Romanovski polynom

I matematik är Romanovski-polynomen en av tre finita delmängder av verkliga ortogonala polynom som upptäckts av Vsevolod Romanovsky (Romanovski på fransk transkription) inom ramen för sannolikhetsfördelningsfunktioner i statistik. De utgör en ortogonal delmängd av en mer allmän familj av föga kända Routh-polynom som introducerades av Edward John Routh 1884. Termen Romanovski-polynom lades fram av Raposo, med hänvisning till de så kallade 'pseudo-Jacobi polynomen i Leskys klassificeringsschema . Det verkar mer konsekvent att hänvisa till dem som Romanovski–Routh polynom , i analogi med termerna Romanovski–Bessel och Romanovski–Jacobi som används av Lesky för två andra uppsättningar av ortogonala polynom.

I viss kontrast till de vanliga klassiska ortogonala polynomen skiljer sig polynomen under övervägande, såtillvida att för godtyckliga parametrar endast ett ändligt antal av dem är ortogonala , vilket diskuteras mer i detalj nedan.

Differentialekvationen för Romanovski-polynomen

Romanovski-polynomen löser följande version av den hypergeometriska differentialekvationen

{\begin{aligned}&s(x){R_{n}^{(\alpha ,\beta )}}''(x)+t_{1}^{(\alpha ,\beta )}( x){R_{n}^{(\alpha ,\beta )}}'(x)+\lambda _{n}R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0,\ \[4pt]&\qquad x\in (-\infty ,+\infty ),\quad s(x)=\left(1+x^{2}\right),\quad t_{1}^{( \alpha ,\beta )}(x)=2\beta x+\alpha ,\quad \lambda _{n}=-n(2\beta +n-1).\end{aligned}}

()

Märkligt nog har de utelämnats från standardläroböckerna om specialfunktioner i matematisk fysik och i matematik och har endast en relativt knapp närvaro någon annanstans i den matematiska litteraturen.

Viktfunktionerna är _

w^{(\alpha ,\beta )}(x)=\left(1+x^{2}\right)^{\beta -1}\exp \left(-\alpha \operatörsnamn {arccot } x\höger);

()

de löser Pearsons differentialekvation

[s(x)w(x)]'=t(x) w(x),\quad s(x)=1+x^{2},

()

som säkerställer själv-adjointness av differentialoperatorn för den hypergeometriska vanliga differentialekvationen .

För $α = 0$ och $β < 0$ , tar viktfunktionen av Romanovski-polynomen formen av Cauchy-fördelningen , varav de associerade polynomen också betecknas som Cauchy-polynom i sina tillämpningar i slumpmatristeori.

Rodrigues formel specificerar polynomet $R (α, β) n (x)$ som

{\ displaystyle R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=N_{n}{\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac { \mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left(w^{(\alpha ,\beta )}(x)s(x)^{n}\right ),\quad 0\leq n,}

()

där $N n$ är en normaliseringskonstant. Denna konstant är relaterad till koefficienten $c n$ för termen av grad $n$ i polynomet $R (α, β) n (x)$ genom uttrycket

N_{n} ={\frac {(-1)^{n}n!\,c_{n}}{\prod _{k=0}^{n-1}\lambda _{n}^{(k)}} },\quad \lambda _{n}=-n\left({t_{n}^{(\alpha ,\beta )}}'+{\tfrac {1}{2}}(n-1)s ''(x)\höger),

()

vilket gäller för $n \geq 1$ .

Förhållandet mellan Romanovskis och Jacobis polynom

Som visat av Askey kan denna ändliga sekvens av reella ortogonala polynom uttryckas i termer av Jacobi-polynom av imaginära argument och kallas därför ofta för komplexiserade Jacobi-polynom. Romanovski-ekvationen ( 1 ) kan nämligen formellt erhållas från Jacobi-ekvationen,

{\begin{aligned}&\left(1-x^{2}\right){P_{n}^{(\gamma ,\delta )}}''(x)+t_{1} ^{(\gamma ,\delta )}(x){P_{n}^{(\gamma ,\delta )}}'(x)+\lambda _{n}P_{n}^{(\gamma, \delta )}(x)=0,\\[4pt]&\qquad t_{1}^{(\gamma ,\delta )}(x)=\delta -\gamma -(\gamma +\delta +2 )x,\quad \lambda _{n}=n(n+\gamma +\delta +1),\quad x\in \left[-1,1\right],\end{aligned}}

()

via ersättningarna, på riktigt $x$ ,

x\to ix,\quad {\frac {\mathrm {d} }{{ \mathrm {d} }x}}\to -i{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}},\quad \gamma =\delta ^{\ast }=\beta -1+{\frac {\alpha i}{2}},

()

i vilket fall man finner

R_{n}^{(\alpha , \beta )}(x)=i^{n}P_{n}^{\left(\beta -1+{\frac {i}{2}}\alpha ,\beta -1-{\frac {i }{2}}\alpha \right)}(ix),

