Gerhard Huisken

Gerhard Huisken
Gerhard Huisken 2017
Född	( 1958-05-20 ) 20 maj 1958 Hamburg , Tyskland
Nationalitet	tysk
Alma mater	Heidelbergs universitet
Känd för	Huiskens monotoniformel
Vetenskaplig karriär
Fält	Matematik
institutioner	Australian National University University of Tübingen Max Planck Institute for Gravitational Physics Mathematical Research Institute of Oberwolfach
Avhandling	Reguläre Kapillarflächen in negativen Gravitationsfeldern (1983)
Doktorand rådgivare	Claus Gerhardt
Doktorander	Ben Andrews Simon Brendle

Gerhard Huisken (född 20 maj 1958) är en tysk matematiker vars forskning rör differentialgeometri och partiella differentialekvationer . Han är känd för grundläggande bidrag till teorin om medelkurvaturflödet, inklusive Huiskens monotoniformel, som är uppkallad efter honom. Med Tom Ilmanen bevisade han en version av den Riemannska Penrose-ojämlikheten , som är ett specialfall av den mer allmänna Penrose-förmodan i allmän relativitet .

Utbildning och karriär

Efter att ha avslutat gymnasiet 1977 tog Huisken upp studier i matematik vid Heidelbergs universitet . 1982, ett år efter sin examen, avslutade han sin doktorsexamen vid samma universitet under ledning av Claus Gerhardt. Ämnet för hans avhandling var icke-linjära partiella differentialekvationer ( Reguläre Kapillarflächen in negativen Gravitationsfeldern) .

Från 1983 till 1984 var Huisken forskare vid Center for Mathematical Analysis vid Australian National University (ANU) i Canberra. Där vände han sig till differentialgeometri , särskilt problem med medelkurvaturflöden och tillämpningar i allmän relativitetsteori . 1985 återvände han till universitetet i Heidelberg och fick sin habilitering 1986. Efter en tid som gästprofessor vid University of California, San Diego, återvände han till ANU från 1986 till 1992, först som lektor, sedan som en Läsare. 1991 var han gästprofessor vid Stanford University . Från 1992 till 2002 var Huisken professor vid universitetet i Tübingen , som tjänstgjorde som dekanus för den matematiska fakulteten från 1996 till 1998. Från 1999 till 2000 var han gästprofessor vid Princeton University .

2002 blev Huisken direktör vid Max Planck Institute for Gravitational Physics (Albert Einstein Institute) i Potsdam och samtidigt hedersprofessor vid Free University of Berlin . I april 2013 tillträdde han posten som direktör vid Mathematical Research Institute of Oberwolfach, tillsammans med en professur vid Tübingen University. Han är fortfarande en extern vetenskaplig medlem av Max Planck Institute for Gravitational Physics.

Huiskens doktorander inkluderar Ben Andrews och Simon Brendle , bland över tjugofem andra.

Arbete

Huiskens arbete behandlar partiella differentialekvationer , differentialgeometri och deras tillämpningar inom fysik . Många fenomen inom matematisk fysik och geometri är relaterade till ytor och undergrenar . Ett dominerande tema i Huiskens arbete har varit studiet av deformationen av sådana ytor, i situationer där reglerna för deformation bestäms av geometrin hos dessa ytor själva. Sådana processer styrs av partiella differentialekvationer.

Huiskens bidrag till medelkurvaturflödet är särskilt grundläggande. Genom hans arbete förstås till stor del det genomsnittliga krökningsflödet av hyperytor i olika konvexa miljöer. Hans upptäckt av Huiskens monotoniformel , giltig för allmänna medelkrökningsflöden, är ett särskilt viktigt verktyg.

I den matematiska studien av allmän relativitet , kunde Huisken och Tom Ilmanen ( ETH Zürich ) bevisa ett betydande specialfall av den Riemannska Penrose-ojämlikheten . Deras bevismetod gav också ett avgörande bidrag till det omvända medelkurvaturflödet . Hubert Bray bevisade senare en mer allmän version av deras resultat med alternativa metoder. Den allmänna versionen av gissningen, som handlar om svarta hål eller skenbara horisonter i Lorentzisk geometri , är fortfarande ett öppet problem (från och med 2020).

Ricci flöde

Huisken var en av de första författarna som övervägde Richard Hamiltons arbete om Ricci-flödet i högre dimensioner. 1985 publicerade Huisken en version av Hamiltons analys i godtyckliga dimensioner, där Hamiltons antagande om positiviteten hos Ricci-kurvatur ersätts av en kvantitativ närhet till konstant krökning . Detta mäts i termer av Ricci-nedbrytningen . Nästan alla Hamiltons huvudsakliga uppskattningar, särskilt gradientuppskattningen för skalär krökning och egenvärdesknipningsuppskattningen , sattes av Huisken i sammanhanget med allmänna dimensioner.

