Iwahori undergrupp

I algebra är en Iwahori-undergrupp en undergrupp av en reduktiv algebraisk grupp över ett icke-arkimediskt lokalt fält som är analogt med en Borel-undergrupp i en algebraisk grupp. En parahorisk undergrupp är en riktig undergrupp som är en finit union av dubbla coset av en Iwahori-undergrupp, så den är analog med en parabolisk undergrupp av en algebraisk grupp. Iwahori-undergrupper är uppkallade efter Nagayoshi Iwahori , och "parahori" är en sammansättning av "parabolisk" och "Iwahori". Iwahori & Matsumoto (1965) studerade Iwahori-undergrupper för Chevalley-grupper över pa -adiska fält, och Bruhat & Tits (1972) utökade sitt arbete till mer allmänna grupper.

Grovt sett är en Iwahori-undergrupp av en algebraisk grupp G ( K ), för ett lokalt fält K med heltal O och restfält k , den omvända bilden i G ( O ) av en Borel-undergrupp av G ( k ).

En reduktiv grupp över ett lokalt fält har ett bröstsystem ( B , N ), där B är en parahorisk grupp och Weyl-gruppen i bröstsystemet är en affin Coxeter-grupp .

Definition

Mer exakt kan Iwahori och parahoriska undergrupper beskrivas med hjälp av teorin om affina bröstbyggnader . Den (reducerade) byggnaden B ( G ) av G medger en nedbrytning i fasetter . När G är kvasisenkel är fasetterna förenklade och fasettsönderdelningen ger B ( G ) strukturen av ett förenklat komplex ; i allmänhet är fasetterna polysimplices, det vill säga produkter av simplices. Fasetterna med maximal dimension kallas byggnadens alkover .

När G är semisenkel och enkelt ansluten , är de parahoriska undergrupperna per definition stabilisatorerna i G av en fasett, och Iwahori-undergrupperna är per definition stabilisatorerna för en alkov. Om G inte uppfyller dessa hypoteser kan liknande definitioner göras, men med tekniska komplikationer.

När G är semisenkel men inte nödvändigtvis helt enkelt sammankopplad, är stabilisatorn för en fasett för stor och man definierar en parahoric som en viss finit index-undergrupp av stabilisatorn. Stabilisatorn kan förses med en kanonisk struktur av en O -grupp, och den finita indexundergruppen, det vill säga den parahoriska, är per definition O-punkterna för den algebraiskt anslutna komponenten i denna O -grupp. Det är här viktigt att arbeta med den algebraiska anslutna komponenten istället för den topologiskt anslutna komponenten eftersom ett icke-arkimediskt lokalt fält är totalt frånkopplat .

När G är en godtycklig reduktiv grupp använder man den tidigare konstruktionen men tar istället stabilisatorn i undergruppen av G bestående av element vars bild under något tecken av G är integral.

Exempel

  • De maximala parahoriska undergrupperna av GL n ( K ) är stabilisatorerna för O- gitter i K n . Speciellt är GLn ( O ) en maximal parahorisk. Varje maximal parahoric av GLn ( K ) är konjugerad till GLn ( O ) . Iwahori-undergrupperna är konjugerade till undergruppen I av matriser i GLn ( O ) som reduceras till en övre triangulär matris i GLn( k ) där k är restfältet för O ; parahoriska undergrupper är alla grupper mellan I och GLn ( O ) , som mappar en-till-en till paraboliska suggrupper av GLn( k ) som innehåller de övre triangulära matriserna.
  • På liknande sätt är de maximala parahoriska undergrupperna av SLn ( K ) stabilisatorerna av O-gitter i Kn , och SLn ( O ) är en maximal parahorisk. Till skillnad från för GLn ( K ) har SLn(K) emellertid n konjugationsklasser av maximala parahoriker.
  • När G är kommutativ har den en unik maximal kompakt undergrupp och en unik Iwahori-undergrupp, som ingår i den förra. Dessa grupper är inte alltid överens. Låt till exempel L vara en finit separerbar förlängning av K med förgreningsgrad e . Torus L × /K × är kompakt. Emellertid är dess Iwahori-undergrupp O L × /O K × , en undergrupp av index e vars kokkärna genereras av en uniformiserare av L.
Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Iwahori_subgroup&oldid=1109771937 "