Jordan operatör algebra

I matematik är Jordan-operatoralgebror verkliga eller komplexa Jordanalgebror med den kompatibla strukturen för ett Banach-rum . När koefficienterna är reella tal kallas algebrorna Jordan Banach algebror . Teorin har i stor utsträckning utvecklats endast för underklassen av JB algebras . Axiomen för dessa algebror har tagits fram av Alfsen, Schultz & Størmer (1978) . De som konkret kan realiseras som subalgebror av självtillslutande operatorer på ett verkligt eller komplext Hilbert-utrymme med operatorn Jordan-produkten och operatornormen kallas JC -algebras . Axiomen för komplexa Jordan-operatoralgebror, som först föreslogs av Irving Kaplansky 1976, kräver en involution och kallas JB*-algebror eller Jordan C*-algebror . I analogi med den abstrakta karakteriseringen av von Neumann-algebror som C*-algebror för vilka det underliggande Banach-utrymmet är dual av en annan, finns det en motsvarande definition av JBW-algebror . De som kan realiseras med hjälp av ultrasvagt slutna Jordanalgebror av självanslutna operatorer med operatorn Jordan-produkten kallas JW-algebror . JBW-algebrorna med trivialt centrum, så kallade JBW-faktorer , klassificeras i termer av von Neumann-faktorer: förutom den exceptionella 27-dimensionella Albert-algebran och spin-faktorerna , är alla andra JBW-faktorer isomorfa antingen till den självanslutande delen av en von Neumann faktor eller till dess fixpunkt algebra under en period två *-anti-automorfism. Jordanoperatoralgebror har tillämpats i kvantmekanik och i komplex geometri , där Koechers beskrivning av avgränsade symmetriska domäner med hjälp av Jordanalgebror har utökats till oändliga dimensioner.

Definitioner

JC algebra

En JC-algebra är ett reellt delrum av utrymmet för självtillslutande operatörer på ett verkligt eller komplext Hilbert-utrymme, stängt under operatorn Jordan-produkt a ∘ b = 1 / 2 ( ab + ba ) och stängt i operatörsnormen.

JC algebra

En JC-algebra är ett normstängt självtillslutande delrum av utrymmet för operatorer på ett komplext Hilbert-utrymme, stängt under operatorn Jordan-produkt ab a ∘ b = 1/2 ( + ba ) och stängt i operatornormen.

Jordan operatör algebra

En Jordan-operatoralgebra är ett normslutet delrum av utrymmet för operatorer på ett komplext Hilbert-utrymme, stängt under Jordan-produkten a ∘ b = 1 / 2 ( ab + ba ) och stängt i operatornormen.

Jordan Banach algebra

En Jordan Banach-algebra är en riktig Jordan-algebra med en norm som gör det till ett Banach-utrymme och tillfredsställande || a ∘ b || ≤ || en ||⋅|| b ||.

JB algebra

En JB-algebra är en Jordan Banach-algebra som uppfyller

\displaystyle {\|a^{2}\|=\|a\|^{2},\,\,\,\|a^{2}\|\leq \|a^{2} +b^{2}\|.}

JB* algebror

En JB*-algebra eller Jordan C*-algebra är en komplex Jordan-algebra med en involution a ↦ a * och en norm som gör den till ett Banach-utrymme och tillfredsställande

|| a ∘ b || ≤ || en ||⋅|| b ||
|| en *|| = || en ||
||{ a , a *, a }|| = || en || ³ där Jordans trippelprodukt definieras av { a , b , c } = ( a ∘ b ) ∘ c + ( c ∘ b ) ∘ a − ( a ∘ c ) ∘ b .

JW algebror

En JW-algebra är en Jordan-subalgebra av Jordan-algebra av självtillslutande operatorer på ett komplext Hilbert-utrymme som är stängt i den svaga operatortopologin .

JBW algebror

En JBW-algebra är en JB-algebra som, som ett riktigt Banach-utrymme, är dualen av ett Banach-utrymme som kallas dess predual . Det finns en motsvarande mer teknisk definition när det gäller kontinuitetsegenskaperna för de linjära funktionalerna i predualen, kallade normala funktionaler . Detta tas vanligtvis som definitionen och den abstrakta karaktäriseringen som ett dubbelt Banach-utrymme härledd som en konsekvens.

För ordningsstrukturen på en JB-algebra (definierad nedan), bör varje ökande nät av operatorer som begränsas i norm ha en minsta övre gräns.
Normala funktionaliteter är de som är kontinuerliga på ökande avgränsade nät av operatörer. Positiv normal funktionell är de som är icke-negativa på positiva operatorer.
För varje operator som inte är noll finns det en positiv normal funktion som inte försvinner på den operatorn.

