Kantor kub

I matematik är en Cantor-kub en topologisk grupp av formen {0, 1} ^A för någon indexuppsättning A . Dess algebraiska och topologiska strukturer är gruppen direkt produkt- och produkttopologi över den cykliska gruppen av ordning 2 (som i sig ges den diskreta topologin ).

Om A är en oändlig mängd , är motsvarande Cantor-kub ett Cantor-rum . Kantorkuber är speciella bland kompakta grupper eftersom varje kompakt grupp är en kontinuerlig bild av en, men vanligtvis inte en homomorf bild. (Literaturen kan vara otydlig, så för säkerhets skull, anta att alla utrymmen är Hausdorff .)

Topologiskt är vilken Cantor-kub som helst:

• homogen ;
• kompakt ;
• nolldimensionell ;
• AE(0), en absolut extensor för kompakta nolldimensionella utrymmen. (Varje karta från en sluten delmängd av ett sådant utrymme till en Cantor-kub sträcker sig till hela utrymmet.)

Genom en sats av Schepin kännetecknar dessa fyra egenskaper Cantor-kuber; varje utrymme som uppfyller egenskaperna är homeomorft till en Cantor-kub.

Faktum är att varje AE(0)-utrymme är den kontinuerliga bilden av en Cantor-kub, och med viss ansträngning kan man bevisa att varje kompakt grupp är AE(0). Det följer att varje nolldimensionell kompaktgrupp är homeomorf till en Cantor-kub, och varje kompaktgrupp är en kontinuerlig bild av en Cantor-kub.

•   Todorcevic, Stevo (1997). Ämnen i topologi . ISBN 3-540-62611-5 .
• AA Mal'tsev (2001) [1994], "Colon" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press