Kirchhoff–Kärleksplåtteori

Deformation av en tunn platta som framhäver förskjutningen, mellanytan (röd) och normal till mellanytan (blå)

Kirchhoff -Kärleksteorin om plattor är en tvådimensionell matematisk modell som används för att bestämma spänningar och deformationer i tunna plattor som utsätts för krafter och moment . Denna teori är en förlängning av Euler-Bernoulli strålteorin och utvecklades 1888 av Love med antaganden som föreslagits av Kirchhoff . Teorin antar att ett mellanytaplan kan användas för att representera en tredimensionell platta i tvådimensionell form.

Följande kinematiska antaganden som görs i denna teori:

• raka linjer vinkelräta mot mitten av ytan förblir raka efter deformation
• räta linjer normala mot mittytan förblir normala mot mittytan efter deformation
• tjockleken på plattan ändras inte under en deformation.

Antaget förskjutningsfält

Låt positionsvektorn för en punkt i den odeformerade plattan vara $\mathbf {x}$ . Sedan

$\mathbf {x} =x_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+x_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+x_{3}{\boldsymbol {e }}_{3}\equiv x_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,.$

Vektorerna ${\boldsymbol {e}}_{i}$ bildar en kartesisk bas med ursprung på plattans mittyta, $x_{1}$ och $x_{2}$ är de kartesiska koordinaterna på den odeformerade plattans mittyta, och $x_{3}$ är koordinaten för tjockleksriktningen.

Låt förskjutningen av en punkt i plattan vara $\mathbf {u} (\mathbf {x} )$ . Sedan

$\mathbf {u} =u_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2} {\boldsymbol {e}}_{2}+u_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\equiv u_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}$

Denna förskjutning kan delas upp i en vektorsumma av förskjutningen på mitten av ytan $u_{\alpha }^{0}$ och en förskjutning utanför planet $w^{0}$ i $x_{3}$ riktning. Vi kan skriva mellanytans förskjutning i planet som

$\mathbf {u} ^{0}=u_{1}^{0}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_ {2}^{0}{\boldsymbol {e}}_{2}\equiv u_{\alpha }^{0}{\boldsymbol {e}}_{\alpha }$

Observera att indexet $\alpha$ tar värdena 1 och 2 men inte 3.

Då antyder Kirchhoff-hypotesen det

${\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0 }(x_{1},x_{2})-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}\equiv u_{\alpha }^{0 }-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x})&=w^{0}(x_{ 1},x_{2})\end{aligned}}$

Om $\varphi _{\alpha }$ är rotationsvinklarna för normalen till mittytan, så är det i Kirchhoff-Love-teorin

$\varphi _{\alpha }=w_{,\alpha }^{0}$

Observera att vi kan tänka på uttrycket för $u_{\alpha }$ som den första ordningens Taylor-seriens expansion av förskjutningen runt mellanytan.

Förskjutning av mellanytan (vänster) och av en normal (höger)

Kvasistatiska Kirchhoff-Love tallrikar

Den ursprungliga teorin som utvecklats av Love var giltig för oändliga spänningar och rotationer. Teorin utvidgades av von Kármán till situationer där måttliga rotationer kunde förväntas.

Stam-förskjutningsrelationer

För den situation där töjningarna i plattan är oändligt små och rotationerna för mellanytnormalerna är mindre än 10° är töjnings-förskjutningsförhållandena

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \ beta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}+{\frac {\partial u_{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_ {3}}{\partial x_{\alpha }}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })\\\varepsilon _{33}&={\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\equiv u_{3,3}\end{aligned}}$

där $\beta =1,2$ som $\alpha$ .

Med hjälp av de kinematiska antaganden vi har

${\begin{aligned}\ varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{ 3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}= 0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}$

Därför är de enda töjningarna som inte är noll i riktningarna i planet.