Egenskaper för JB algebras

Om en enhetlig JB-algebra är associativ , är dess komplexisering med dess naturliga involution en kommutativ C*-algebra. Det är därför isomorft till C( X ) för ett kompakt Hausdorff-utrymme X , utrymmet för tecken i algebra.
Spektralsats. Om a är en enda operator i en JB-algebra är den slutna subalgebra som genereras av 1 och a associativ. Den kan identifieras med de kontinuerliga verkliga funktionerna på spektrumet av a , uppsättningen av reella λ för vilka a − λ1 inte är inverterbar.
De positiva elementen i en enhetlig JB-algebra är de med spektrum som ingår i [0,∞). Genom spektralsatsen sammanfaller de med utrymmet av kvadrater och bildar en sluten konvex kon. Om b ≥ 0, då { a , b , a } ≥ 0.
En JB-algebra är en formellt verklig Jordan-algebra : om summan av kvadrater av termer är noll, så är varje term noll. I finita dimensioner är en JB-algebra isomorf till en euklidisk Jordanalgebra .
Spektralradien på en JB-algebra definierar en ekvivalent norm som också uppfyller axiomen för en JB-algebra .
Ett tillstånd på en enhetlig JB-algebra är en begränsad linjär funktionell f så att f (1) = 1 och f är icke-negativ på den positiva könen. Tillståndsrummet är en konvex uppsättning stängd i den svaga* topologin. De extrema punkterna kallas rena tillstånd. Givet a finns det ett rent tillstånd f så att | f ( a )| = || en ||.
Gelfand–Naimark–Segal-konstruktion : Om en JB-algebra är isomorf till den självadjoint n gånger n matriser med koefficienter i någon associativ enhetlig *-algebra, så är den isometriskt isomorf till en JC-algebra. JC-algebran uppfyller det ytterligare villkoret att ( T + T *)/2 ligger i algebra närhelst T är en produkt av operatorer från algebra.
En JB-algebra är helt exceptionell om den inte har någon Jordan-homomorfism som inte är noll på en JC-algebra. Den enda enkla algebra som kan uppstå som den homomorfa bilden av en rent exceptionell JB-algebra är Albert-algebra , de 3 gånger 3 självanslutna matriserna över oktonionerna .
Varje JB-algebra har ett unikt bestämt slutet ideal som är rent exceptionellt och sådant att kvoten av idealet är en JC-algebra.
Shirshov–Cohns sats. En JB-algebra genererad av 2 element är en JC-algebra.

Egenskaper för JB* algebror

Definitionen av JB* algebras föreslogs 1976 av Irving Kaplansky vid en föreläsning i Edinburgh. Den verkliga delen av en JB*-algebra är alltid en JB-algebra. Wright (1977) bevisade att omvänt komplexifieringen av varje JB-algebra är en JB*-algebra. JB*-algebror har använts flitigt som ett ramverk för att studera avgränsade symmetriska domäner i oändliga dimensioner. Detta generaliserar teorin i finita dimensioner som utvecklats av Max Koecher med hjälp av komplexifieringen av en euklidisk Jordanalgebra .

