Genomsnittlig ordning för en aritmetisk funktion

I talteorin är en medelordning för en aritmetisk funktion någon enklare eller bättre förstådd funktion som tar samma värden "i genomsnitt".

Låt $f$ vara en aritmetisk funktion . Vi säger att en genomsnittlig ordning på $f$ är $g$ if

$$\sum _{n\leq x}f(n)\sim \sum _{n\leq x}g(n)$$

som $x$ tenderar till oändlighet.

Det är vanligt att välja en approximationsfunktion $g$ som är kontinuerlig och monoton . Men trots det är en genomsnittlig order såklart inte unik.

I de fall där gränsen

$$\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\summa _{n\leq N}f( n)=c$$

existerar, sägs det att $f$ har ett medelvärde ( medelvärde ) $c$ .

Exempel

• En medelordning på d ( n ) , antalet divisorer för n , är log n ;
• En genomsnittlig ordning på σ ( n ) n π ^2/6 , , summan av divisorer av n är ;
• En medelordning på φ ( n ) , Eulers totientfunktion av n , är 6 n / π ² ;
• En medelordning av r ( n ) , antalet sätt att uttrycka n som summan av två kvadrater, är π ;
• Den genomsnittliga ordningen av representationer av ett naturligt tal som summan av tre kvadrater är 4π n / 3 ;
• Det genomsnittliga antalet nedbrytningar av ett naturligt tal till summan av ett eller flera på varandra följande primtal är n log2 ;
• En medelordning på ω ( n ) , antalet distinkta primtalsfaktorer för n , är loglog n ;
• En medelordning på Ω( n ) , antalet primtalsfaktorer för n , är loglog n ;
• Primtalssatsen är ekvivalent med påståendet att von Mangoldt-funktionen Λ( ) har n medelordning 1;
• Ett medelvärde på μ ( n ) , Möbius -funktionen , är noll; detta motsvarar återigen primtalssatsen .

Beräkna medelvärden med Dirichlet-serien

Om $F$ är av formen

$$F(n)=\summa _{d\mid n}f(d),$$

för någon aritmetisk funktion $f(n)$ har man,

$$\sum _{n\leq x}F(n)=\summa _{d\leq x}f(d)\summa _{n\leq x,d\mid n}1=\summa _{ d\leq x}f(d)[x/d]=x\summa _{d\leq x}{\frac {f(d)}{d}}{\text{ }}+O{\left( \sum _{d\leq x}|f(d)|\right)}.$$

 

 

 

 

()

Generaliseringar av den tidigare identiteten finns här . Denna identitet ger ofta ett praktiskt sätt att beräkna medelvärdet i termer av Riemanns zeta-funktion . Detta illustreras i följande exempel.

Tätheten för de k-te potensen fria heltal i N

För ett heltal ${\displaystyle k\geq 1} är$ uppsättningen $Q_{k}$ av k -te potensfria heltal

$$Q_{k}:=\{n\in \mathbb {Z} \mid n{\text{ är inte delbar med }}d^{k}{\text{ för något heltal }}d\geq 2 \}.$$

Vi beräknar den naturliga tätheten för dessa tal i N , det vill säga medelvärdet av ${\displaystyle 1_{Q_{k}}} ,$ betecknat med $\delta (n)$ , i termer av zeta-funktionen .

Funktionen $\delta$ är multiplikativ, och eftersom den är begränsad av 1 konvergerar dess Dirichlet-serie absolut i halvplanet $\operatorname {Re} (s)>1$ , och där har Euler-produkten

$$\sum _{Q_{k}}n^{-s}=\sum _{n}\delta (n)n^{-s}=\prod _{p}\left(1+p^ {-s}+\cdots +p^{-s(k-1)}\right)=\prod _{p}\left({\frac {1-p^{-sk}}{1-p^ {-s}}}\right)={\frac {\zeta (s)}{\zeta (sk)}}.$$

Genom Möbius-inversionsformeln får vi

$${\frac {1}{\zeta (ks)}}=\summa _{n}\mu (n)n^{ -ks},$$

där $\mu$ står för Möbius-funktionen . På motsvarande sätt,

$${\frac {1}{\zeta (ks)}}=\summa _{n}f(n)n^{-s },$$

där $f(n)={\begin{cases}\mu (d)&n=d^{k}\\0&{\text{ annars}},\end{cases}}$ och därmed,

$${\frac {\zeta (s)}{\zeta (sk)}}=\summa _{n}\left(\summa _{d\mid n}f(d)\right)n^{ -s}.$$

