Vågfrontset

I matematisk analys , närmare bestämt i mikrolokal analys , karakteriserar vågfronten (uppsättningen) WF(f) singulariteterna för en generaliserad funktion f , inte bara i rymden , utan också med avseende på dess Fourier-transform vid varje punkt. Begreppet "vågfront" myntades av Lars Hörmander omkring 1970.

Introduktion

I mer bekanta termer berättar WF( f ) inte bara var funktionen f är singular (vilket redan beskrivs av dess singularstöd ), utan också hur eller varför den är singular, genom att vara mer exakt om i vilken riktning singulariteten uppträder . Detta koncept är mest användbart i dimension minst två, eftersom det i en dimension bara finns två möjliga riktningar. Den kompletterande föreställningen om att en funktion är icke-singular i en riktning är mikrolokal jämnhet .

Intuitivt, som ett exempel, betrakta en funktion ƒ vars singulära stöd är koncentrerat till en jämn kurva i det plan där funktionen har en hoppdiskontinuitet. I riktningen tangenten till kurvan förblir funktionen jämn. I motsats till kurvans riktning har funktionen en singularitet. För att avgöra om funktionen är jämn i en annan riktning v kan man försöka jämna ut funktionen genom att medelvärde i riktningar vinkelräta mot v . Om den resulterande funktionen är jämn, betraktar vi ƒ som jämn i riktningen v . Annars v i vågfrontsuppsättningen.

₀₀ Formellt, i det euklidiska rymden , definieras vågfrontmängden av ƒ som komplementet till mängden av alla par ( x , v ) så att det finns en testfunktion $\phi \in C_{c }^{\infty }$ med $\phi$ ( x ) ≠ 0 och en öppen kon Γ som innehåller v så att uppskattningen

$|(\phi f)^{\wedge }(\xi )|\leq C_{N}(1+|\xi |) ^{-N}\quad {\mbox{för alla }}\ \xi \in \Gamma$

gäller för alla positiva heltal N . Här $(\phi f)^{\wedge }$ Fouriertransformen. Observera att vågfrontsmängden är konisk i den meningen att om ( x , v ) ∈ Wf(ƒ), då ( x ,λ v ) ∈ Wf(ƒ) för alla λ > 0. I exemplet som diskuterades i föregående stycke, vågfrontsmängden är det mängdteoretiska komplementet till bilden av kurvans tangentknippe inuti planets tangentknippe.

Eftersom definitionen involverar cutoff av en kompakt stödd funktion, kan begreppet en vågfrontuppsättning transporteras till vilket differentierbart grenrör X som helst . I denna mer allmänna situation är vågfrontsuppsättningen en sluten konisk delmängd av cotangensknippet T * ⁽ X ) , eftersom ξ-variabeln naturligt lokaliseras till en kovektor snarare än en vektor. Vågfrontmängden definieras så att dess projektion på X är lika med funktionens singularstöd .

Definition

definieras vågfrontmängden för en fördelning ƒ som

${\rm {WF}}(f)=\{(x,\xi )\ i \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\mid \xi \in \Sigma _{x}(f)\}$

där $\Sigma _{x}(f)$ är singularfibern för ƒ vid x . Singularfibern definieras som komplementet till alla riktningar $\xi$ så att Fouriertransformen av f , lokaliserad till x , är tillräckligt regelbunden när den är begränsad till en öppen kon som innehåller $\xi$ . Mer exakt är en riktning v i komplementet till $\Sigma _{x}(f)$ om det finns en kompakt stödd jämn funktion φ med φ( x ) ≠ 0 och en öppen kon Γ innehållande v så att följande uppskattning gäller för varje positivt heltal N :

$(\phi f)^{\wedge}(\xi )<c_{N}(1+|\xi |)^{-N}\quad {\rm {för~alla}}\ \xi \ i \Gamma .$

När en sådan uppskattning gäller för en viss cutoff-funktion φ vid x , gäller den också för alla cutoff-funktioner med mindre stöd, möjligen för en annan öppen kon som innehåller v .

