gynnsam för den händelse vars sannolikhet eftersträvas. Förhållandet mellan detta antal och alla möjliga fall är måttet på denna sannolikhet, som alltså helt enkelt är en bråkdel vars täljare är antalet gynnsamma fall och vars nämnare är antalet av alla möjliga fall.
— Pierre-Simon Laplace, En filosofisk uppsats om sannolikheter
Denna beskrivning är vad som i slutändan skulle ge den klassiska definitionen av sannolikhet. Laplace publicerade flera upplagor av flera dokument (tekniska och en popularisering) om sannolikhet under ett halvt sekel. Många av hans föregångare (Cardano, Bernoulli, Bayes) publicerade ett enda dokument postumt.
Kritik
Den klassiska definitionen av sannolikhet tilldelar händelser lika sannolikheter baserade på fysisk symmetri vilket är naturligt för mynt, kort och tärningar.
- Vissa matematiker invänder att definitionen är cirkulär. Sannolikheten för ett "rättvist" mynt är... Ett "rättvist" mynt definieras av sannolikheten för...
- Definitionen är mycket begränsad. Det säger ingenting om fall där ingen fysisk symmetri existerar. Försäkringspremier, till exempel, kan endast prissättas rationellt genom uppmätta förlustgrader.
- Det är inte trivialt att motivera principen om likgiltighet utom i de enklaste och mest idealiserade fallen (en utvidgning av den problembegränsade definitionen). Mynt är inte riktigt symmetriska. Kan vi tilldela lika sannolikheter till varje sida? Kan vi tilldela lika sannolikheter till någon verklig världsupplevelse?
Hur begränsande den än är, är definitionen åtföljd av ett stort förtroende. Ett kasino som observerar en markant avvikelse från klassisk sannolikhet är övertygad om att dess antaganden har kränkts (någon fuskar). [ citat behövs ] [ omtvistad ] Mycket av sannolikhetsmatematiken utvecklades utifrån denna förenklade definition. Alternativa tolkningar av sannolikhet (till exempel frekventistiska och subjektiva ) har också problem.
Matematisk sannolikhetsteori handlar om abstraktioner och undviker begränsningarna och filosofiska komplikationerna av någon sannolikhetstolkning.
- Pierre-Simon de Laplace. Théorie analytique des probabilités . Paris: Courcier Imprimeur, 1812.
- Pierre-Simon de Laplace. Essai philosophique sur les probabilités , 3:e upplagan. Paris: Courcier Imprimeur, 1816.
- Pierre-Simon de Laplace. Filosofisk uppsats om sannolikheter . New York: Springer-Verlag, 1995. (Översatt av AI Dale från den femte franska upplagan, 1825. Omfattande anteckningar.)