Jämviktsekvationer

Jämviktsekvationerna för plattan kan härledas från principen om virtuellt arbete . För en tunn platta under en kvasistatisk tvärbelastning $q(x)$ som pekar mot positiv $x_{3}$ riktning, är dessa ekvationer

${\begin{aligned}&{\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21 }}{\partial x_{2}}}=0\\&{\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\ partiell x_{2}}}=0\\&{\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{ 2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}} }=-q\end{aligned}}$

där plattans tjocklek är $2h$ . I indexnotation,

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\quad \quad N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \ beta }~dx_{3}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q&=0\quad \quad M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_ {3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\end{aligned}}$

där $\sigma _{\alpha \beta }$ är spänningarna .

Böjmoment och normala påfrestningar

Vridmoment och skjuvspänningar

Härledning av jämviktsekvationer för små rotationer

För situationen där plattans töjningar och rotationer är små ges den virtuella inre energin av ${\begin{aligned}\delta U&=\int _ {\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\epsilon }}~dx_{3}~d\Omega =\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~\delta \varepsilon _{\alpha \beta }~dx_{3}~d\Omega \\&=\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\left[{\frac {1}{2}}~\sigma _{\alpha \beta }~ (\delta u_{\alpha ,\beta }^{0}+\delta u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~\delta w_ {,\alpha \beta }^{0}\right]~dx_{3}~d\Omega \\&=\int _{\Omega ^{0}}\left[{\frac {1}{2} }~N_{\alpha \beta }~(\delta u_{\alpha ,\beta }^{0}+\delta u_{\beta ,\alpha }^{0})-M_{\alpha \beta }~ \delta w_{,\alpha \beta }^{0}\right]~d\Omega \end{aligned}}$ där tjockleken på plattan är $2h$ och spänningsresultanterna och spänningsmomentresultanterna definieras som $N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~ dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}$ Integration av delar leder till ${\begin{aligned}\delta U&=\int _{\Omega ^{ 0}}\left[-{\frac {1}{2}}~(N_{\alpha \beta ,\beta }~\delta u_{\alpha }^{0}+N_{\alpha \beta ,\ alpha }~\delta u_{\beta }^{0})+M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Omega \\&+ \int _{\Gamma ^{0}}\left[{\frac {1}{2}}~(n_{\beta }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\alpha }^{0 }+n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0})-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Gamma \end{aligned}}$ Stresstensorns symmetri innebär att $N_{\alpha \beta }=N_{\beta \alpha }$ . Därav, $\delta U=\int _{\Omega ^{0}}\left[-N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}+M_{ \alpha \beta ,\beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Omega +\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_ {\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d \Gamma$ En annan integration av delar ger $\delta U=\int _{\Omega ^{0}}\left[-N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\ beta }^{0}-M_{\alpha \beta ,\beta \alpha }~\delta w^{0}\right]~d\Omega +\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_ {\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}+n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w^{0}- n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Gamma$ För det fall där det inte finns några föreskrivna yttre krafter, innebär principen för virtuellt arbete att $\delta U=0$ . Jämviktsekvationerna för plattan ges då av ${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }& =0\end{aligned}}$ Om plattan belastas av en extern fördelad belastning $q(x)$ som är normal mot mittytan och riktad i den positiva $x_{3}$ -riktningen, kommer den externa virtuella arbete på grund av belastningen är $\delta V_{\mathrm {ext} }=\int _{\Omega ^{0}}q~\delta w^{0}~d\ Omega$ Principen för virtuellt arbete $\delta U=\delta V_{\mathrm {ext} }$ leder sedan till jämviktsekvationerna ${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q&=0\end{aligned}}$

Gränsförhållanden

De randvillkor som behövs för att lösa plattteorins jämviktsekvationer kan erhållas från gränstermerna i principen om virtuellt arbete. I frånvaro av yttre krafter på gränsen är gränsvillkoren

${\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {eller} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta}&\quad \mathrm {eller} \quad w^ {0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {eller} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}$

Observera att kvantiteten $n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }$ är en effektiv skjuvkraft.