Genom att jämföra koefficienterna får vi

$$\delta (n)=\summa _{d\mid n}f(d)n^{-s}.$$

Genom att använda (1) får vi

$$\sum _{d\leq x}\delta (d)=x\summa _{d\leq x}(f(d)/d)+O(x^{1/k}).$$

Vi drar slutsatsen att,

$$\sum _{\stackrel {n\in Q_{k}}{n\leq x}}1 ={\frac {x}{\zeta (k)}}+O(x^{1/k}),$$

där vi använde relationen för detta

$$\sum _{n}(f( n)/n)=\summa _{n}f(n^{k})n^{-k}=\summa _{n}\mu (n)n^{-k}={\frac {1 }{\zeta (k)}},$$

som följer av Möbius inversionsformel.

Speciellt är tätheten för de kvadratfria heltalen ${\textstyle \zeta (2)^{-1}={\frac {6}{\pi ^{2}} }}$ .

Synlighet av gitterpunkter

Vi säger att två gitterpunkter är synliga från varandra om det inte finns någon gitterpunkt på det öppna linjesegmentet som förenar dem.

Om nu gcd( a , b ) = d > 1 , då skriva a = da ² , b = db ² , observerar man att punkten ( a ² , b ² ) är på linjesegmentet som förenar (0,0) till ( a , b ) och därmed ( a , b ) är inte synliga från ursprunget. Således ( a , b ) är synlig från origo antyder att ( a , b ) = 1. Omvänt är det också lätt att se att gcd( a , b ) = 1 antyder att det inte finns någon annan heltalsgitterpunkt i segmentet sammanfoga (0,0) till ( a , b ). Således är ( a , b ) synlig från (0,0) om och endast om gcd( a , b ) = 1.

Lägg märke till att ${\frac {\varphi (n)}{n}}$ är sannolikheten för en slumpmässig punkt på kvadraten ${\displaystyle \{(r,s)\in \mathbb {N} :\max(|r|,|s|)=n\}} för att vara synlig från origo$ .

Således kan man visa att den naturliga tätheten för punkterna som är synliga från origo ges av medelvärdet,

$$\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n\leq N}{\frac {\varphi (n)}{n}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}.$$

${\textstyle {\frac {1}{\zeta (2)}}}$ är också den naturliga tätheten för de kvadratfria talen i N . I själva verket är detta ingen slump. Betrakta det k -dimensionella gittret, $\mathbb {Z} ^{k}$ . Den naturliga tätheten för punkterna som är synliga från origo är ${\textstyle {\frac {1}{\zeta (k)}}} ,$ vilket också är den naturliga densiteten för de k -:te fria heltalen i N. _

Divisorfunktioner

Betrakta generaliseringen av $d(n)$ :

$$\sigma _{\alpha }(n)=\summa _{d\mid n}d^{\alpha }.$$

Följande är sant:

$$\sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)={\begin{cases}\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }( n)={\frac {\zeta (\alpha +1)}{\alpha +1}}x^{\alpha +1}+O(x^{\beta })&{\text{if }}\ alfa >0,\\\;\;\summa _{n\leq x}\sigma _{-1}(n)=\zeta (2)x+O(\log x)&{\text{if } }\alpha =-1,\\\;\;\summa _{n\leq x}\sigma _{\alpha}(n)=\zeta (-\alpha +1)x+O(x^{\ max(0,1+\alpha )})&{\text{annars.}}\end{case}}$$

där $\beta =\max(1,\alpha )$ .

Bättre genomsnittlig ordning

Denna uppfattning diskuteras bäst genom ett exempel. Från

$$\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\ gamma -1)x+o(x)$$

( $\gamma$ är Euler–Mascheroni-konstanten ) och

$$\sum _{n\leq x}\log n=x\log x-x+O(\log x ),$$

vi har den asymptotiska relationen

$$\sum _{n\leq x}(d(n)-(\ log n+2\gamma ))=o(x)\quad (x\to \infty ),$$

vilket antyder att funktionsloggen $\log n+2\gamma$ är ett bättre val av medelordning för $d(n)$ bara $\log n$ .

