Generaliseringar av Fibonacci-tal

I matematik bildar Fibonacci -talen en sekvens som definieras rekursivt av:

$F_{n}={\begin{cases}0&n=0\\1&n=1\\F_{n- 1}+F_{n-2}&n>1\end{cases}}$

Det vill säga, efter två startvärden är varje tal summan av de två föregående talen.

Fibonacci-sekvensen har studerats omfattande och generaliserats på många sätt, till exempel genom att börja med andra tal än 0 och 1, genom att lägga till fler än två tal för att generera nästa tal, eller genom att lägga till andra objekt än tal.

Utökning till negativa heltal

Med $F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1}$ kan man utöka Fibonacci-talen till negativa heltal . Så vi får:

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

och $F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}$ .

Se även Negafibonacci-kodning .

Utvidgning till alla reella eller komplexa tal

Det finns ett antal möjliga generaliseringar av Fibonacci-talen som inkluderar de reella talen (och ibland de komplexa talen ) i deras domän. Dessa involverar var och en av det gyllene snittet φ , och är baserade på Binets formel

$F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.$

Den analytiska funktionen

$\operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5} }}$

har egenskapen att $\operatorname {Fe} (n)=F_{n}$ för jämna heltal $n$ . På liknande sätt, den analytiska funktionen:

$\operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5} }}$

uppfyller $\operatorname {Fo} (n)=F_{n}$ för udda heltal $n$ .

Slutligen, att sätta ihop dessa, den analytiska funktionen

$\operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi )\ varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}$

uppfyller $\operatorname {Fib} (n)=F_{n}$ för alla heltal $n$ .

Eftersom $\operatörsnamn {Fib} (z+2)=\operatörsnamn {Fib} (z+1)+\operatörsnamn { Fib} (z)$ för alla komplexa tal $z$ , den här funktionen ger också en förlängning av Fibonacci-sekvensen till hela det komplexa planet. Därför kan vi beräkna den generaliserade Fibonacci-funktionen för en komplex variabel, till exempel,

$\operatorname {Fib} (3+4i)\approx -5248.5-14195.9i$

Vektor utrymme

Termen Fibonacci-sekvens tillämpas också mer allmänt på alla funktioner $g$ från heltal till ett fält för vilket $g(n) +2)=g(n)+g(n+1)$ . Dessa funktioner är exakt de av formen $g(n)=F(n)g(1)+F( n-1)g(0)$ , så att Fibonacci-sekvenserna bildar ett vektorrum med funktionerna $F(n)$ och $F(n-1)$ som grund .

Mer generellt kan intervallet för $g$ anses vara vilken abelsk grupp som helst (betraktad som en Z - modul ). Sedan bildar Fibonacci-sekvenserna en 2-dimensionell Z -modul på samma sätt.

Liknande heltalssekvenser

Fibonacci heltalssekvenser

Den 2-dimensionella $\mathbb {Z}$ -modulen av Fibonacci heltalssekvenser består av alla heltalssekvenser som uppfyller $g(n +2)=g(n)+g(n+1)$ . Uttryckt i termer av två initiala värden har vi:

$g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)=g(1){\frac {\varphi ^{n}-( -\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}+g(0){\frac {\varphi ^{n-1}-(-\varphi )^{1-n}}{\ sqrt {5}}},$

där $\varphi$ är det gyllene snittet.

Förhållandet mellan två på varandra följande element konvergerar till det gyllene snittet, förutom i fallet med sekvensen som konstant är noll och sekvenserna där förhållandet mellan de två första termerna är ( − φ ) − $\varphi )^ {-1}}$ .

Sekvensen kan skrivas i formen

$a\varphi ^{n}+b(-\varphi )^{-n},$

där $a=0$ om och endast om $b=0$ . I den här formen har det enklaste icke-triviala exemplet $a=b=1$ , vilket är sekvensen av Lucas-tal :

$L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}.$

Vi har $L_{1}=1$ och $L_{2}=3$ . I fastigheterna ingår:

${\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{\!n}={\ frac {L(n)+F(n){\sqrt {5}}}{2}},\\L(n)&=F(n-1)+F(n+1).\end{aligned }}$

Varje icke-trivial Fibonacci-heltalssekvens visas (möjligen efter en förskjutning med ett ändligt antal positioner) som en av raderna i Wythoff-matrisen . Själva Fibonacci-sekvensen är den första raden, och en förskjutning av Lucas-sekvensen är den andra raden.