Flera år senare utvidgades giltigheten av Huiskens konvergenssatser till bredare krökningsförhållanden via nya algebraiska idéer av Christoph Böhm och Burkhard Wilking. I en stor tillämpning av Böhm och Wilkings arbete, etablerade Brendle och Richard Schoen ett nytt konvergenssats för Ricci-flödet, som innehåller den länge förmodade differentierbara sfärsatsen som ett specialfall.

Medelkurvaturflöde

Huisken är allmänt känd för sitt grundläggande arbete om medelkurvaturflödet av hyperytor . År 1984 anpassade han Hamiltons avgörande arbete om Ricci-flödet till inställningen av medelkrökningsflöde, vilket bevisade att en normalisering av flödet som bevarar ytarean kommer att deformera varje slät stängd konvex hyperyta av det euklidiska rummet till en rund sfär. Den stora skillnaden mellan hans arbete och Hamiltons är att den relevanta ekvationen i beviset för den "nypa uppskattningen" inte är mottaglig för maximiprincipen, till skillnad från Hamiltons arbete . Istället använde Huisken iterativa integralmetoder, efter tidigare arbete av analytikerna Ennio De Giorgi och Guido Stampacchia . I analogi med Hamiltons resultat kan Huiskens resultat ses som bevis på att varje slät stängd konvex hyperyta av det euklidiska rummet är diffeomorf till en sfär och är gränsen för en region som är diffeomorf till en boll. Men båda dessa resultat är elementära via analys av Gauss-kartan .

Senare utvidgade Huisken beräkningarna i sitt bevis för att överväga hyperytor i allmänna Riemannska grenrör . Hans resultat säger att om hyperytan är tillräckligt konvex i förhållande till geometrin hos det Riemannska grenröret, så kommer medelkrökningsflödet att dra ihop det till en punkt, och att en normalisering av ytarean i geodetiska normala koordinater kommer att ge en jämn deformation till en sfär i det euklidiska rummet (som representeras av koordinaterna). Detta visar att sådana hyperytor är diffeomorfa till sfären, och att de är gränsen för en region i Riemannska mångfalden som är diffeomorfa till en boll. I denna allmänhet finns det inte ett enkelt bevis med hjälp av Gauss-kartan.

1987 anpassade Huisken sina metoder för att överväga ett alternativt "medelkurvatur"-drivet flöde för slutna hyperytor i det euklidiska rymden, där volymen som innesluts av ytan hålls konstant; resultatet är direkt analogt. Senare, i samarbete med Shing-Tung Yau , utökades detta arbete till Riemannska miljöer. Motsvarande existens- och konvergensresultat av Huisken–Yau illustrerar ett geometriskt fenomen av grenrör med positiv ADM-massa , nämligen att de är folierade av ytor med konstant medelkurvatur . Med ett motsvarande unikt resultat tolkade de denna foliation som ett mått på masscentrum i den allmänna relativitetsteorin .

Efter arbete av Yoshikazu Giga och Robert Kohn som i stor utsträckning använde Dirichlet-energin viktad av exponentialer, bevisade Huisken 1990 en integrerad identitet, känd som Huiskens monotoniformel , som visar att under medelkurvaturflödet, integralen av " bakåt" är den euklidiska värmekärnan över den utvecklande hyperytan alltid icke-ökande. Han utökade senare sin formel för att tillåta allmän samdimension och allmänna positiva lösningar av "bakåt" värmeekvationen ; monotoniteten i denna generalitet använder på ett avgörande sätt Richard Hamiltons matris Li–Yau uppskattning. En förlängning av den Riemannska inställningen gavs också av Hamilton. Huisken och Hamiltons idéer anpassades senare av Grigori Perelman till inställningen av den "bakåtriktade" värmeekvationen för volymformer längs Ricci-flödet .

Huisken och Klaus Ecker använde upprepade gånger monotoniresultatet för att visa att för en viss klass av icke-kompakta grafiska hyperytor i det euklidiska rymden existerar medelkurvaturflödet för all positiv tid och deformerar vilken yta som helst i klassen till en självexpanderande lösning av medelkurvaturflödet. En sådan lösning rör sig endast genom konstant omskalning av en enda hyperyta. Genom att använda sig av maximala principtekniker kunde de också erhålla rent lokala derivatuppskattningar, ungefär parallellt med de som tidigare erhållits av Wan-Xiong Shi för Ricci-flöde.