Medelvärden över F _q [ x ]

Definition

Låt h ( x ) vara en funktion på mängden moniska polynom över F _q . För $n\geq 1$ definierar vi

$${\text{Ave}}_{n}(h)={\frac {1}{q^{n}}}\summa _{f{\text{ monic}},\deg(f) =n}h(f).$$

Detta är medelvärdet (genomsnittsvärdet) av h på uppsättningen av moniska polynom av grad n . Vi säger att g ( n ) är en medelordning av h if

$${\text{Ave}}_{n}(h)\sim g(n)$$

som n tenderar till oändligheten.

I de fall där gränsen,

$$\lim _{n\to \infty }{\text{Ave}}_{n}(h)=c$$

finns, sägs det att h har ett medelvärde ( medelvärde ) c .

Zeta-funktion och Dirichlet-serien i F _q [X]

Låt F _q [ X ] = A vara ringen av polynom över det finita fältet F _q .

Låt h vara en aritmetisk polynomfunktion (dvs. en funktion på mängden moniska polynom över A ). Dess motsvarande Dirichlet-serie definierar vara

$$D_{h}(s)=\summa _{f{\text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},$$

där för $g\in A$ , sätt $|g|=q^{\deg(g)}$ om $g\neq 0$ , och $|g|=0$ annars.

Polynomets zeta-funktion är då

$$\zeta _{A}(s)=\summa _{f{\text{ monic}}}|f|^{-s}.$$

I likhet med situationen i N har varje Dirichlet-serie med en multiplikativ funktion h en produktrepresentation (Euler-produkt):

$$D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{ n=0}^{\infty }h(P^{n})\left|P\right|^{-sn}\right),$$

där produkten löper över alla moniska irreducerbara polynom P .

Till exempel är produktrepresentationen av zetafunktionen som för heltalen: ${\textstil \zeta _{A}(s)=\prod _{P}\left(1-\left|P\right|^{-s}\right)^{-1}}$ .

Till skillnad från den klassiska zetafunktionen är $\zeta _{A}(s)$ en enkel rationell funktion:

$$\zeta _{A}(s)=\summa _{f}(|f|^{-s})=\summa _{n}\summa _{\deg(f)=n}q^ {-sn}=\summa _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.$$

På liknande sätt, om f och g är två aritmetiska polynomfunktioner, definierar man f * g , Dirichlet -faltningen av f och g , med

$${\begin{aligned}(f*g) (m)&=\summa _{d\mid m}f(m)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\summa _{ab=m}f(a )g(b)\end{aligned}}$$

där summan sträcker sig över alla moniska divisorer d av m , eller ekvivalent över alla par ( a , b ) av moniska polynom vars produkt är m . Identiteten $D_{h}D_{g}=D_{h*g}$ gäller fortfarande. Sålunda, liksom i elementärteorin, har polynomet Dirichlet-serien och zetafunktionen ett samband med begreppet medelvärden i polynomsammanhang. Följande exempel illustrerar det.

Exempel

Densiteten för de k -te potensen fria polynomen i F _q [X]

Definiera $\delta (f)$ till 1 om $f$ är k -:te potensen fri och 0 annars.

Vi beräknar medelvärdet för $\delta$ , som är densiteten för de k -:te potensen fria polynomen i F _q [X] , på samma sätt som i heltalen.

Genom multiplikativitet av $\delta$ :

$$\sum _{f}{ \frac {\delta (f)}{|f|^{s}}}=\prod _{P}\left(\summa _{j=0}^{k-1}(|P|^{- js})\right)=\prod _{P}{\frac {1-|P|^{-sk}}{1-|P|^{-s}}}={\frac {\zeta _{ A}(s)}{\zeta _{A}(sk)}}={\frac {1-q^{1-ks}}{1-q^{1-s}}}={\frac { \zeta _{A}(s)}{\zeta _{A}(ks)}}$$

Beteckna $b_{n}$ antalet k -:te potens moniska polynom av grad n , vi får

$$\sum _{f}{\frac {\delta (f)}{|f|^{s}}}=\summa _{n}\summa _{{\text{def}}f=n }\delta (f)|f|^{-s}=\summa _{n}b_{n}q^{-sn}.$$

Genom att göra substitutionen $u=q^{-s}$ får vi:

$${\frac {1-qu^{k}}{1-qu}}=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}u^{n}.$$

Expandera slutligen den vänstra sidan i en geometrisk serie och jämför koefficienterna på $u^{n}$ på båda sidor för att dra slutsatsen att

$$b_{n}={\begin{cases}q^{n}&n\leq k-1\\q ^{n}(1-q^{1-k})&{\text{annars}}\end{case}}$$

Därav,

$${\text{Ave}}_{n}(\delta )=1-q^{1-k}={\ frac {1}{\zeta _{A}(k)}}$$

Och eftersom det inte beror på n är detta också medelvärdet för $\delta (f)$ .