Konstitutiva relationer

Spännings-töjningsförhållandena för en linjär elastisk Kirchhoff-platta ges av

${\begin \_aligned} beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}$

Eftersom $\sigma _{\alpha 3}$ och $\sigma _{33}$ inte förekommer i jämviktsekvationerna antas det implicit att dessa storheter inte har någon effekt på momentum balans och försummas. De återstående stress-töjningsrelationerna, i matrisform, kan skrivas som

${\begin{bmatrix}\sigma 11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_ {22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\ varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$

Sedan,

$displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11} &C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{ bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_ {3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_ {1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}$

och

${\displaystyle {\begin{bmatrix$

Förlängningsstyvheterna är kvantiteterna

$A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}$

Böjstyvheterna (även kallad böjstyvhet ) är kvantiteterna

$D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~ C_{\alpha \beta }~dx_{3}$

Kirchhoff-Love konstitutiva antaganden leder till noll skjuvkrafter. Som ett resultat måste jämviktsekvationerna för plattan användas för att bestämma skjuvkrafterna i tunna Kirchhoff-Love-plattor. För isotropa plattor leder dessa ekvationer till

$Q_{\alpha }=-D{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}(\nabla ^{2}w^{0})\,.$

Alternativt kan dessa skjuvkrafter uttryckas som

$Q_{\alpha }={\mathcal {M}}_{,\alpha }$

var

${\mathcal {M}}:=-D\nabla ^{2}w^{0}\,.$

Små stammar och måttliga rotationer

Om normalernas rotationer till mittytan ligger i intervallet 10 $^{\circ }$ till 15 $^{\circ }$ , kan töjnings-förskjutningsförhållandena approximeras som

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha }+u_ {3,\alpha }~u_{3,\beta })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,3}+u_{3, \alpha })\\\varepsilon _{33}&=u_{3,3}\end{aligned}}$

Sedan leder Kirchhoff-Love-teorins kinematiska antaganden till den klassiska plåtteorin med von Kármán- stammar

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^ {0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta}^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{ \alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}$

Denna teori är olinjär på grund av de kvadratiska termerna i töjnings-förskjutningsrelationerna.

Om töjnings-förskjutningsrelationerna tar von Karmans form, kan jämviktsekvationerna uttryckas som

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\ M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+[N_{\alpha \beta }~w_{,\beta }^{0}]_{,\alpha }+q&=0\end{aligned}}$

Isotropa kvasistatiska Kirchhoff-Love-tallrikar

För en isotrop och homogen platta är stress-töjningsrelationerna

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^ {2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{ 22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.$

där $\nu$ är Poissons förhållande och $E$ är Youngs modul . Momenten som motsvarar dessa spänningar är

${\begin{bmatrix} M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~ {\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{1-\nu }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{, 22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}$

I utökad form,

${\begin{aligned}M_{11}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w^{0} }{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\ \M_{22}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}\right)\\M_{12}&=-D(1-\nu){\frac {\partial ^{ 2}w^{0}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\end{aligned}}$

där $D=2h^{3}E/[3(1-\nu ^{2})]=H^{3}E/[12(1-\nu ^{2})]$ för plattor med tjocklek $H=2h$ . Med hjälp av spännings-töjningsrelationerna för plattorna kan vi visa att spänningarna och momenten hänger samman med

$\sigma _{11}={\frac {3x_{3}}{2h^{3}}}\,M_{11}={\frac {12x_{3}}{H^{3}} }\,M_{11}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{22}={\frac {3x_{3}}{2h^{3}}}\,M_{22}={ \frac {12x_{3}}{H^{3}}}\,M_{22}\,.$

Överst på plattan där $x_{3}=h=H/2$ är spänningarna

$\sigma _{11}={\frac {3}{2h^{2}}}\,M_{11}={\frac {6}{H^{2}}}\,M_{11 }\quad {\text{and}}\quad \sigma _{22}={\frac {3}{2h^{2}}}\,M_{22}={\frac {6}{H^{ 2}}}\,M_{22}\,.$

Ren böjning

För en isotrop och homogen platta under ren böjning reduceras de styrande ekvationerna till

${\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}} {\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4 }}}=0\,.$

Här har vi antagit att förskjutningarna i planet inte varierar med $x_{1}$ och $x_{2}$ . I indexnotation,

