Karaktärsvariation

I modulteorins matematik , givet en algebraisk , reduktiv , Lie-grupp $G$$G$ en ändligt genererad grupp $\pi$ , G - teckenvariationen av $\ pi$ är ett utrymme av ekvivalensklasser av grupphomomorfismer från $\pi$ till $G$ :

${\mathfrak {R}}(\pi ,G)=\operatörsnamn {Hom} (\pi ,G)/\!\sim \,.$

Mer exakt, $G$ verkar på $\operatorname {Hom} (\pi ,G)$ genom konjugation och två homomorfismer definieras som ekvivalenta (betecknade $\sim$ ) om och bara om deras omloppsavslutningar skär varandra. Detta är den svagaste ekvivalensrelationen på uppsättningen av konjugationsbanor, ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi ,G)/G} ,$ som ger ett Hausdorff-utrymme .

Formulering

Formellt, och när den reduktiva gruppen definieras över de komplexa talen $\mathbb {C}$ , är $G$ -teckenvarianten spektrumet av primideal för ringen av invarianter (dvs. den affina GIT-kvot ).

$\mathbb {C} [\operatörsnamn {Hom} (\pi ,G)]^{G}.$

Här kan man mer allmänt betrakta algebraiskt slutna fält av primära egenskaper. I denna allmänhet är karaktärsvarianter endast algebraiska uppsättningar och är inte faktiska varianter. För att undvika tekniska problem överväger man ofta det tillhörande minskade utrymmet genom att dividera med radikalen radical of 0 (eliminating nilpotents). However, this does not necessarily yield an irreducible space either. Moreover, if we replace the complex group by a real group we may not even get an algebraic set. In particular, a maximal compact subgroup generally gives a semi-algebraic set. On the other hand, whenever $\pi$ is free we always get an honest variety; it is singular however.

Exempel

En intressant klass av exempel uppstår från Riemann-ytor: om $X$ är en Riemann-yta så är $G$ - teckenvariation av ${\displaystyle X} ,$ eller Betti moduli space , teckenvariationen av ytgruppen $\pi =\pi _{1}(X)$

${\mathcal {M}}_{B}(X,G)={\mathfrak {R}}(\pi _{ 1}(X),G)$ .

Till exempel, om $G=\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ och $X$ är Riemann-sfären punkterad tre gånger, så $\pi =\pi _{1}(X)$ är fri från rang två, sedan bevisade Henri G. Vogt, Robert Fricke och Felix Klein att karaktärsvarianten är ${\ displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ; dess koordinatring är isomorf till den komplexa polynomringen i 3 variabler, $\mathbb {C} [x,y,z]$ . Begränsning till $G=\mathrm {SU} (2)$ ger en sluten verklig tredimensionell boll (semi-algebraisk, men inte algebraisk).

Ett annat exempel som också studerats av Vogt och Fricke–Klein är fallet med $G=\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ och $X$ är Riemann-sfären punkterad fyra gånger, så $\pi =\pi _{1}(X)$ är fri från rang tre. Då är teckenvarianten isomorf till hyperytan i $\mathbb {C} ^{7}$ som ges av ekvationen

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+x^{2}+y^{2}+ z^{2}-(ab+cd)x-(ad+bc)y-(ac+bd)z+abcd+xyz-4=0.$

Denna karaktärsvariation förekommer i teorin för den sjätte Painleve-ekvationen och har en naturlig Poisson-struktur så att $a,b,c,d$ är Casimir-funktioner, så de symplektiska bladen är affina kubiska ytor av formen $xyz+x^{2}+y^{2}+z^ {2}+c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z=c_{4}$

Varianter

Denna konstruktion av karaktärsvarianten är inte nödvändigtvis densamma som Marc Culler och Peter Shalen (genererad av utvärderingar av spår), även om när $G=\mathrm {SL} (n ,\mathbb {C} )$ de är överens, eftersom Claudio Procesi har visat att i detta fall genereras ringen av invarianter i själva verket endast av spår. Eftersom spårfunktioner är invarianta av alla inre automorfismer, antar Culler-Shalen-konstruktionen i huvudsak att vi agerar av $G=\mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )$ på ${\mathfrak {R}}=\operatörsnamn {Hom} (\pi ,H)$ även om $G\neq H$ .

Till exempel, när $\pi$ är en fri grupp med rang 2 och $G=\mathrm {SO} (2)$ , är konjugationsåtgärden trivial och ${ \displaystyle G}$ -teckenvariant är torus

$S^{1}\times S^{1}.$

Men spåralgebra är en strikt liten subalgebra (det finns färre invarianter). Detta ger en involutiva verkan på torusen som måste beaktas för att ge Culler-Shalen-karaktärsvarianten. Involutionen på denna torus ger en 2-sfär. Poängen är att upp till $\mathrm {SO} (2)$ -konjugation är alla punkter distinkta, men spåret identifierar element med olika antidiagonala element (involutionen).

Anslutning till geometri

Det finns ett samspel mellan dessa modulutrymmen och modulutrymmena för huvudbuntar , vektorbuntar , Higgsbuntar och geometriska strukturer på topologiska utrymmen, generellt givet av observationen att, åtminstone lokalt, ekvivalenta objekt i dessa kategorier parametriseras av konjugationsklasser av holonomi homomorfismer av platta anslutningar. Med andra ord, med avseende på ett basutrymme $M$ för buntarna eller ett fixerat topologiskt utrymme för de geometriska strukturerna, är holonomihomomorfismen en grupphomomorfism från $\pi _{1 }(M)$ till strukturgruppen $G$ i paketet.

Anslutning till nystan moduler

Karaktärsvariantens koordinatring har relaterats till nystanmoduler i knutteorin . Nystansmodulen är ungefär en deformation (eller kvantisering) av karaktärsvarianten. Det är nära relaterat till topologisk kvantfältteori i dimension 2+1.

Se även

• Geometrisk invariantteori