Med tanke på en ändlig tidssingularitet för medelkurvaturflödet finns det flera sätt att utföra mikroskopiska omskalningar för att analysera den lokala geometrin i regioner nära punkter med stor krökning . Baserat på sin monotoniformel visade Huisken att många av dessa regioner, speciellt de som kallas typ I-singulariteter , modelleras på ett exakt sätt av självkrympande lösningar av medelkurvaturflödet.

Det finns nu en någorlunda fullständig förståelse för omskalningsprocessen i inställningen av medelkurvaturflöden som endast involverar hyperytor vars medelkurvatur är strikt positiv. Efter provisoriskt arbete av Huisken, Tobias Colding och William Minicozzi visat att (med vissa tekniska förhållanden) de enda självkrympande lösningarna för medelkurvaturflöde som har icke-negativ medelkrökning är de runda cylindrarna, vilket ger en fullständig lokal bild av typ I singulariteter i inställningen "medelkonvex". I fallet med andra singulära regioner, kända som typ II-singulariteter , utvecklade Richard Hamilton omskalningsmetoder i inställningen av Ricci-flöde som kan transplanteras till medelkurvaturflödet. Genom att modifiera integralmetoderna som han utvecklade 1984, genomförde Huisken och Carlo Sinestrari ett utarbetat induktivt argument om de elementära symmetriska polynomen i den andra grundformen för att visa att varje singularitetsmodell som resulterar från sådana omskalningar måste vara ett medelkurvaturflöde som rör sig genom att översätta en enda konvex hyperyta i någon riktning. Denna passage från medelkonvexitet till full konvexitet är jämförbar med den mycket enklare Hamilton-Ivey-uppskattningen för Ricci-flöde, som säger att varje singularitetsmodell av ett Ricci-flöde på ett slutet 3-grenrör måste ha icke-negativ tvärsnittskrökning .

Omvänt medelkurvaturflöde

På 1970-talet utvecklade fysikerna Robert Geroch , Pong-Soo Jang och Robert Wald idéer som kopplade det asymptotiska beteendet hos omvänd medelkurvaturflöde till giltigheten av Penrose-förmodan, som relaterar energin i en asymptotiskt platt rumstid till storleken på svarta hål den innehåller. Detta kan ses som en skärpning eller kvantifiering av den positiva energisatsen , som ger det svagare uttalandet att energin är icke-negativ.

På 1990-talet utvecklade Yun Gang Chen, Yoshikazu Giga och Shun'ichi Goto, och oberoende Lawrence Evans och Joel Spruck , en teori om svaga lösningar för medelkurvaturflöde genom att överväga nivåuppsättningar av lösningar för en viss elliptisk partiell differentialekvation . Tom Ilmanen gjorde framsteg med att förstå teorin om sådana elliptiska ekvationer, via approximationer av elliptiska ekvationer av mer standardkaraktär. Huisken och Ilmanen kunde anpassa dessa metoder till det omvända medelkurvaturflödet, och därigenom göra metodiken för Geroch, Jang och Wald matematiskt exakt. Deras resultat handlar om icke-kompakta tredimensionella Riemannska grenrör-med-gräns av icke-negativ skalär krökning vars gräns är minimal , relaterar geometrin nära oändligheten till ytarean av den största gränskomponenten. Hubert Bray , genom att använda sig av den positiva masssatsen istället för det omvända medelkurvaturflödet, kunde förbättra Huisken och Ilmanens ojämlikhet för att involvera den totala ytan av gränsen.

Heder och utmärkelser

Huisken är stipendiat vid Heidelberg Academy for Sciences and Humanities , Berlin-Brandenburg Academy of Sciences and Humanities , Academy of Sciences Leopoldina och American Mathematical Society .

• 1991: Medalj från Australian Mathematical Society
• 1998: inbjuden talare vid International Congress of Mathematicians
• 2002: Gauss-föreläsning av German Mathematical Society
• 2003: Gottfried Wilhelm Leibniz-priset

Stora publikationer

H84.

   Huisken, Gerhard (1984). "Flöda medelst krökning av konvexa ytor till sfärer" . Journal of Differential Geometry . 20 (1): 237–266. doi : 10.4310/jdg/1214438998 . MR 0772132 . Zbl 0556.53001 .

H85.

   Huisken, Gerhard (1985). "Ricci-deformation av metriken på ett Riemann-grenrör" . Journal of Differential Geometry . 21 (1): 47–62. doi : 10.4310/jdg/1214439463 . MR 0806701 . Zbl 0606.53026 .

H86.

