Golod–Shafarevich-satsen
Inom matematiken bevisades Golod-Shafarevich-satsen 1964 av Evgeny Golod och Igor Shafarevich . Det är ett resultat i icke-kommutativ homologisk algebra som löser klassfälttornproblemet genom att visa att klassfälttorn kan vara oändliga.
Ojämlikheten
Låt A = K ⟨ x 1 , ..., x n ⟩ vara den fria algebra över ett fält K i n = d + 1 icke-pendlande variabler x i .
Låt J vara det 2-sidiga idealet för A genererat av homogena element f j av A av grad d j med
- 2 ≤ d 1 ≤ d 2 ≤ ...
där d j tenderar mot oändligheten. Låt r i vara antalet d j lika med i .
Låt B = A / J , en graderad algebra . Låt b j = dämpa B j .
Den grundläggande ojämlikheten mellan Golod och Shafarevich säger det
Som en konsekvens:
- B är oändligt dimensionell om r i ≤ d 2 /4 för alla i
Ansökningar
Detta resultat har viktiga tillämpningar inom kombinatorisk gruppteori :
- Om G är en icke-trivial finit p-grupp , då r > d 2 /4 där d = dim H 1 ( G , Z / p Z ) och r = dim H 2 ( G , Z / p Z ) (mod p- kohomologin grupper av G ). I synnerhet om G är en finit p-grupp med minimalt antal generatorer d och har r- relatorer i en given presentation, då r > d 2 /4.
- För varje primtal p finns det en oändlig grupp G genererad av tre element där varje element har en potens av p . Gruppen G ger ett motexempel till den generaliserade Burnside-förmodan : det är en finitely genererad oändlig torsionsgrupp , även om det inte finns någon enhetlig bunden ordning på dess beståndsdelar.
I klassfältteori skapas klassfälttornet för ett talfält K genom att iterera Hilbert - klassens fältkonstruktion . Klassfälttornproblemet frågar om detta torn alltid är ändligt; Hasse (1926) tillskrev denna fråga till Furtwängler, även om Furtwängler sa att han hade hört den från Schreier. En annan konsekvens av Golod-Shafarevich-satsen är att sådana torn kan vara oändliga (med andra ord slutar inte alltid i ett fält som är lika med dess Hilbert -klassfält). Specifikt,
- Låt K vara ett imaginärt kvadratiskt fält vars diskriminant har minst 6 primtalsfaktorer. Då har den maximala oframifierade 2-förlängningen av K oändlig grad.
Mer generellt har ett talfält med tillräckligt många primfaktorer i diskriminanten ett oändligt klassfälttorn.
- Golod, ES ; Shafarevich, IR (1964), "På klassens fälttorn", Izv. Akad. Nauk SSSSR , 28 : 261–272 (på ryska ) MR 0161852
- Golod, ES (1964), "On noll-algebras and finitely approximable p-groups.", Izv. Akad. Nauk SSSSR , 28 : 273–276 (på ryska ) MR 0161878
- Herstein, IN (1968). Icke-kommutativa ringar . Carus matematiska monografier. MAA. ISBN 0-88385-039-7 . Se kapitel 8.
- Johnson, DL (1980). "Ämnen i teorin om grupppresentationer" (1:a upplagan). Cambridge University Press . ISBN 0-521-23108-6 . Se kapitel VI.
- Koch, Helmut (1997). Algebraisk talteori . Encycl. Matematik. Sci. Vol. 62 (2:a tryckningen av 1:a uppl.). Springer-Verlag . sid. 180. ISBN 3-540-63003-1 . Zbl 0819.11044 .
- Narkiewicz, Władysław (2004). Elementär och analytisk teori för algebraiska tal . Springer Monographs in Mathematics (3:e upplagan). Berlin: Springer-Verlag . sid. 194. ISBN 3-540-21902-1 . Zbl 1159.11039 .
- Roquette, Peter (1986) [1967]. "På klassfälttorn". I Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (red.). Algebraisk talteori, Proceedings of the instructional conference som hölls vid University of Sussex, Brighton, 1–17 september 1965 ( Reprint of the 1967 original ed.). London: Academic Press . s. 231–249. ISBN 0-12-163251-2 .
- Serre, J.-P. (2002), "Galois Cohomology," Springer-Verlag . ISBN 3-540-42192-0 . Se bilaga 2. (Översättning av Cohomologie Galoisienne , Lecture Notes in Mathematics 5 , 1973.)