Se även Fibonacci heltalssekvenser modulo n .

Lucas sekvenser

En annan generalisering av Fibonacci-sekvensen är Lucas-sekvenserna av det slag som definieras enligt följande:

${\displaystyle {\begin{aligned}U(0)&=0\\$

där den normala Fibonacci-sekvensen är specialfallet av $P=1$ och $Q=-1$ . En annan typ av Lucas-sekvens börjar med $V(0)=2$ , $V(1)=P$ . Sådana sekvenser har tillämpningar i talteori och primalitetsbevisande .

När $Q=-1$ kallas denna sekvens för P -Fibonacci-sekvens , till exempel kallas Pell-sekvensen även 2-Fibonacci-sekvens .

3 -Fibonacci-sekvensen är

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 16835052, 697243, 16835602, 69835602, 69835601 529080, ... (sekvens A006190 i OEIS )

4 -Fibonacci-sekvensen är

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 1339571748, 380se, 38,45 ence A001076 i OEIS )

5 -Fibonacci-sekvensen är

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 88968, 88968 ... 52918 i OEIS )

6 -Fibonacci-sekvensen är

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764. i OEIS )

n { -Fibonacci-konstanten är förhållandet mot vilket angränsande $\displaystyle n}$ -Fibonacci-tal tenderar; det kallas också det n : te metalliska medelvärdet och det är den enda positiva roten av $x^{2}-nx-1=0$ . Till exempel är fallet med $n=1$${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} ,$ eller det gyllene snittet , och fallet med $n=2$ är $1+{\sqrt {2}}$ , eller silverförhållandet . I allmänhet är fallet för $n$${\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$ .

I allmänhet kan $U(n)$ anropas ( P ,− Q ) -Fibonacci-sekvens och V ( n ) kan anropas ( P ,− Q ) -Lucas-sekvens .

(1,2)-Fibonacci- sekvensen är

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 3,947, 51479 01, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, ... (sekvens A001045 i OEIS )

(1,3)-Fibonacci- sekvensen är

1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316. 32, 25856071, 59541067, ... ( sekvens A006130 i OEIS )

(2,2)-Fibonacci- sekvensen är

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 27811984, 07811984, 075, 0, 57, 49, 59 2, ... (sekvens A002605 i OEIS )

(3,3)-Fibonacci- sekvensen är

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 7,548 509, 7,5049379 1, 5715470808, ... (sekvens A030195 i OEIS )

Fibonacci-tal av högre ordning

En Fibonacci-sekvens av ordningen n är en heltalssekvens där varje sekvenselement är summan av de föregående $n$ elementen (med undantag för de första $n$ elementen i sekvensen). De vanliga Fibonacci-talen är en Fibonacci-sekvens av ordning 2. Fallen $n=3$ och $n=4$ har undersökts noggrant. Antalet sammansättningar av icke-negativa heltal till delar som är högst $n$ är en Fibonacci-sekvens av ordningen $n$ . Sekvensen av antalet strängar av 0:or och 1:or av längden $m$ som innehåller högst $n$ på varandra följande 0:or är också en Fibonacci-sekvens av ordningen $n$ .

Dessa sekvenser, deras begränsande förhållanden och gränsen för dessa begränsande förhållanden, undersöktes av Mark Barr 1913.

Tribonacci-siffror

Tribonaccitalen är som Fibonaccitalen , men istället för att börja med två förutbestämda termer börjar sekvensen med tre förutbestämda termer och varje term efteråt är summan av de tre föregående termerna. De första tribonacci-talen är:

00 . 3 i OEIS ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Serien beskrevs först formellt av Agronomof 1914, men dess första oavsiktliga användning är i arternas ursprung av Charles R. Darwin . I exemplet med att illustrera tillväxten av elefantbeståndet förlitade han sig på beräkningarna som gjordes av hans son, George H. Darwin . Termen tribonacci föreslogs av Feinberg 1963.

Tribonacci -konstanten

${\q {display [{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac { 1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left(2+{\frac {3}{8}}\right)\right)}{3} }\approx 1.839286755214161,}$ (sekvens A058265 i OEIS )

är förhållandet mot vilket intilliggande tribonaccital tenderar. Det är en rot av polynomet ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1=0} ,$ och uppfyller även ekvationen $x+x^{-3}=2$ . Det är viktigt i studiet av snubbkuben .

