Gegenbauer polynom

Inom matematiken är Gegenbauerpolynom eller ultrasfäriska polynom C
^(α) _n ( x ) ortogonala polynom på intervallet [−1,1] med avseende på viktfunktionen ( 1 − x ² ) ^{α –1/2} . De generaliserar Legendre polynom och Chebyshev polynom , och är specialfall av Jacobi polynom . De är uppkallade efter Leopold Gegenbauer .

Karakteriseringar

• 

  Plotta Gegenbauer-polynomet C n^(m)(x) med n=10 och m=1 i det komplexa planet från -2-2i till 2+2i med färger skapade med Mathematica 13.1-funktionen ComplexPlot3D

• 

  Gegenbauer-polynom med α =1

• 

  Gegenbauer-polynom med α =2

• 

  Gegenbauer-polynom med α =3

• 

  En animation som visar polynomen på xα -planet för de första 4 värdena på n .

En mängd olika karakteriseringar av Gegenbauer-polynomen är tillgängliga.

• Polynomen kan definieras i termer av deras genererande funktion ( Stein & Weiss 1971 , §IV.2):

${\frac {1}{(1-2xt+t^{2})^{\alpha }}}=\summa _{ n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(x)t^{n}\qquad (0\leq |x|<1,|t|\leq 1,\alpha > 0)$

• Polynomen uppfyller återfallsrelationen ( Suetin 2001 ):

${\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(x)&=2\alpha x\\ (n+1)C_{n+1}^{(\alpha )}(x)&=2(n+\alpha )xC_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x).\end{aligned}}$

• Gegenbauers polynom är speciella lösningar av Gegenbauers differentialekvation ( Suetin 2001 ):

$(1-x^{2})y''-(2\alpha +1)xy'+n( n+2\alpha )y=0.\,$

När α = 1/2 reduceras ekvationen till Legendre-ekvationen och Gegenbauer-polynomen reduceras till Legendre-polynomen .

När α = 1 reduceras ekvationen till Chebyshev-differentialekvationen, och Gegenbauer-polynomen reduceras till Chebyshev-polynomen av det andra slaget.

• De anges som Gaussiska hypergeometriska serier i vissa fall där serien faktiskt är ändlig:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left( -n,2\alpha +n;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right).} ($

Abramowitz & Stegun s. 561 ). Här är (2α) _n den stigande faktorialen . Explicit,

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}.} De är specialfall av Jacobi-polynomen$

• ( Suetin 2001 ) :

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{ n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).} där ($

θ $displaystyle (\theta )_{n}}$ representerar den stigande faktorialen för $\theta$ .

Man har därför även Rodrigues formel

$C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}{\frac {\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (2\alpha )\Gamma (\alpha +n+{\frac {1}{2}})}} (1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^ {n+\alpha -1/2}\höger].$

Ortogonalitet och normalisering

För ett fast α är polynomen ortogonala på [−1, 1] med avseende på viktningsfunktionen (Abramowitz & Stegun s. 774 )

$w(z)=\left(1-z^{2}\right)^{\alpha -{\frac {1}{2}}}.$

För n ≠ m ,

$\int _{-1}^{1}C_ {n}^{(\alpha )}(x)C_{m}^{(\alpha )}(x)(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2} }}\,dx=0.$

De normaliseras av

$\int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x)\höger]^{2}(1-x^{2})^{\ alfa -{\frac {1}{2}}}\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha ) [\Gamma (\alpha )]^{2}}}.$

Ansökningar

Gegenbauer-polynomen visas naturligt som förlängningar av Legendre-polynomen i samband med potentiell teori och harmonisk analys . Den newtonska potentialen i R ⁿ har expansionen, giltig med α = ( n − 2)/2,

${\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {| \mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{k+n-2}}}C_{k}^{(\alpha )}({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |}}).$

När n = 3 ger detta Legendre polynomexpansion av gravitationspotentialen . Liknande uttryck finns för expansion av Poisson-kärnan i en boll ( Stein & Weiss 1971) .

Det följer att kvantiteterna $C_{k}^{((n-2)/2)}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$ är sfäriska övertoner , när de betraktas som en funktion av endast x . De är i själva verket exakt de zonsfäriska övertonerna , upp till en normaliseringskonstant.

Gegenbauer-polynom förekommer också i teorin om positiva-definita funktioner .

Askey och Gasper lyder

$\sum _{j=0}^{n}{\frac {C_{j}^{\alpha }(x)}{2\alpha +j-1 \choose j}}\geq 0\qquad (x\geq -1,\,\alpha \geq 1/4).$

I spektrala metoder för att lösa differentialekvationer, om en funktion expanderas i basen av Chebyshev-polynom och dess derivata representeras i en Gegenbauer/ultrasfärisk bas, så blir derivatoperatorn en diagonal matris , vilket leder till snabbbandade matrismetoder för stora problem.

Se även

• Rogers polynom , q -analogen av Gegenbauer polynom
• Chebyshev polynom
• Romanovski polynom

•      Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , red. (1983) [juni 1964]. "Kapitel 22" . Handbok för matematiska funktioner med formler, grafer och matematiska tabeller . Serien tillämpad matematik. Vol. 55 (Nionde nytrycket med ytterligare korrigeringar av tionde originaltrycket med korrigeringar (december 1972); första upplagan). Washington DC; New York: USA:s handelsdepartement, National Bureau of Standards; Dover Publikationer. sid. 773. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 . *    Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials" , i Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
•   Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9 .
• Suetin, PK (2001) [1994], "Ultraspherical polynomials" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .

Specifik