Egenskaper för JBW algebror

Elementära egenskaper

Kaplanskys densitetssats gäller för verkliga enhetliga Jordanalgebror av självtillslutande operatorer på ett Hilbert-utrymme med operatorn Jordan-produkten. I synnerhet är en Jordanalgebra stängd i den svaga operatortopologin om och endast om den är stängd i den ultrasvaga operatortopologin . De två topologierna sammanfaller på Jordanalgebra.
algebra är utrymmet för positiva normala funktionaler invariant under den kvadratiska representationen Q ( a ) b = { a , b , a }. Om f är positivt så är f ∘ Q ( a ).
Den svaga topologin på en JW-algebra M definieras av seminormerna | f ( a )| där f är ett normaltillstånd; den starka topologin definieras av seminormerna | f ( a2 ⁾ | ^1/2 . Den kvadratiska representationen och Jordan-produktoperatorerna L ( a ) b = a ∘ b är kontinuerliga operatorer på M för både den svaga och starka topologin.
Ett idempotent p i en JBW-algebra M kallas en projektion . Om p är en projektion, så är Q ( p ) M en JBW-algebra med identitet p .
Om a är något element i en JBW-algebra, är den minsta svagt slutna enhetssubalgebra som den genererar associativ och därmed den självanslutande delen av en Abelian von Neumann-algebra. I synnerhet a approximeras i norm genom linjära kombinationer av ortogonala projektioner.
Projektionerna i en JBW-algebra är stängda under gitteroperationer. För en familj p _α finns det alltså en minsta projektion p så att p ≥ p _α och en största projektion q så att q ≤ p _α .
Mitten av en JBW-algebra M består av alla z sådana L ( z ) -pendlingar med L ( a ) för a i M. Det är en associativ algebra och den verkliga delen av en Abelian von Neumann-algebra. En JBW-algebra kallas en faktor om dess centrum består av skalära operatorer.
Om A är en JB-algebra, är dess andra dubbla A ** en JBW-algebra. Normaltillstånden är tillstånd i A * och kan identifieras med tillstånd på A . Dessutom A ** JBW-algebra som genereras av A .
En JB-algebra är en JBW-algebra om och bara om den, som ett riktigt Banach-utrymme, är dualen av ett Banach-utrymme. Detta Banach-utrymme, dess predual , är utrymmet för normala funktionaler, definierade som skillnader mellan positiva normala funktionaler. Dessa är de kontinuerliga funktionalerna för de svaga eller starka topologierna. Som en konsekvens sammanfaller de svaga och starka topologierna på en JBW-algebra.
I en JBW-algebra sammanfaller JBW-algebra som genereras av en Jordan-subalgebra med dess svaga stängning. Dessutom gäller en förlängning av Kaplanskys densitetssats: enhetskulan i subalgebra är svagt tät i enhetskulan i JBW-algebra den genererar.
Tomita-Takesaki-teorin har utvidgats av Haagerup & Hanche-Olsen (1984) till normala tillstånd av en JBW-algebra som är trogna, dvs inte försvinner på någon positiv operator som inte är noll. Teorin kan härledas från den ursprungliga teorin för von Neumann algebras.

Jämförelse av prognoser

Låt M vara en JBW-faktor. De inre automorfismerna av M är de som genereras av perioden två automorfismer Q (1 – 2 p ) där p är en projektion. Två projektioner är ekvivalenta om det finns en inre automorfism som bär den ena på den andra. Givet två projektioner i en faktor, är en av dem alltid likvärdig med en delprojektion av den andra. Om var och en är likvärdig med en delprojektion av den andra, är de likvärdiga.

En JBW-faktor kan klassificeras i tre ömsesidigt uteslutande typer enligt följande:

Det är typ I om det finns en minimal projektion. Det är typ I _n om 1 kan skrivas som summan av n ortogonala minimala projektioner för 1 ≤ n ≤ ∞.
Det är typ II om det inte finns några minimala projektioner men delprojektionerna av vissa fasta projektioner e bildar ett modulärt gitter , dvs p ≤ q innebär ( p ∨ r ) ∧ q = p ∨ ( r ∧ q ) för varje projektion r ≤ e . Om e kan tas till 1 är det typ II ₁ . Annars är det typ II _≈ .
Det är typ III om projektionerna inte bildar ett modulärt gitter. Alla projektioner som inte är noll är då likvärdiga.

Tomita-Takesaki-teorin tillåter en ytterligare klassificering av typ III-fallet i typ III _λ (0 ≤ λ ≤ 1) med den extra invarianten av ett ergodiskt flöde på ett Lebesgue-utrymme ("viktflödet") när λ = 0.

Klassificering av JBW-faktorer av typ I

JBW - faktorn för typ I ₁ är de reella talen .
JBW - faktorerna av typ I ₂ är spinnfaktorerna . Låt H vara ett verkligt Hilbertrum med dimension större än 1. Ange M = H ⊕ R med inre produkt ( u ⊕λ, v ⊕μ) =( u , v ) + λμ och produkt (u⊕λ)∘(v⊕ μ)=( μ u + λ v ) ⊕ [( u , v ) + λμ]. Med operatörsnormen || L ( a )||, M är en JBW-faktor och även en JW-faktor.
JBW-faktorerna av typ I ₃ är de självtillslutande 3 gånger 3-matriserna med inmatningar i de reella talen, de komplexa talen eller kvaternionerna eller oktonionerna .
JBW-faktorerna av typ I _n med 4 ≤ n < ∞ är de självadjoinerande n gånger n matriserna med inmatningar i de reella talen, de komplexa talen eller kvaternionerna.
JBW-faktorerna av typ I _∞ är de självtillslutande operatorerna på ett oändligt dimensionellt reellt, komplext eller kvartjoniskt Hilbertrum. Det kvaternioniska rummet definieras som alla sekvenser x = ( x _i ) med x _i i H och Σ | x _i | ² < ∞. Den H -värderade inre produkten ges av ( x , y ) = Σ ( y _i ) * x _i . Det finns en underliggande verklig inre produkt som ges av ( x , y ) _R = Re ( x , y ). Den kvaternioniska JBW-faktorn av typ I _∞ är alltså Jordan-algebra för alla självtillslutande operatorer på detta verkliga inre produktutrymme som pendlar med verkan av höger multiplikation med H .