En geometrisk konstruktion av Tribonacci-konstanten (AC), med kompass och markerad linjal, enligt den metod som beskrivs av Xerardo Neira.

Den reciproka av tribonacci-konstanten , uttryckt av relationen $\xi ^{3}+\xi ^{2}+\xi =1$ , kan skrivas som:

$\xi ={\frac {{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33 }}}}-1}{3}}={\frac {3}{1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3} ]{19-3{\sqrt {33}}}}}}\approx 0,543689012.$ (sekvens A192918 i OEIS )

Tribonacci-talen ges också av

$T(n)=\left\lfloor 3b\,{\frac {\ vänster({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right)^{n}}{b^{2}-2b+4}}\ höger\rceil$

där $\lfloor \cdot \rceil$ anger närmaste heltalsfunktion och

${\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33}}}}\,,\\b&={\sqrt[{ 3}]{586+102{\sqrt {33}}}}\,.\end{aligned}}$

Tetranacci-nummer

Tetranaccitalen börjar med fyra förutbestämda termer, där varje term efteråt är summan av de föregående fyra termerna. De första tetranacci-talen är:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56 , 108 , 208 , 401 , 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39428, 39648, 39428, 3969, 39648 547337, … (sekvens A000078 i OEIS )

Tetranacci- konstanten är förhållandet mot vilket angränsande tetranacci-tal tenderar. Det är en rot av polynomet ${\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0} ,$ ungefär 1,927561975482925 (sekvens A086088 i OEIS ), och uppfyller även ekvationen $x+x^{-4}=2$ .

Tetranacci-konstanten kan uttryckas i termer av radikaler med följande uttryck:

$x={\frac {1}{4}}\!\left(1+{\sqrt {u}}+{\sqrt { 11-u+{\frac {26}{\sqrt {u}}}}}\,\right)$

var,

$u={\frac {11}{12}}-{\frac {1}{3}}\left({\frac {65+3{\sqrt {1689}}}{2}}\right)^{1/3}+{\frac {1}{3}}\ vänster({\frac {-65+3{\sqrt {1689}}}{2}}\right)^{1/3}$

och $u$ är den reella roten av kubikekvationen $u^{3}-11u^{2}+115u-13^{2}.$

Högre order

Pentanacci-, hexanacci-, heptanacci-, octanacci- och enneanacci-tal har beräknats. Pentanacci-talen är:

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, … ( sekvens A001591 )

Hexanacci-tal:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, … ( sekvens A0015IS )

Heptanacci-tal:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, … (2189 i sekvensen A1 ) OEIS )

Octanacci-tal:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... ( sekvens A079262 i OEIS )

Enneanacci-nummer:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272,. . (sekvens A104144 i OEIS )

Gränsen för förhållandet mellan på varandra följande termer i en $n$ -nacci-serie tenderar till en rot av ekvationen $x+x^{-n}=2$ ( OEIS : A103814 , OEIS : A118427 , OEIS : A118428 ).

En alternativ rekursiv formel för gränsen för förhållandet $r$ av två på varandra följande $n$ -nacci-tal kan uttryckas som

$r=\sum _{k=0}^{n-1}r^{-k}$ .

Specialfallet $n=2$ är den traditionella Fibonacci-serien som ger det gyllene snittet $\varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}$ .

Ovanstående formler för förhållandet gäller även för $n$ -nacci-serier genererade från godtyckliga tal. Gränsen för detta förhållande är 2 när $n$ ökar. En "infinacci"-sekvens, om en kunde beskrivas, skulle efter ett oändligt antal nollor ge sekvensen

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

som helt enkelt är två makter .

Gränsen för förhållandet för alla $n>0$ är den positiva roten $r$ av den karakteristiska ekvationen

$x^{n}-\summa _{i=0}^{n-1}x^{i}=0.$

Roten $r$ ligger i intervallet $2(1-2^{-n})<r<2$ . Den negativa roten av den karakteristiska ekvationen ligger i intervallet (−1, 0) när $n$ är jämnt. Denna rot och varje komplex rot i den karakteristiska ekvationen har modul $3^{-n}<|r|<1$ .

