Kategori O

I representationsteorin för semisimpla Lie-algebra är Kategori O (eller kategori ${\mathcal {O}}$ ) en kategori vars objekt är vissa representationer av en semisimple Lie-algebra och morfismer är homomorfismer av representationer.

Introduktion

Antag att ${\mathfrak {g}}$ är en (vanligtvis komplex ) halvenkel Lie-algebra med en Cartan-subalgebra ${\mathfrak {h}}$ , $\Phi$ är en rot system och $\Phi ^{+}$ är ett system med positiva rötter . Beteckna med ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ rotutrymmet som motsvarar en rot $displaystyle \alpha \in \Phi }$ \ och ${\displaystyle {\mathfrak {n}}:=\bigoplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }} en$ nilpotent subalgebra .

Om $M$ är en ${\mathfrak {g}}$ -modul och ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}},$ då $M_{\lambda }$ är viktutrymmet

M_{\lambda }=\{v\in M:\forall h\in {\mathfrak {h}}\,\,h\cdot v=\lambda (h)v\}.

Definition av kategori O

Objekten i kategori ${\mathcal {O}}$ är ${\mathfrak {g}}$ -moduler $M$ så att

$M$ genereras ändligt
$M=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}M_{\lambda }$
$M$ är lokalt ${\mathfrak {n}}$ -ändlig. Det vill säga, för varje ${\displaystyle v\in M} är$ ${\mathfrak {n}}$ -modulen som genereras av $v$ ändlig dimensionell.

Morfismer i denna kategori är ${\mathfrak {g}}$ -homomorfismer för dessa moduler.

Grundläggande egenskaper

Varje modul i en kategori O har ändliga dimensionella viktutrymmen .
Varje modul i kategori O är en Noetherian modul .
O är en abelsk kategori
O har tillräckligt med projektiv och injektiver .
O är stängd för att ta delmoduler , kvoter och ändliga direkta summor.
Objekt i O är $Z({\mathfrak {g}})$ -finita, dvs om $M$ är ett objekt och $v\in M$ , då delrummet $Z({\mathfrak {g}})v\subseteq M$ som genereras av $v$ under verkan av mitten av den universella omslutande algebra , är finit- dimensionell.

Exempel

Alla finita dimensionella ${\mathfrak {g}}$ -moduler och deras ${\mathfrak {g}}$ -homomorfismer är i kategori O.
Verma-moduler och generaliserade Verma-moduler och deras ${\mathfrak {g}}$ -homomorfismer är i kategori O.

Se även

Humphreys, James E. (2008), Representationer av semisimple Lie-algebror i BGG-kategorin O (PDF) , AMS, ISBN 978-0-8218-4678-0 , arkiverad från originalet (PDF) 2012-03-21