På ett differentierbart grenrör M , med hjälp av lokala koordinater $x,\xi$ på cotangensbunten , kan vågfrontsuppsättningen WF( f ) för en fördelning ƒ definieras på följande generella sätt:

${\rm {WF}}(f)=\{(x,\xi )\ i T^{*}(X)\mid \xi \in \Sigma _{x}(f)\}$

där singularfibern $\Sigma _{x}(f)$ återigen är komplementet till alla riktningar $\xi$ så att Fouriertransformen av f , lokaliserad till x , är tillräckligt regelbunden när den är begränsad till ett koniskt område av $\xi$ . Problemet med regularitet är lokalt, så det kan kontrolleras i det lokala koordinatsystemet med hjälp av Fouriertransformen på x -variablerna. Den erforderliga regularitetsuppskattningen förvandlas väl under diffeomorfism , och därför är begreppet regularitet oberoende av valet av lokala koordinater.

Generaliseringar

Begreppet vågfrontsuppsättning kan anpassas för att tillgodose andra föreställningar om en funktions regelbundenhet. Lokaliserad kan här uttryckas genom att säga att f trunkeras av att någon jämn cutoff-funktion inte försvinner vid x . (Lokaliseringsprocessen kan göras på ett mer elegant sätt med hjälp av bakterier .)

Mer konkret kan detta uttryckas som

$\xi \notin \Sigma _{x}(f)\iff \xi =0{\text{ eller }}\exists \phi \in {\mathcal {D}}_{ x},\ \exists V\in {\mathcal {V}}_{\xi }:{\widehat {\phi f}}|_{V}\in O(V)$

var

• ${\mathcal {D}}_{x}$ är smidiga funktioner med kompakt stöd som inte försvinner vid x ,
• ${\mathcal {V}}_{\xi }$ är koniska kvarter av $\xi$ , dvs kvarter V så att $c\cdot V\delmängd V$ för alla $c>0$ ,
• ${\widehat {u}}|_{V}$ betecknar Fourier-transformen av den (kompakt stödda generaliserade) funktionen u , begränsad till V ,
• $O:\Omega \to O(\Omega )$ är en fast förstavning av funktioner (eller distributioner) vars val framtvingar den önskade regelbundenhet hos Fouriertransformen.

krävs sektioner av O för att uppfylla något tillväxt- (eller minsknings-) villkor i oändligheten, t.ex. så att $(1+|\xi |)^{s}v (\xi )$ hör till något L ^p -utrymme . Denna definition är vettig, eftersom Fouriertransformen blir mer regelbunden (i termer av tillväxt i oändligheten) när f trunkeras med den jämna cutoff $\phi$ .

Det svåraste "problemet", ur en teoretisk synvinkel, är att hitta den adekvata strängen O som karakteriserar funktioner som hör till en given understräng E av utrymmet G för generaliserade funktioner.

Exempel

Om vi ​​tar G = D ′ rymden av Schwartz-fördelningar och vill karakterisera fördelningar som lokalt är ${\displaystyle C^{\infty }}-$ funktioner, måste vi ta för O (Ω) de klassiska funktionsrymden som kallas O ′ _M (Ω) i litteraturen.

Då är projektionen på den första komponenten av en distributions vågfrontsuppsättning inget annat än dess klassiska singularstöd , dvs komplementet till uppsättningen där dess begränsning skulle vara en jämn funktion .

Ansökningar

Vågfrontsuppsättningen är användbar, bland annat, när man studerar utbredning av singulariteter av pseudodifferentiella operatorer .

Se även

• FBI-förvandling
• Singularspektrum
• Viktigt stöd

• Lars Hörmander , Fourier integraloperatorer I , Acta Math. 127 (1971), s. 79-183.
•   Hörmander, Lars (1990), The Analysis of Linear Partial Differential Equations I: Distribution Theory and Fourier Analysis , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 256 (2nd ed.), Springer, s. 251–279, ISBN 0-387-52345-6 Chapter VIII, Spectral Analysis of Singularities