    Huisken, Gerhard (1986). "Sammandragande av konvexa hyperytor i Riemannska grenrör genom deras genomsnittliga krökning". Inventiones Mathematicae . 84 (3): 463–480. Bibcode : 1986InMat..84..463H . doi : 10.1007/BF01388742 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-592E-F . MR 0837523 . S2CID 55451410 . Zbl 0589.53058 .

H87.

    Huisken, Gerhard (1987). "Det volymbevarande medelkurvaturflödet". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1987 (382): 35–48. doi : 10.1515/crll.1987.382.35 . MR 0921165 . S2CID 118368038 . Zbl 0621.53007 .

EH89.

    Ecker, Klaus; Huisken, Gerhard (1989). "Medelkurvaturutveckling av hela grafer". Annals of Mathematics . Andra serien. 130 (3): 453–471. doi : 10.2307/1971452 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5D0F-6 . JSTOR 1971452 . MR 1025164 . Zbl 0696.53036 .

H89.

   Huisken, Gerhard (1989). "Icke-parametrisk medelkurvaturutveckling med randvillkor" . Journal of differentialekvationer . 77 (2): 369–378. Bibcode : 1989JDE....77..369H . doi : 10.1016/0022-0396(89)90149-6 . MR 0983300 . Zbl 0686.34013 .

H90.

   Huisken, Gerhard (1990). "Asymptotiskt beteende för singulariteter av medelkurvaturflödet" . Journal of Differential Geometry . 31 (1): 285–299. doi : 10.4310/jdg/1214444099 . MR 1030675 . Zbl 0694.53005 .

EH91.

    Ecker, Klaus; Huisken, Gerhard (1991). "Inredningsuppskattningar för hyperytor som rör sig med medelkurvatur". Inventiones Mathematicae . 105 (3): 547–569. Bibcode : 1991InMat.105..547E . doi : 10.1007/BF01232278 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5CAC-A . MR 1117150 . S2CID 122642136 . Zbl 0707.53008 .

H93.

    Huisken, Gerhard (1993). "Lokalt och globalt beteende hos hyperytor som rör sig genom medelkurvatur". I Greene, Robert ; Yau, ST (red.). Differentialgeometri: Partiella differentialekvationer på grenrör . American Mathematical Society Summer Institute on Differential Geometry (University of California, Los Angeles, 9–27 juli 1990). Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 54. Providence, RI: American Mathematical Society . s. 175–191. doi : 10.1090/pspum/054.1 . ISBN 9780821814949 . MR 1216584 . Zbl 0791.58090 .

HY96.

    Huisken, Gerhard; Yau, Shing-Tung (1996). "Definition av masscentrum för isolerade fysiska system och unika foliationer av stabila sfärer med konstant medelkurvatur". Inventiones Mathematicae . 124 (1–3): 281–311. Bibcode : 1996InMat.124..281H . doi : 10.1007/s002220050054 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5B63-3 . MR 1369419 . S2CID 122669931 . Zbl 0858.53071 .

HP99.

    Huisken, Gerhard; Polden, Alexander (1999). "Geometriska evolutionsekvationer för hyperytor". I Hildebrandt, S.; Struwe, M. (red.). Variationsanalys och geometriska evolutionsproblem . Andra sessionen av Centro Internazionale Matematico Estivo (Cetraro, Italien, 15–22 juni 1996). Föreläsningsanteckningar i matematik . Vol. 1713. Berlin: Springer . s. 45–84. doi : 10.1007/BFb0092667 . ISBN 978-3-540-65977-8 . MR 1731639 . Zbl 0942.35047 .

HS99a.

    Huisken, Gerhard; Sinestrari, Carlo (1999). "Medelkurvaturflödessingulariteter för medelkonvexa ytor". Variationskalkyl och partiella differentialekvationer . 8 (1): 1–14. doi : 10.1007/s005260050113 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5853-1 . MR 1666878 . S2CID 1692710 . Zbl 0992.53052 .

HS99b.

   Huisken, Gerhard; Sinestrari, Carlo (1999). "Konvexitetsuppskattningar för medelkurvaturflöde och singulariteter för medelkonvexa ytor" . Acta Mathematica . 183 (1): 45–70. doi : 10.1007/BF02392946 . MR 1719551 . Zbl 0992.53051 .

HI01.

   Huisken, Gerhard; Ilmanen, Tom (2001). "Det omvända genomsnittliga krökningsflödet och den Riemannska Penrose-ojämlikheten" . Journal of Differential Geometry . 59 (3): 353–437. doi : 10.4310/jdg/1090349447 . MR 1916951 . Zbl 1055.53052 .

externa länkar

• Laudatio för Leibniz-priset
• Huiskens sida vid MPI för gravitationsfysik, Golm Potsdam (engelsk)