En serie för den positiva roten $r$ för alla $n>0$ är

$2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(n+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{ 2^{(n+1)i}}}.$

Det finns ingen lösning av den karakteristiska ekvationen i termer av radikaler när 5 ≤ n ≤ 11 .

Det k :te elementet i n -nacci-sekvensen ges av

$F_{k}^{(n)}=\left\lfloor {\frac {r ^{k-1}(r-1)}{(n+1)r-2n}}\right\rceil \!,$

där $\lfloor \cdot \rceil$ betecknar närmaste heltalsfunktion och $r$ är $n$ -nacci-konstanten, som är roten av $x+x^{-n}=2$ närmast 2.

Ett myntkastningsproblem är relaterat till $n$ -nacci-sekvensen. Sannolikheten att inga $n$ på varandra följande svansar kommer att inträffa i $m$ kast av ett idealiserat mynt är ${\frac {1}{2^{ m}}}F_{m+2}^{(n)}$ .

Fibonacci-ord

Huvudartikel: Fibonacci-ord

I analogi med dess numeriska motsvarighet definieras Fibonacci-ordet av:

$F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&n=0;\ \{\text{a}}&n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&n>1.\\\end{fall}}$

där $+$ anger sammanlänkningen av två strängar. Sekvensen av Fibonacci-strängar börjar:

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, … (sekvens A106750 i OEIS )

Längden på varje Fibonacci-sträng är ett Fibonacci-nummer, och på samma sätt finns det en motsvarande Fibonacci-sträng för varje Fibonacci-nummer.

Fibonacci-strängar visas som indata för det värsta fallet i vissa datoralgoritmer .

Om "a" och "b" representerar två olika material eller atombindningslängder, är strukturen som motsvarar en Fibonacci-sträng en Fibonacci-kvasikristall , en aperiodisk kvasikristallstruktur med ovanliga spektrala egenskaper.

Konvolverade Fibonacci-sekvenser

En konvolverad Fibonacci-sekvens erhålls genom att tillämpa en faltningsoperation på Fibonacci-sekvensen en eller flera gånger. Specifikt, definiera

$F_{n}^{(0)}=F_{n}$

och

$F_{n}^{(r+1)}=\summa _{i=0}^{n}F_ {i}F_{ni}^{(r)}$

De första sekvenserna är

$r=1$ : 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, … (sekvens A001629 i OEIS ).

$r=2$ : 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, … (sekvens A001628 i OEIS ).

$r=3$ : 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, … (sekvens A001872 i OEIS ).

Sekvenserna kan beräknas med hjälp av upprepningen

$F_{n+1}^{(r+1)} =F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n}^{(r)}$

Genereringsfunktionen för den ${\displaystyle r}:$ e faltningen är

$s^{(r)}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{n}^{(r)}x^{n}=\left({\frac { x}{1-xx^{2}}}\höger)^{r}.$

Sekvenserna är relaterade till sekvensen av Fibonacci-polynom genom relationen

$F_{n}^{(r)}=r!F_{n}^{(r)}(1)$

där $F_{n}^{(r)}(x)$ är ${\displaystyle r}:$ e derivatan av $F_{n}( x)$ . På motsvarande sätt är $F_{n}^{(r)}$ koefficienten för $(x-1)^{r}$ när $F_{x}(x)$ expanderas i potenserna $(x-1)$ .

Den första faltningen, $F_{n}^{(1)}$ kan skrivas i termer av Fibonacci- och Lucas-talen som

$F_{n}^{(1)}={\frac {nL_{n}-F_{n}}{5}}$

och följer upprepningen

$F_{n+1}^{(1)}=2F_{n}^{(1)}+F_{n-1}^{(1)}-2F_{n-2}^{(1 )}-F_{n-3}^{(1)}.$

Liknande uttryck kan hittas för $r>1$ med ökande komplexitet när $r$ ökar. Siffrorna $F_{n}^{(1)}$ är radsummorna för Hosoyas triangel .

Precis som med Fibonacci-tal finns det flera kombinatoriska tolkningar av dessa sekvenser. Till exempel $F_{n}^{(1)}$ antalet sätt $n-2$ kan skrivas som en ordnad summa som endast involverar 0, 1 och 2 med 0 används exakt en gång. Speciellt $F_{4}^{(1)}=5$ och 2 kan skrivas 0 + 1 + 1 , 0 + 2 , 1 + 0 + 1 , 1 + 1 + 0 , 2 + 0 .