()

(med lämpligt valda normaliseringskonstanter för Jacobi-polynomen). De komplexa Jacobi-polynomen till höger definieras via (1.1) i Kuijlaars et al. (2003) som säkerställer att ( 8 ) är reella polynom i x. Eftersom de citerade författarna diskuterar de icke-hermitiska (komplexa) ortogonalitetsvillkoren endast för verkliga Jacobi-index, existerar överlappningen mellan deras analys och definition ( 8 ) av Romanovski-polynom endast om α = 0. Undersökning av detta speciella fall kräver dock mer granskning utöver gränserna för denna artikel. Lägg märke till inverterbarheten av ( 8 ) enligt

P_{n} ^{(\alpha ,\beta )}(x)=(-i)^{n}R_{n}^{\left(i(\alpha -\beta ),{\frac {1}{2}} (\alpha +\beta )+1)\right)}(-ix),

()

där nu $P (α, β) n (x)$ är ett verkligt Jacobi-polynom och

R_{n}^{\left(i(\alpha -\beta ),{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )+1)\right)}(-ix)

skulle vara ett komplext Romanovski-polynom.

Egenskaper för Romanovski polynom

Explicit konstruktion

För verklig $α, β$ och $n = 0, 1, 2, ... kan$ en funktion $R (α, β) n (x)$ definieras av Rodrigues formel i ekvation ( 4 ) som

R_{n} ^{(\alpha ,\beta )}(x)\equiv {\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {{\rm {d}}^ {n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\left(w^{(\alpha ,\beta )}(x)s(x)^{n}\right),

()

där $w (α, β)$ är samma viktfunktion som i ( 2 ), och $s (x) = 1 + x 2$ är koefficienten för den andra derivatan av den hypergeometriska differentialekvationen som i ( 1 ).

Observera att vi har valt normaliseringskonstanterna $N n = 1$ , vilket är ekvivalent med att göra ett val av koefficienten av högsta grad i polynomet, enligt ekvation ( 5 ). Det tar formen

c_{n}={\frac {1}{n !}}\prod _{k=0}^{n-1}{\bigl (}2\beta (nk)+n(n-1)-k(k-1){\bigr )},\quad n\geq 1.

()

Observera också att koefficienten $c n$ inte beror på parametern $α$ , utan bara på $β$ och, för särskilda värden på $β$ , försvinner $c n$ (dvs. för alla värden

\beta ={\frac {k(k-1)-n(n-1)}{2(nk) }}

där $k = 0, ..., n - 1$ ). Denna observation ställer till ett problem som behandlas nedan.

För senare referens skriver vi uttryckligen polynomen av grad 0, 1 och 2,

{\begin{aligned}R_{0}^{(\alpha ,\beta )}(x)&=1,\\[ 6pt]R_{1}^{(\alpha ,\beta )}(x)&={\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}\left(w'^ {(\alpha ,\beta )}(x)s(x)+s'(x)w^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)\\[6pt]&=t^{( \alpha ,\beta )}(x)=2\beta x+\alpha ,\\[6pt]R_{2}^{(\alpha ,\beta )}(x)&={\frac {1}{w ^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}\left(s^{2}(x)w'^ {(\alpha ,\beta )}(x)+2s(x)s'(x)w^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)\\&={\frac {1}{ w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}\left(s(x)w^{(\alpha ,\beta )}(x)\left(t^{(\alpha ,\beta )}(x)+s'(x)\right)\right)\\[6pt]&=\left(2x+t ^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)t^{(\alpha ,\beta )}(x)+\left(2+t'^{(\alpha ,\beta )}(x )\right)s(x)\\[6pt]&=(2\beta +1)(2\beta +2)x^{2}+2(2\beta +1)\alpha x+\left(2) \beta +\alpha ^{2}+2\right),\end{aligned}}

som härrör från Rodrigues formel ( 10 ) i samband med Pearsons ODE ( 3 ).

Ortogonalitet

De två polynomen, $R (α, β) m (x)$ och $R (α, β) n (x)$ med $m \neq n$ , är ortogonala,

\int _{-\infty }^{+\ infty }w^{(\alpha ,\beta )}(x)R_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x) =0

()

om och endast om,

m+n<1-2\beta .

()

Med andra ord, för godtyckliga parametrar är endast ett ändligt antal Romanovski-polynom ortogonala. Denna egenskap kallas finit ortogonalitet . För vissa speciella fall där parametrarna på ett visst sätt beror på polynomgraden kan dock oändlig ortogonalitet uppnås.

