Jetgrupp

I matematik är en jetgrupp en generalisering av den allmänna linjära gruppen som gäller Taylorpolynom istället för vektorer vid en punkt. En jetgrupp är en grupp av jetstrålar som beskriver hur ett Taylor-polynom transformeras under förändringar av koordinatsystem (eller, ekvivalent, diffeomorfismer ).

Översikt

Jetgruppen av k -: te ordningen G ⁿ _k består av strålar med jämna diffeomorfismer φ: R ⁿ → R ⁿ så att φ(0)=0.

Följande är en mer exakt definition av jetgruppen.

Låt k ≥ 2. Differentialen för en funktion f: R ^k → R kan tolkas som en sektion av den cotangensbunt av R ^K som ges av df: R ^k → T* R ^k . ^På Jm ^{liknande sätt är} derivator av ordning upp till m sektioner av jetknippet ( Rk ) = Rk × W ^, där

$W=\mathbf {R} \times (\mathbf {R} ^{*})^{k}\times S^{2}((\mathbf {R} ^{*})^{k} )\times \cdots \times S^{m}((\mathbf {R} ^{*})^{k}).$

Här är R * det dubbla vektorutrymmet till R , och Si ^. betecknar den i -te symmetriska potensen En jämn funktion f: R ^k → R har en förlängning j ^m f : R ^k → J ^m ( R ^k ) definierad vid varje punkt p ⁱ ∈ Rk genom att placera de ⁱ - te partialerna av f vid p i S (( R *) ^k ) komponent av W.

Betrakta en punkt $p=(x,x')\in J^{m}(\mathbf {R} ^{n})$ . Det finns ett unikt polynom f _p i k variabler och av ordningen m så att p är i bilden av j ^m f _p . Det vill säga $j^{k}(f_{p})(x)=x'$ . Differentialdatan x′ kan överföras till att ligga över en annan punkt y ∈ Rn som j ^m f _p (y) , ^partialerna av f _p över y .

Förse J ^m ( R ⁿ ) med en gruppstruktur genom att ta

$(x,x')*(y,y')=(x+ y,j^{m}f_{p}(y)+y')$

Med denna gruppstruktur är Jm ⁽ Rn ) en Carnot-grupp ^av klass m + 1 .

På grund av egenskaperna hos strålar under funktionssammansättning är G ⁿ _{k en Lie} - grupp . Jetgruppen är en halvdirekt produkt av den allmänna linjära gruppen och en sammankopplad, enkelt ansluten nilpotent Lie-grupp . Det är också i själva verket en algebraisk grupp , eftersom sammansättningen endast innefattar polynomoperationer.

Anteckningar

• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Naturliga operationer i differentialgeometri (PDF) , Springer-Verlag, arkiverad från originalet (PDF) 2017-03-30 , hämtad 2014-05-02
•   Krupka, Demeter; Janyška, Josef (1990), Föreläsningar om differentiella invarianter , Univerzita JE Purkyně V Brně, ISBN 80-210-0165-8
•   Saunders, DJ (1989), The geometry of jet bundles , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7