Andra generaliseringar

Fibonacci-polynomen är en annan generalisering av Fibonacci-tal.

Padovan -sekvensen genereras av återkommande $P(n)=P(n-2)+P(n-3)$ .

Narayanas kors sekvens genereras av återkommande $N(k)=N(k-1)+N(k-3)$ .

En slumpmässig Fibonacci-sekvens kan definieras genom att kasta ett mynt för varje position $n$ i sekvensen och ta $F(n) =F(n-1)+F(n-2)$ om det landar huvuden och $F(n)=F(n- 1)-F(n-2)$ om det landar svansar. Verk av Furstenberg och Kesten garanterar att denna sekvens nästan säkert växer exponentiellt med konstant hastighet: konstanten är oberoende av myntkastningen och beräknades 1999 av Divakar Viswanath. Det är nu känt som Viswanaths konstant .

Ett repfigit , eller Keith-nummer , är ett heltal så att, när dess siffror startar en Fibonacci-sekvens med det antalet siffror, det ursprungliga numret så småningom nås. Ett exempel är 47, eftersom Fibonacci-sekvensen som börjar med 4 och 7 (4, 7, 11, 18, 29, 47) når 47. En repfigit kan vara en tribonacci-sekvens om det finns 3 siffror i numret, ett tetranacci-nummer om numret har fyra siffror osv. De första repfigurerna är:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, … ( sekvens A00IS )

Eftersom uppsättningen sekvenser som uppfyller relationen $är {\displaystyle S(n)=S(n-1)+S(n-2)}$ stängd under termisk addition och under termvis multiplikation med en konstant kan den ses som ett vektorrum . Varje sådan sekvens bestäms unikt av ett val av två element, så vektorutrymmet är tvådimensionellt . Om vi ​​förkortar en sådan sekvens som $(S(0),S(1))$ , kommer Fibonacci-sekvensen $F( n)=(0,1)$ och den förskjutna Fibonacci-sekvensen $F(n-1)=(1,0)$ ses utgöra en kanonisk grund för detta utrymme, vilket ger identiteten:

$S(n)=S(0)F(n-1)+S(1)F(n)$

för alla sådana sekvenser S . Till exempel, om S är Lucas-sekvensen 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... så får vi

$L(n)=2F(n-1)+F(n)$ .

N -genererad Fibonacci-sekvens

Vi kan definiera den N -genererade Fibonacci-sekvensen (där N är ett positivt rationellt tal ): if

$N=2^{a_{1}}\cdot 3^ {a_{2}}\cdot 5^{a_{3}}\cdot 7^{a_{4}}\cdot 11^{a_{5}}\cdot 13^{a_{6}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{a_{r}},$

där p _r är det r: te primtal, då definierar vi

$F_{N}(n)=a_{1}F_{N}(n-1)+a_{2}F_{N}(n-2)+a_{3}F_{N}(n- 3)+a_{4}F_{N}(n-4)+a_{5}F_{N}(n-5)+...$

Om $n=r-1$ , då $F_{N}(n)=1$ , och om $n< r-1$ , sedan $F_{N}(n)=0$ .

Sekvens	N	OEIS- sekvens
Fibonacci-sekvens	6	A000045
Pell-sekvens	12	A000129
Jacobsthal sekvens	18	A001045
Tribonacci-sekvens	30	A000073
Tetranacci-sekvens	210	A000288
Padovan sekvens	15	A000931
Narayanas korsekvens	10	A000930

Semi-Fibonacci-sekvens

Semi -Fibonacci-sekvensen (sekvens A030067 i OEIS ) definieras via samma rekursion för udda-indexerade termer $a(2n) +1)=a(2n)+a(2n-1)$ och $a(1)=1$ , men för jämna index ${\ displaystyle a(2n)=a(n)}$ , $n\geq 1$ . Bissektionen A030068 av udda-indexerade termer $s(n)=a(2n-1)$ verifierar därför $s(n+1)=s(n)+a(n)$ och ökar strikt . Det ger uppsättningen av semi-Fibonacci-talen

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, ... ( sekvens A030068 i OEIS )

$s(n)=a(2^{k}(2n-1)),k=0,1,...\,.$ som

externa länkar

• "Tribonacci nummer" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]