Zonala sfäriska övertoner

I den matematiska studien av rotationssymmetri är de zonala sfäriska övertonerna speciella sfäriska övertoner som är invarianta under rotationen genom en viss fast axel. De zonsfäriska funktionerna är en bred förlängning av begreppet zonsfäriska övertoner för att möjliggöra en mer allmän symmetrigrupp .

På den tvådimensionella sfären representeras den unika zonsfäriska övertonen av grad ℓ invariant under rotationer som fixerar nordpolen i sfäriska koordinater av

$$Z^{(\ell )}(\theta ,\phi )=P_{\ell }(\cos \theta )$$

där P _ℓ är ett Legendre-polynom med grad ℓ . Den allmänna zonsfäriska övertonen av grad ℓ betecknas med ${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )} ,$ där x är en punkt på sfären som representerar den fasta axeln, och y är variabeln för funktionen. Detta kan erhållas genom rotation av den grundläggande zonövertonen $Z^{(\ell )}(\theta ,\phi ).$

I det n -dimensionella euklidiska rummet definieras zonsfäriska övertoner enligt följande. Låt x vara en punkt på ( n −1)-sfären. Definiera $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}$ för att vara den dubbla representationen av den linjära funktionalen

$$P\mapsto P(\mathbf {x} )$$

i det finitdimensionella Hilbert-utrymmet H _ℓ av sfäriska övertoner av grad ℓ. Med andra ord gäller följande reproducerande egenskap :

$$Y(\mathbf {x} )=\int _{S^{n-1} }Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )Y(\mathbf {y} )\,d\Omega (y)$$

för alla Y ∈ H _ℓ . Integralen tas med hänsyn till det invarianta sannolikhetsmåttet.

Samband med harmoniska potentialer

Zonövertonerna uppträder naturligt som koefficienter för Poisson-kärnan för enhetskulan i R ⁿ : för x- och y- enhetsvektorer,

$${\frac {1}{\omega _{n-1}}}{\frac {1-r^{2}}{ |\mathbf {x} -r\mathbf {y} |^{n}}}=\summa _{k=0}^{\infty }r^{k}Z_{\mathbf {x} }^{( k)}(\mathbf {y} ),$$

där $\omega _{n-1}$ är ytan på den (n-1)-dimensionella sfären. De är också relaterade till Newtonkärnan via

$${\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\summa _{k=0} ^{\infty }c_{n,k}{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{n+k-2}}}Z_{\mathbf { x} /|\mathbf {x} |}^{(k)}(\mathbf {y} /|\mathbf {y} |)$$

där x , y ∈ R ⁿ och konstanterna c _{n , k} ges av

$$c_{n,k}={\frac {1}{\omega _{n-1}}}{\frac {2k+n-2}{(n-2)}}.$$

Koefficienterna för Taylor-serien av Newtonkärnan (med lämplig normalisering) är exakt de ultrasfäriska polynomen . De zonsfäriska övertonerna kan således uttryckas enligt följande. Om α = ( n −2)/2 , då

$$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf { y} )={\frac {n+2\ell -2}{n-2}}C_{\ell }^{(\alpha )}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$$

där c _{n , ℓ} är konstanterna ovan och $C_{\ell }^{(\alpha )}$ är det ultrasfäriska polynomet av grad ℓ.

Egenskaper

• De zonsfäriska övertonerna är rotationsinvarianta, vilket betyder att
  $$Z_{R\mathbf {x} }^{(\ell )}(R\mathbf {y} )=Z_{\ mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )$$
  för varje ortogonal transformation R . Omvänt är varje funktion f ( x , y ) på S ^{n −1} × S ^{n −1} som är en sfärisk överton i y för varje fixerad x , och som uppfyller denna invariansegenskap, en konstant multipel av graden ℓ zonöverton.
• Om Y1 _, ..., Yd är en ortonormal bas för H _{ℓ ,} då
  $$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )=\summa _{k=1}^{d}Y_{k}(\mathbf {x}){ \overline {Y_{k}(\mathbf {y} )}}.$$
• Att utvärdera vid x = y ger
  $$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {x} )=\omega _{n-1}^{-1}\dim \mathbf {H} _{\ell }.$$

•   Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9 .