$w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0$

och i direkt notation

$\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0$

som är känd som den biharmoniska ekvationen . Böjmomenten ges av

${\begin{bmatrix} M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~ {\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^ {0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}$

Härledning av jämviktsekvationer för ren böjning

För en isotrop, homogen platta under ren böjning är de styrande ekvationerna ${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\implicerar N_{11,1}+N_{21, 2}=0~,~~N_{12,1}+N_{22,2}=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\implicerar M_{11,11}+2M_ {12,12}+M_{22,22}=0\end{aligned}}$ och stress-påfrestning relationerna är ${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\ _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$ Sedan, ${\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})} }~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2 ,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}$ och ${\begin{bmatrix} M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~ {\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^ {0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}$ Differentiering ger ${\begin{aligned}N_{11,1}&={\cfrac { 2hE}{(1-\nu ^{2})}}\left(u_{1,11}^{0}+\nu ~u_{2,21}^{0}\right)~;~~N_ {22,2}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}\left(\nu ~u_{1,12}^{0}+u_{2,22}^{ 0}\right)\\N_{12,1}&={\cfrac {hE(1-\nu )}{(1-\nu ^{2})}}\left(u_{1,21}^ {0}+u_{2,11}^{0}\right)~;~~N_{12,2}={\cfrac {hE(1-\nu )}{(1-\nu ^{2} )}}\left(u_{1,22}^{0}+u_{2,12}^{0}\right)\end{aligned}}$ och ${\begin{aligned}M_{11,11}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left(w_{,1111}^{0}+\nu ~w_{,2211}^{0}\right) \\M_{22,22}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left(\nu ~w_{,1122}^{0 }+w_{,2222}^{0}\right)\\M_{12,12}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}} (1-\nu )~w_{,1212}^{0}\end{aligned}}$ Att plugga in i de styrande ekvationerna leder till ${\begin{1aligned}&u_ ,11}^{0}+\nu ~u_{2,21}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu )\left(u_{1,22}^{0 }+u_{2,12}^{0}\right)=0\\&\nu ~u_{1,12}^{0}+u_{2,22}^{0}+{\tfrac {1 }{2}}(1-\nu )\left(u_{1,21}^{0}+u_{2,11}^{0}\right)=0\\&w_{,1111}^{0 }+\nu ~w_{,2211}^{0}+2(1-\nu )~w_{,1212}^{0}+\nu ~w_{,1122}^{0}+w_{,2222 }^{0}=0\end{aligned}}$ Eftersom differentieringsordningen är irrelevant har vi $u_{1,12}^{0}=u_{1,21}^{0}$ , $u_{2,21}^{0}=u_{2,12}^{0}$ och $w_{,2211}^ {0}=w_{,1212}^{0}=w_{,1122}^{0}$ . Därav ${\begin{aligned}&u_{1,11}^{0}+{\tfrac {1}{2} }(1-\nu )~u_{1,22}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1+\nu)~u_{2,12}^{0}=0\\ &u_{2,22}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu )~u_{2,11}^{0}+{\tfrac {1}{2}}( 1+\nu )~u_{1,12}^{0}=0\\&w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0 }=0\end{aligned}}$ I direkt tensornotation är den styrande ekvationen för plattan $\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0$ där vi har antagit att förskjutningarna $u_{1}^{0},u_{2}^{0}$ är konstanta.

Böjning under tvärbelastning

Om en fördelad tvärlast $q(x)$ som pekar i positiv $x_{3}$ riktning appliceras på plattan, är den styrande ekvationen $M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }=-q$ . Genom att följa proceduren som visas i föregående avsnitt får vi

$\nabla ^{2}\nabla ^{2}w={\cfrac {q}{D}}~;~~D:={\ cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}$

I rektangulära kartesiska koordinater är den styrande ekvationen

$w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0} ={\cfrac {q}{D}}$

och i cylindriska koordinater tar den formen

${\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r} }{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]={\frac {q}{D}}\,.$

Lösningar av denna ekvation för olika geometrier och randvillkor finns i artikeln om böjning av plattor .