Polynomdelarfunktioner

I F _q [X] definierar vi

$$\sigma _{k}(m)=\summa _{f|m,{\text{ monic}}}|f|^{k}.$$

Vi kommer att beräkna ${\text{Ave}}_{n}(\sigma _{k})$ för $k\geq 1$ .

Lägg först märke till det

$$\sigma _{k}(m)=h*\mathbb {I} (m)$$

där $h(f)=|f|^{k}$ och $\mathbb {I} (f)=1\;\;\forall {f}$ .

Därför,

$$\sum _{m}\sigma _{k}(m)|m|^{-s}=\zeta _{A}(s)\summa _{m}h(m)|m|^ {-s}.$$

Ersätt $q^{-s}=u$ får vi,

$${\text{LHS}}=\summa _{n}\left(\summa _{\deg(m )=n}\sigma _{k}(m)\right)u^{n},$$

och av Cauchy-produkt får vi,

$${\begin{aligned}{\text{RHS}}&=\summa _{n}q^{n(1-s)}\summa _{n}\left(\summa _{\deg( m)=n}h(m)\right)u^{n}\\&=\summa _{n}q^{n}u^{n}\summa _{l}q^{l}q^ {lk}u^{l}\\&=\summa _{n}\left(\summa _{j=0}^{n}q^{nj}q^{jk+j}\right)\\ &=\summa _{n}\left(q^{n}\left({\frac {1-q^{k(n+1)}}{1-q^{k}}}\right)\ höger)u^{n}.\end{aligned}}$$

Äntligen får vi det,

$${\text{Ave}}_{n}\sigma _{k}={\frac {1-q^{k(n+1)}}{1-q^{k}}}.$$

Lägg märke till att

$$q^{n}{\text{Ave}}_{n}\sigma _{k}=q^{n(k+1)}\left({\frac {1 -q^{-k(n+1)}}{1-q^{-k}}}\höger)=q^{n(k+1)}\left({\frac {\zeta (k+) 1)}{\zeta (kn+k+1)}}\right)$$

Således, om vi sätter $x=q^{n}$ så är resultatet ovan

$$\sum _{\deg(m) =n,m{\text{ monic}}}\sigma _{k}(m)=x^{k+1}\left({\frac {\zeta (k+1)}{\zeta (kn+ k+1)}}\right)$$

som liknar det analoga resultatet för heltal:

$$\sum _{n\leq x}\sigma _{k}(n) ={\frac {\zeta (k+1)}{k+1}}x^{k+1}+O(x^{k})$$

Antal delare

Låt $d(f)$ vara antalet moniska divisorer av f och låt $D(n)$ vara summan av $d(f)$ över alla monics av ​​grad n.

$$\zeta _{A}(s)^{2}=\left(\summa _{h}|h|^{ -s}\right)\left(\summa _{g}|g|^{-s}\right)=\summa _{f}\left(\summa _{hg=f}1\höger)|f |^{-s}=\summa _{f}d(f)|f|^{-s}=D_{d}(s)=\summa _{n=0}^{\infty }D(n )u^{n}$$

där $u=q^{-s}$ .

Vi utökar den högra sidan till kraftserier,

$$D(n)=(n+1)q^{n}.$$

Ersätt $x=q^{n}$ ovanstående ekvation blir:

$$D(n)=x\log _{q}(x)+x$$

som liknar det analoga resultatet för heltal ${\textstyle \sum _{k=1}^{n} d(k)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})} ,$ där $\gamma$ är Eulerkonstanten .

Inte mycket är känt om feltermen för heltalen, medan det i polynomfallet inte finns någon felterm! Detta beror på den mycket enkla karaktären hos zetafunktionen ${\displaystyle \zeta _{A}(s)} ,$ ​​och att den har INGA nollor.

Polynom von Mangoldt funktion

Polynomet von Mangoldt-funktionen definieras av:

$$\Lambda _{A}(f)={\begin{cases}\log |P|&{\text{if }}f=|P|^{k}{\text{ för någon prime monic} }P{\text{ och heltal }}k\geq 1,\\0&{\text{annars.}}\end{case}}$$

där logaritmen tas på basis av q .

