Sfärsats

I Riemannsk geometri begränsar sfärsatsen , även känd som den kvartsnypade sfärsatsen, starkt topologin för grenrör som medger metriker med en speciell krökning . Det exakta uttalandet av satsen är som följer. Om M är ett komplett , enkelt anslutet , n -dimensionellt Riemann-grenrör med sektionskrökning som tar värden i intervallet $(1,4]$ så är M homeomorf till n -sfären . exakt, vi menar att tvärsnittskrökningen för varje tangent 2-plan i varje punkt måste ligga i $(1,4]$ .) Ett annat sätt att ange resultatet är att om M inte är homeomorf till sfär, då är det omöjligt att sätta ett metriskt värde på M med kvartsnyp krökning.

Observera att slutsatsen är falsk om sektionskurvaturerna tillåts ta värden i det slutna intervallet $[1,4]$ . Standardmotexemplet är komplext projektivt utrymme med Fubini–Study-metriken ; sektionskurvaturer av detta mått antar värden mellan 1 och 4, med slutpunkter inkluderade. Andra motexempel kan hittas bland de första symmetriska utrymmena .

Teorem för differentierbar sfär

Det ursprungliga beviset för sfärsatsen drog inte slutsatsen att M nödvändigtvis var diffeomorf till n -sfären. Denna komplikation beror på att sfärer i högre dimensioner tillåter jämna strukturer som inte är diffeomorfa. (För mer information, se artikeln om exotiska sfärer. ) Men 2007 använde Simon Brendle och Richard Schoen Ricci-flödet för att bevisa att med ovanstående hypoteser, M nödvändigtvis är diffeomorf till n -sfären med dess vanliga jämna struktur. Dessutom använder beviset för Brendle och Schoen bara det svagare antagandet om punktvis snarare än global nypa. Detta resultat är känt som differentiable sfärsatsen .

Sfärsatsens historia

Heinz Hopf förmodade att ett enkelt sammankopplat grenrör med krökt tvärsnitt är en sfär. ^{[ citat behövs ]} 1951 visade Harry Rauch att ett enkelt sammankopplat grenrör med krökning i [3/4,1] är homeomorft till en sfär. ^{[ citat behövs ]} År 1960 bevisade Marcel Berger och Wilhelm Klingenberg den topologiska versionen av sfärsatsen med den optimala nypningskonstanten. ^{[ citat behövs ]}

Brendle, Simon (2010). Ricci Flow and the Sphere Theorem . Forskarutbildning i matematik. Vol. 111. Providence, RI: American Mathematical Society . doi : 10.1090/gsm/111 . ISBN 0-8218-4938-7 . MR 2583938 .
Brendle, Simon; Schoen, Richard (2009). "Förgreningsrör med 1/4-klämd krökning är rymdformer". Journal of the American Mathematical Society . 22 (1): 287–307. arXiv : 0705.0766 . Bibcode : 2009JAMS...22..287B . doi : 10.1090/s0894-0347-08-00613-9 . MR 2449060 .
Brendle, Simon; Schoen, Richard (2011). "Krökning, sfärsatser och Ricci-flödet". Bulletin från American Mathematical Society . 48 (1): 1–32. arXiv : 1001.2278 . doi : 10.1090/s0273-0979-2010-01312-4 . MR 2738904 .