Härledning av jämviktsekvationer för tvärbelastning

För en tvärbelastad platta utan axiella deformationer har den styrande ekvationen formen $M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }=q\implicerar M_{11,11}+2M_{12,12}+M_{22,22}=q$ där $q$ är en fördelad tvärlast (per ytenhet). Substitution av uttrycken för derivatorna av $M_{\alpha \beta }$ i den styrande ekvationen ger $-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left[w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212} ^{0}+w_{,2222}^{0}\right]=q\,.$ Observera att böjstyvheten är kvantiteten $D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}$ vi kan skriva den styrande ekvationen i formen $\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.$ I cylindriska koordinater $(r,\theta ,z)$ , $\nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\ partiell ^{2}w}{\partial z^{2}}}\,.$ För symmetriskt laddade cirkulära plattor, $w=w(r)$ , och vi har $\nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\ ,.$

Cylindrisk böjning

Under vissa belastningsförhållanden kan en plan platta böjas till formen av ytan på en cylinder. Denna typ av böjning kallas cylindrisk böjning och representerar den speciella situationen där $u_{1}=u_{1}(x_{ 1}),u_{2}=0,w=w(x_{1})$ . Isåfall

${\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{ 22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0 \\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\0\\0\end{bmatrix}}$

och

${\begin{bmatrix}M_{11}\\ M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix} 1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\0\\0\end{bmatrix}}$

och de styrande ekvationerna blir

${\begin{aligned} N_{11}&=A~{\cfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x_{1}}}\quad \implies \quad {\cfrac {\mathrm {d} ^{2} u}{\mathrm {d} x_{1}^{2}}}=0\\M_{11}&=-D~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm { d} x_{1}^{2}}}\quad \implies \quad {\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x_{1}^{4}}}= {\cfrac {q}{D}}\\\end{aligned}}$

Dynamics of Kirchhoff-Love tallrikar

Den dynamiska teorin om tunna plattor bestämmer utbredningen av vågor i plattorna, och studiet av stående vågor och vibrationslägen.

Styrande ekvationer

De styrande ekvationerna för dynamiken hos en Kirchhoff-Love-platta är

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x,t) &=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}$

där, för en platta med densitet $\rho =\rho (x)$ ,

$J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2 ~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{ 3}}~\rho ~h^{3}$

och

${\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~; ~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha } ={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i} }{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}$