Förslag. Medelvärdet för $\Lambda _{A}$ är exakt 1 .

Bevis. Låt m vara ett moniskt polynom och låt ${\textstyle m=\prod _{i=1}^{l}P_{i}^{e_{i}}}$ vara den primära nedbrytningen av m .

Vi har,

$${\begin{aligned}\sum _{f|m}\Lambda _{A}(f)&=\summa _{(i_{1},\ldots ,i_{l })|0\leq i_{j}\leq e_{j}}\Lambda _{A}\left(\prod _{j=1}^{l}P_{j}^{i_{j}}\ höger)=\summa _{j=1}^{l}\summa _{i=1}^{e_{i}}\Lambda _{A}(P_{j}^{i})\\&= \sum _{j=1}^{l}\summa _{i=1}^{e_{i}}\log |P_{j}|\\&=\summa _{j=1}^{l }e_{j}\log |P_{j}|=\summa _{j=1}^{l}\log |P_{j}|^{e_{j}}\\&=\log \left| \left(\prod _{i=1}^{l}P_{i}^{e_{i}}\right)\right|\\&=\log(m)\end{aligned}}$$

Därav,

$$\mathbb {I} \cdot \Lambda _{A}(m)=\log |m|$$

och det får vi,

$$\zeta _{A}(s)D_{\Lambda _{A}}(s)=\summa _{m}\log \left|m\right|\left|m\right|^{- s}.$$

Nu,

$$\sum _{m}|m|^{s}=\summa _{n}\summa _{\deg m=n}u^{n}=\summa _{n}q^{n} u^{n}=\summa _{n}q^{n(1-s)}.$$

Således,

$${\frac {d}{ds}}\sum _{m}|m|^{s}=-\summa _{n}\log(q^{n})q^{n(1- s)}=-\summa _{n}\summa _{\deg(f)=n}\log(q^{n})q^{-ns}=-\summa _{f}\log \left |f\right|\left|f\right|^{-s}.$$

Vi fick det:

$$D_{\Lambda _{A}}(s)={\frac {-\zeta '_{A}(s) }{\zeta _{A}(s)}}$$

Nu,

$${\begin{aligned}\summa _ {m}\Lambda _{A}(m)|m|^{-s}&=\summa _{n}\left(\summa _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}( m)q^{-sm}\right)=\summa _{n}\left(\summa _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)\right)u^{n} \\&={\frac {-\zeta '_{A}(s)}{\zeta _{A}(s)}}={\frac {q^{1-s}\log(q)} {1-q^{1-s}}}\\&=\log(q)\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}u^{n}\end{aligned}}$$

Därav,

$$\sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)=q^{ n}\log(q),$$

och genom att dividera med $q^{n}$ får vi det,

$${\text{Ave}}_{n}\Lambda _{A}(m)=\log(q)=1.$$

Polynom Euler totientfunktion

Definiera Euler totientfunktion polynomanalog, $\Phi$ , som antalet element i gruppen $(A/fA)^{*}$ . Vi har,

$$\sum _{\deg f=n,f{\text{ monic}}}\Phi (f)=q^{2n}(1-q^{-1}).$$

Se även

• Delningssammanfattningsfunktion
• Normal ordning för en aritmetisk funktion
• Extrema ordningsföljder av en aritmetisk funktion
• Delningssummaidentiteter

•     Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. En introduktion till talteorin . Reviderad av DR Heath-Brown och JH Silverman . Förord ​​av Andrew Wiles . (6:e upplagan). Oxford: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-921986-5 . MR 2445243 . Zbl 1159.11001 . s. 347–360
•    Gérald Tenenbaum (1995). Introduktion till analytisk och probabilistisk talteori . Cambridge studier i avancerad matematik. Vol. 46. ​​Cambridge University Press . s. 36–55. ISBN 0-521-41261-7 . Zbl 0831.11001 .
•   Tom M. Apostol (1976), Introduktion till analytisk talteori , Springer grundutbildningstexter i matematik , ISBN 0-387-90163-9
•   Michael Rosen (2000), Number Theory in Function Fields , Springer Graduate Texts In Mathematics, ISBN 0-387-95335-3
•   Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2006), Multiplicative Number Theory , Cambridge University Press, ISBN 978-0521849036
• Michael Baakea; Robert V. Moodyb; Peter AB Pleasantsc (2000), Diffraktion från synliga gitterpunkter och kth potens fria heltal , Diskret matematik- Journal