Klassificering av JBW-faktorer av typ II och III

JBW-faktorerna som inte är av typ I ₂ och I ₃ är alla JW-faktorer, dvs kan realiseras som Jordan-algebror av självtillslutande operatorer på ett Hilbert-utrymme stängt i den svaga operatortopologin. Varje JBW-faktor som inte är av typ I ₂ eller typ I ₃ är isomorf till den självanslutande delen av fixpunktalgebra av en period 2 *-antiautomorfism av en von Neumann-algebra. Speciellt är varje JBW-faktor antingen isomorf till den självadjointa delen av en von Neumann-faktor av samma typ eller till den självadjointade delen av fixpunktalgebra för en period 2 *-anti-automorfism av en von Neumann-faktor av samma typ. För hyperfinita faktorer , klassen av von Neumann-faktorer helt klassificerad av Connes och Haagerup, har perioden 2 *-antiautomorfismer klassificerats upp till konjugation i faktorns automorfismgrupp.

Se även

Anteckningar

Alfsen, EM; Shultz, FW; Størmer, E. (1978), "A Gelfand-Neumark theorem for Jordan algebras", Advances in Mathematics , 28 : 11–56, doi : 10.1016/0001-8708(78)90044-0
Blecher, David P.; Wang, Zhenhua (2018) , "Jordan operator algebras: basic theory", Mathematische Nachrichten , 291 (11–12): 1629–1654, arXiv : 1705.00245 , doi : 10.1002 / mana.20170,1917
Dixmier, J. (1981), Von Neumann algebras , ISBN 0-444-86308-7 (A translation of Dixmier, J. (1957), Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann , Gauthier- Villars , den första boken om von Neumann algebras.)
Effros, EG; Størmer, E. (1967), "Jordan algebras of self-adjoint operators", Trans. Amer. Matematik. Soc. , 127 (2): 313–316, doi : 10.1090/s0002-9947-1967-0206733-x , hdl : 10852/44991
Faraut, Jacques; Korányi, Adam (1994), Analysis on symmetric cones , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, ISBN 0-19-853477-9 , MR 1446489
Giordano, Thierry; Jones, Vaughan (1980), "Antiautomorphismes involutifs du facteur hyperfini de type II ₁ ", CR Acad. Sci. Paris : A29–A31, Zbl 0428.46047
Giordano, T. (1983a), "Antiautomorphismes involutifs des facteurs de von Neumann injectifs. I", J. Operator Theory , 10 : 251–287
Giordano, T. (1983b), "Antiautomorphismes involutifs des facteurs de von Neumann injectifs. II", J. Funct. Anal. , 51 (3): 326–360, doi : 10.1016/0022-1236(83)90017-4
Hanche-Olsen, H. (1983), "On the structure and tensor products of JC-algebras", Can. J. Math. , 35 (6): 1059–1074, doi : 10.4153/cjm-1983-059-8 , hdl : 10852/45065 , S2CID 122028832
Haagerup, U.; Hanche-Olsen, H. (1984), "Tomita–Takesaki theory for Jordan algebras", J. Operator Theory , 11 : 343–364, Zbl 0567.46037
Hanche-Olsen, H.; Størmer, E. (1984), Jordan operator algebras , Monographs and Studies in Mathematics, vol. 21, Pitman, ISBN 0273086197
Størmer, Erling (1980), "Verklig struktur i den hyperfinita faktorn", Duke Math. J. , 47 : 145–153, doi : 10.1215/S0012-7094-80-04711-0 , Zbl 0462.46044
Upmeier, H. (1985), Symmetric Banach manifolds and Jordan C∗-algebras , North-Holland Mathematics Studies, vol. 104, ISBN 0444876510
Upmeier, H. (1987), Jordan algebror i analys, operatorteori och kvantmekanik , CBMS Regional Conference Series in Mathematics, vol. 67, American Mathematical Society, ISBN 082180717X
Wright, JDM (1977), "Jordan C∗-algebras", Michigan Math. J. , 24 : 291–302, doi : 10.1307/mmj/1029001946 , Zbl 0384.46040