Härledning av ekvationer som styr dynamiken hos Kirchhoff-Love-plattor

Den totala kinetiska energin (mer exakt, rörelse av kinetisk energi) av plattan ges av ${\display K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\cfrac {\rho }{2}}\left[\left ({\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}\right)^ {2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial t}}\right)^{2}\right]~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t}$ Därför är variationen i kinetisk energi $\delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}} \int _{-h}^{h}{\cfrac {\rho }{2}}\left[2\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}\right)\ vänster({\frac {\partial \delta u_{1}}{\partial t}}\right)+2\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}\right)\ vänster({\frac {\partial \delta u_{2}}{\partial t}}\right)+2\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial t}}\right)\ vänster({\frac {\partial \delta u_{3}}{\partial t}}\right)\right]~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t$ Vi använder följande notation i resten av det här avsnittet. ${\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~; ~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha } ={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i} }{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}$ Sedan $\delta K=\int _{0}^ {T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left({\dot {u}}_{\alpha }~\delta {\dot {u }}_{\alpha }+{\dot {u}}_{3}~\delta {\dot {u}}_{3}\right)~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm { d} A~\mathrm {d} t$ För en Kirchhof-Love tallrik $u_{\alpha }=u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~u_{3}=w^{ 0}$ Därav, ${\begin{aligned}\delta K&=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^ {0}}\int _{-h}^{h}\rho \left[\left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {w }}_{,\alpha }^{0}\right)~\left(\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~\delta {\dot {w }}_{,\alpha }^{0}\right)+{\dot {w}}^{0}~\delta {\dot {w}}^{0}\right]~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h} ^{h}\rho \left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~ {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {u}}_ {\alpha }^{0}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}+x_{3}^{2}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}+{\dot {w}}^{0}~\delta {\dot {w}}^{0 }\right)~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t\end{aligned}}$ Definiera, för konstant $\rho$ genom plattans tjocklek, $J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2 ~\rho ~h~;~~J_{2}:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\rho ~dx_{3}=0~;~~J_{3}:= \int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}$ Sedan $\delta K=\ int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\left[J_{1}\left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta { \dot {u}}_{\alpha }^{0}+{\dot {w}}^{0}~\delta {\dot {w}}^{0}\right)+J_{3}~ {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}\right]~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t$ Integrering av delar, $\delta K=\int _{\Omega ^{0}}\left[\int _{0}^{T}\left\{-J_{1}\left({\ddot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\ddot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)-J_ {3}~{\ddot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w_{,\alpha }^{0}\right\}~\mathrm {d} t+\left|J_{ 1}\left({\dot {u}}_{\alpha}^{0}~\delta u_{\alpha}^{0}+{\dot {w}}^{0}~\delta w^ {0}\right)+J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w_{,\alpha }^{0}\right|_{0}^ {T}\right]~\mathrm {d} A$ Variationerna $\delta u_{\alpha }^{0}$ och $\delta w^{0}$ är noll vid $t=0$ och $t=T$ . Efter att ha bytt integrationssekvens har vi alltså $\delta K=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left[J_{1}\left({\ddot {u} }_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\ddot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)+J_{3} ~{\ddot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~\mathrm {d} A\right\}~\mathrm {d } t+\left|\int _{\Omega ^{0}}J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w_{,\alpha }^{0 }\mathrm {d} A\right|_{0}^{T}$ Integrering av delar över mellanytan ger ${\begin{aligned}\delta K&=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left[J_{1}\left( {\ddot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\ddot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right )-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}~\delta w^{0}\right]~\mathrm {d} A+\int _{\Gamma ^{0}}J_{3}~n_{\alpha }~{\ddot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} s\right \}~\mathrm {d} t\\&\qquad -\left|\int _{\Omega ^{0}}J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha \alpha }^ {0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} A-\int _{\Gamma ^{0}}J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{ 0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} s\right|_{0}^{T}\end{aligned}}$ Återigen, eftersom variationerna är noll i början och slutet av det aktuella tidsintervallet, har vi $\delta K=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left[J_{1}\left({ \ddot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\ddot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right) -J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}~\delta w^{0}\right]~\mathrm {d} A+\int _{\Gamma ^ {0}}J_{3}~n_{\alpha }~{\ddot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} s\right\ }~\mathrm {d} t$ För det dynamiska fallet ges variationen i den inre energin av $\delta U=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0} }\left[N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}+M_{\alpha \beta ,\beta \alpha }~\delta w^{0}\right] ~\mathrm {d} A-\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}+n_{ \alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w^{0}-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\ höger]~\mathrm {d} s\right\}\mathrm {d} t$ Integrering av delar och åberopande av noll variation vid gränsen av mellanytan ger $\delta U=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0} }\left[N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}+M_{\alpha \beta ,\beta \alpha }~\delta w^{0}\right] ~\mathrm {d} A-\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}+n_{ \alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w^{0}+n_{\beta }~M_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta w^{0}\right] ~\mathrm {d} s\right\}\mathrm {d} t$ Om det finns en extern fördelad kraft $q(x,t)$ som verkar vinkelrätt mot plattans yta, är det virtuella externa arbetet som utförs $\delta V_{\mathrm {ext} }=\int _{0}^{T}\vänster [\int _{\Omega ^{0}}q(x,t)~\delta w^{0}~\mathrm {d} A\right]\mathrm {d} t$ Från principen om virtuellt arbete, eller mer exakt Hamiltons princip för en deformerbar kropp, har vi $\delta U=\delta K+\delta V_{\mathrm {ext} }$ . Därför är de styrande balansekvationerna för plattan ${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x,t) &=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}$

Lösningar av dessa ekvationer för vissa speciella fall finns i artikeln om vibrationer av plattor . Figurerna nedan visar några vibrationslägen för en cirkulär platta.

