Tre gånger periodisk minimal yta
I differentialgeometri är en trippelperiodisk minimal yta (TPMS) en minimal yta i ℝ 3 som är invariant under ett gitter av översättningar i rang 3.
Dessa ytor har symmetri av en kristallografisk grupp . Talrika exempel är kända med kubiska, tetragonala , romboedriska och ortorhombiska symmetrier. Monoklina och trikliniska exempel finns säkert, men har visat sig vara svåra att parametrisera.
TPMS är relevanta inom naturvetenskap. TPMS har observerats som biologiska membran, som blocksampolymerer , ekvipotentiella ytor i kristaller etc. De har också varit av intresse inom arkitektur, design och konst.
Egenskaper
Nästan alla studerade TPMS är fria från självkorsningar (dvs. inbäddade i ℝ 3 ): ur en matematisk synvinkel är de mest intressanta (eftersom självkorsande ytor är trivialt många).
Alla anslutna TPMS har släktet ≥ 3, och i varje gitter finns det orienterbara inbäddade TPMS av varje släkte ≥3.
Inbäddade TPMS är orienterbara och delar upp utrymmet i två disjunkta delvolymer (labyrinter). Om de är kongruenta sägs ytan vara en balansyta.
Historia
De första exemplen på TPMS var ytorna som beskrevs av Schwarz 1865, följt av en yta som beskrevs av hans elev ER Neovius 1883.
1970 kom Alan Schoen med 12 nya TPMS baserade på skelettgrafer som spänner över kristallografiska celler. Medan Schoens ytor blev populära inom naturvetenskapen lämpade sig konstruktionen inte för ett matematiskt existensbevis och förblev i stort sett okänd inom matematiken, tills H. Karcher bevisade deras existens 1989.
Med hjälp av konjugerade ytor hittades många fler ytor. Medan Weierstrass-representationer är kända för de enklare exemplen, är de inte kända för många ytor. Istället används ofta metoder från Diskret differentialgeometri .
Familjer
Klassificeringen av TPMS är ett öppet problem.
TPMS kommer ofta i familjer som kontinuerligt kan deformeras till varandra. Meeks hittade en explicit 5-parameterfamilj för släkte 3 TPMS som innehöll alla då kända exempel på släkte 3-ytor förutom gyroid. Medlemmar av denna familj kan kontinuerligt deformeras till varandra, förbli inbäddade i processen (även om gallret kan förändras). Gyroid och lidinoid är var och en inom en separat 1-parameter familj .
En annan metod för att klassificera TPMS är att undersöka deras rymdgrupper. För ytor som innehåller linjer kan de möjliga gränspolygonerna räknas upp, vilket ger en klassificering.
Generaliseringar
Periodiska minimala ytor kan konstrueras i S 3 och H 3 .
Det är möjligt att generalisera uppdelningen av rymden i labyrinter för att hitta trefaldigt periodiska (men möjligen grenade) minimala ytor som delar upp rymden i mer än två delvolymer.
Kvasiperiodiska minimala ytor har konstruerats i ℝ 2 × S 1 . Det har föreslagits men inte bevisats att minimala ytor med en kvasikristallin ordning i ℝ 3 existerar.
Externa bildgallerier
 |
||