Frobenioid
Inom aritmetisk geometri är en Frobenioid en kategori med någon extra struktur som generaliserar teorin om linjebuntar på modeller av ändliga förlängningar av globala fält . Frobenioider introducerades av Shinichi Mochizuki ( 2008) . Ordet "frobenioid" är en portmanteau av Frobenius och monoid , eftersom vissa Frobenius-morfismer mellan Frobenioider är analoger till den vanliga Frobenius-morfismen , och några av de enklaste exemplen på Frobenioider är i huvudsak monoider.
Frobenioiden av en monoid
Om M är en kommutativ monoid , påverkas den naturligt av monoid N av positiva heltal under multiplikation, med ett element n av N som multiplicerar ett element av M med n . Frobenioiden av M är den halvdirekta produkten av M och N . Den underliggande kategorin för denna Frobenioid är kategorin av monoiden, med ett objekt och en morfism för varje element i monoiden. Standard Frobenioid är specialfallet för denna konstruktion när M är den additiv monoid av icke-negativa heltal.
Elementära Frobenioider
En elementär Frobenioid är en generalisering av Frobenioiden för en kommutativ monoid, given av en sorts halvdirekt produkt av monoiden av positiva heltal av en familj Φ av kommutativa monoider över en baskategori D . I applikationer är kategorin D ibland kategorin av modeller av ändliga separerbara förlängningar av ett globalt fält, och Φ motsvarar linjebuntarna på dessa modeller, och verkan av ett positivt heltal n i N ges genom att ta den n: te potensen av en linbunt.
Frobenioider och poly-frobenioider
En Frobenioid består av en kategori C tillsammans med en funktion till en elementär Frobenioid, som uppfyller några komplicerade villkor relaterade till beteendet hos linjebuntar och divisorer på modeller av globala fält. En av Mochizukis grundläggande satser säger att under olika förhållanden kan en Frobenioid rekonstrueras från kategorin C . En poly-frobenioid är en förlängning av en frobenioid.
- Mochizuki, Shinichi (2008), "The geometry of Frobenioids. I. The general theory", Kyushu Journal of Mathematics , 62 (2): 293–400, doi : 10.2206/kyushujm.62.293 , ISSN 1340-6284 , 4MR 6126
- ) , "The geometry of Frobenioids. II. Poly-Frobenioids", Kyushu Journal of Mathematics , 62 (2): 401–460, doi : 10.2206 /kyushujm.62.401 , ISSN 1340-621 1340-621
- Mochizuki, Shinichi (2009), "The étale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations", Kyoto University. Forskningsinstitutet för matematiska vetenskaper. Publications , 45 (1): 227–349, doi : 10.2977/prims/1234361159 , ISSN 0034-5318 , MR 2512782 Mochizuki, Shinichi (2011), Kommentarer (PDF)