• 

  läge k = 0, p = 1

• 

  läge k = 0, p = 2

• 

  läge k = 1, p = 2

Isotropiska plattor

De styrande ekvationerna förenklar avsevärt för isotropa och homogena plattor för vilka deformationerna i planet kan försummas. I så fall har vi kvar en ekvation av följande form (i rektangulära kartesiska koordinater):

$D\,\left({\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^ {2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}\right)=-q(x,y,t)-2 \rho h\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.$

där $D$ är plattans böjstyvhet. För en enhetlig platta med tjocklek $2h$ ,

$D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.$

I direkt notation

$D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\ddot {w}}\,.$

För fria vibrationer blir den styrande ekvationen

$D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-2\rho h\,{\ddot {w}}\,.$

Härledning av dynamiska styrande ekvationer för isotropa Kirchhoff-Love-plattor

För en isotrop och homogen platta är stress-töjningsrelationerna ${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^ {2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{ 22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.$ där $\varepsilon _{\alpha \beta }$ är töjningarna i planet. Stam-förskjutningsförhållandena för Kirchhoff-Love-plattor är $\varepsilon _{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })-x_{3}\,w_ {,\alpha \beta }\,.$ Därför är de resulterande momenten som motsvarar dessa spänningar ${\begin{bmatrix} M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~ {\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}\\w_{,22}\\w_{, 12}\end{bmatrix}}$ Den styrande ekvationen för en isotrop och homogen platta med enhetlig tjocklek $2h$ i frånvaro av förskjutningar i planet är $M_{11,11}+2M_{12,12}+M_{22,22}+q(x,t)=2\rho h{\ddot {w}}-{\frac {2}{ 3}}\rho h^{3}\left({\ddot {w}}_{,11}+{\ddot {w}}_{,22}+{\ddot {w}}_{,33 }\höger)\,.$ Differentiering av uttrycken för ögonblicket resultants ger oss ${\begin{aligned}M_{11,11}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left(w_{,1111}+\nu ~w_{,2211}\right)\\M_{22,22} &=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left(\nu ~w_{,1122}+w_{,2222}\right)\\ M_{12,12}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}(1-\nu )~w_{,1212}\end{aligned }}$ Att plugga in i de styrande ekvationerna leder till ${\begin{aligned}-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}&\left(w_{,1111}+\nu ~w_{ ,2211}+2(1-\nu )~w_{,1212}+\nu ~w_{,1122}+w_{,2222}\right)=\\&-q(x,t)+2\rho h{\ddot {w}}-{\frac {2}{3}}\rho h^{3}\left({\ddot {w}}_{,11}+{\ddot {w}}_ {,22}+{\ddot {w}}_{,33}\right)\,.\end{aligned}}$ Eftersom differentieringsordningen är irrelevant har vi $w_{,2211}=w_{,1212}=w_{,1122}$ . Därav ${\begin{aligned}-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}&\left(w_{,1111}+2w_{,1212} +w_{,2222}\right)=\\&-q(x,t)+2\rho h{\ddot {w}}-{\frac {2}{3}}\rho h^{3} \left({\ddot {w}}_{,11}+{\ddot {w}}_{,22}+{\ddot {w}}_{,33}\right)\,.\end{ Justerat}}$ Om plattans böjstyvhet definieras som $D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}$ vi har $D\left(w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}\right)=q(x,t)-2\rho h{\ddot {w}}+{\frac {2}{3}}\rho h^{3}\left({\ddot {w}}_{,11}+{\ddot {w}}_{,22}+{\ddot {w}} _{,33}\right)\,.$ För små deformationer försummar vi ofta de rumsliga derivatorna av plattans tväracceleration och vi har kvar $D\left(w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}\right)=q(x,t)-2\rho h{\ddot {w}}\,.$ Sedan, i direkt tensor notation, är den styrande ekvationen för plattan $D\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=q(x,y,t)-2\rho h{\ddot {w}}\,.$

Se även

• Böjning
• Böjning av plattor
• Infinitesimal töjningsteori
• Linjär elasticitet
• Plåtteori
• Stress (mekanik)
• Stressresultat
• Vibration av plattor