Detta är fallet med en version av ekvationen ( 1 ) som självständigt har påträffats på nytt inom ramen för den exakta lösligheten av det kvantmekaniska problemet med den trigonometriska Rosen-Morse-potentialen och som rapporterats i Compean & Kirchbach (2006). Där är polynomparametrarna $α$ och $β$ inte längre godtyckliga utan uttrycks i termer av potentiella parametrar, $a$ och $b$ , och graden $n$ av polynomet enligt relationerna,

{\begin{aligned}\alpha \to \alpha _{n}={\frac {2b}{n+1+a}},\quad \beta \to \beta _{n}=-( a+n+1)+1,\quad n=0,1,2,\ldots ,\infty .\end{aligned}}

()

På motsvarande sätt framträder $λ n$ som $λ n = - n (2 a + n - 1)$ , medan viktfunktionen tar formen

\left(1+x^{2}\right)^{-(a+n+1)}\exp \left(-{\frac {2b}{n+a+1}}\operatörsnamn { arccot} x\right).

Slutligen har den endimensionella variabeln, $x$ , i Compean & Kirchbach (2006) tagits som

x=\cot \left({\frac {r}{d}}\right),

där $r$ är det radiella avståndet, medan $d$ är en lämplig längdparameter. I Compean & Kirchbach har det visats att familjen av Romanovski-polynom som motsvarar den oändliga sekvensen av parameterpar,

\left(\alpha _{1},\beta _{1}\ höger),\left(\alpha _{2}\beta _{2}\right),\ldots ,\left(\alpha _{n}\beta _{n}\right),\ldots ,\quad n \longrightarrow \infty ,

()

är ortogonal.

Genererande funktion

I Weber (2007) har polynom $Q (α n, β n + n) ν (x)$ , med $β n + n = - a$ , och komplementära till $R (α n, β n) n (x)$ studerats, genererats på följande sätt:

Q_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n\right)}(x)={\frac {1}{w^{\left(\ alfa _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}}}{\frac {{\mathrm {d} }^{\nu }}{{\mathrm {d} }x^ {\nu }}}w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}\right)}(x)\left(1+x^{2}\right)^{n}.

()

Med hänsyn till förhållandet,

w^{\left(\alpha _{n},\ beta _{n}\right)}(x)\left(1+x^{2}\right)^{\delta }=w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n} +\delta \right)}(x),

()

Ekvation ( 16 ) blir ekvivalent med

{\begin{aligned}Q_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\ beta _{n}+n\right)}(x)&={\frac {1}{w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right) }}}{\frac {{\mathrm {d} }^{\nu }}{{\mathrm {d} }x^{\nu }}}w^{\left(\alpha _{n},\ beta _{n}+n-\nu \höger)}(x)\vänster(1+x^{2}\höger)^{\nu }\\[4pt]&=R_{\nu }^{\ vänster(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}(x),\end{aligned}}

()

och kopplar därmed det komplementära till de huvudsakliga Romanovski-polynomen.

Huvudattraktionen hos de komplementära polynomen är att deras genererande funktion kan beräknas i sluten form. En sådan genererande funktion , skriven för Romanovski-polynomen baserad på ekvation ( 18 ) med parametrarna i ( 14 ) och därför hänvisar till oändlig ortogonalitet, har introducerats som

G^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}\right)}(x,y)=\summa _{\nu =0}^{\infty }R_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}(x){\frac {y^{\nu }}{\nu !}}.

()

De notationsskillnader mellan Weber och de som används här sammanfattas enligt följande:

$G (α n, β n) (x, y)$ här kontra $Q (x, y; α,- a)$ där, $α$ där i stället för $α n$ här,
$a = - β n - n$ , och
$Q (α,- a) ν (x)$ i ekvation (15) i Weber motsvarande $R (α n, β n + n - ν) ν (x)$ här.

Den genererande funktionen som diskuteras erhållen i Weber lyder nu:

G^{(\alpha _{n},\beta _{n })}(x,y)=\left(1+x^{2}\right)^{-\beta _{n}-n+1}\exp \left(\alpha _{n}\operatörsnamn { arccot} x\right)\left(1+\left(x+y\left(1+x^{2}\right)\right)^{2}\right)^{-\left(-\beta _ {n}-n+1\right)}\exp \left(-\alpha _{n}\operatörsnamn {arccot} \left(x+y\left(1+x^{2}\right)\right) \höger.

()

Återkommande relationer

Återkommande relationer mellan de oändliga ortogonala serierna av Romanovski polynom med parametrarna i ovanstående ekvationer ( 14 ) följer av genereringsfunktionen ,

\nu {\bigl (}\nu +1-2(\beta _{n}+n){\bigr )}R_{\nu -1}^{\left(\ alfa _{n},\beta _{n}+n-\nu +1\right)}(x)+{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}R_{ \nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}(x)=0,

()

och

R_{\nu + 1}^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu -1\right)}(x)={\bigl (}\alpha _{n}-2x(- \beta _{n}-n+\nu +1){\bigr )}R_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)} -\nu \left(1+x^{2}\right){\bigl (}2(-\beta _{n}-n)+\nu +1{\bigr )}R_{\nu -1} ^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu +1\right)},

()

som ekvationer (10) och (23) av Weber (2007) respektive.

Se även