Wythoff array

Inom matematiken är Wythoff-matrisen en oändlig matris av heltal härledd från Fibonacci-sekvensen och uppkallad efter den holländska matematikern Willem Abraham Wythoff . Varje positivt heltal förekommer exakt en gång i matrisen, och varje heltalssekvens som definieras av Fibonacci-upprepningen kan härledas genom att flytta en rad i matrisen.

Wythoff-arrayen definierades först av Morrison (1980) med Wythoff-par, koordinaterna för vinnande positioner i Wythoffs spel . Det kan också definieras med hjälp av Fibonacci-tal och Zeckendorfs teorem , eller direkt från det gyllene snittet och återfallsrelationen som definierar Fibonacci-talen.

Värderingar

Wythoff-arrayen har värdena

$\67&291&1s &26&42&68&110&\cdots \\9&15&24&39&63&102&165&\cdots \\12&20&32&52&84&136&220&\cdots \\14&23&37&60&97&1\\\14&23&37&60&97&1\ cdots \\17&28&45&73&118&191&309&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{matris A}}} (55IS1 sekvens$ 3 i 3 ) .

Motsvarande definitioner

Inspirerad av en liknande Stolarsky-array som tidigare definierats av Stolarsky (1977) , definierade Morrison (1980) Wythoff-arrayen enligt följande. Låt $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ beteckna det gyllene snittet ; då ${\displaystyle i}:$ e vinnande positionen i Wythoffs spel ges av paret positiva heltal $(\lfloor i\varphi \rfloor ,\lfloor i\ varphi ^{2}\rfloor )$ , där siffrorna på vänster och höger sida av paret definierar två komplementära Beatty-sekvenser som tillsammans inkluderar varje positivt heltal exakt en gång. Morrison definierar de två första talen i rad $m$ i arrayen att vara Wythoff-paret som ges av ekvationen $i=\lfloor m\varphi \rfloor$ , och där de återstående siffror i varje rad bestäms av Fibonacci-repetitionsrelationen. Det vill säga, om $A_{m,n}$ anger posten i rad $m$ och kolumn $n$ i arrayen, då

$A_{m,1}=\left\lfloor \lfloor m\varphi \rfloor \varphi \right\rfloor$ ,

${\displaystyle A_{m,2}=\left\lfloor \lfloor m\varphi \rfloor \varphi ^{2}\right\rfloor } ,$ och

$A_{m,n}=A_{m,n-2}+A_{m,n-1}$ för $n>2$ .

Zeckendorf-representationen av ett positivt heltal är en representation som en summa av distinkta Fibonacci-tal, av vilka inte två är på varandra följande i Fibonacci-sekvensen. Som Kimberling (1995) beskriver har siffrorna inom varje rad i matrisen Zeckendorf-representation som skiljer sig genom en skiftoperation från varandra, och talen inom varje kolumn har Zeckendorf-representationer som alla använder samma minsta Fibonacci-tal. Speciellt är posten $\displaystyle A_{m,n}}$$) {\displaystyle (n+1) )}:$ i arrayen det ${\displaystyle m}:$ e minsta talet vars Zeckendorf-representation börjar med e Fibonacci-numret.

Egenskaper

Varje Wythoff-par förekommer exakt en gång i Wythoff-matrisen, som ett på varandra följande talpar i samma rad, med ett udda index för det första talet och ett jämnt index för det andra. Eftersom varje positivt heltal förekommer i exakt ett Wythoff-par, förekommer varje positivt heltal exakt en gång i matrisen ( Morrison 1980) .

Varje sekvens av positiva heltal som uppfyller Fibonacci-upprepningen inträffar, förskjuten med högst ändligt många positioner, i Wythoff-arrayen. I synnerhet är Fibonacci-sekvensen i sig den första raden, och sekvensen av Lucas-nummer visas i förskjuten form i den andra raden ( Morrison 1980 ).

• Kimberling, Clark (1995), "The Zeckendorf array is equal the Wythoff array" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 33 (1): 3–8 .
• Morrison, DR (1980), "A Stolarsky array of Wythoff pairs", A Collection of Manuscripts Related to the Fibonacci Sequence (PDF) , Santa Clara, Calif: The Fibonacci Association, s. 134–136 .
• Stolarsky, KB (1977), "En uppsättning generaliserade Fibonacci-sekvenser så att varje naturligt tal tillhör exakt en" ( PDF), Fibonacci Quarterly , 15 (3): 224 .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Wythoff Array" . MathWorld .