Flerdimensionell transformation

I matematisk analys och tillämpningar används flerdimensionella transformationer för att analysera frekvensinnehållet i signaler i en domän med två eller flera dimensioner.

Flerdimensionell Fouriertransform

En av de mer populära flerdimensionella transformationerna är Fourier-transformen , som omvandlar en signal från en tids-/rymddomänrepresentation till en frekvensdomänrepresentation. Den diskreta domänen flerdimensionella Fourier-transformen (FT) kan beräknas enligt följande:

$F(w_{1},w_{2},\dots ,w_{m})=\summa _{n_{1 }=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{n_{m}=-\infty }^{\infty }f (n_{1},n_{2},\dots ,n_{m})e^{-iw_{1}n_{1}-iw_{2}n_{2}\cdots -iw_{m}n_{m }}$

där F står för den flerdimensionella Fouriertransformen, m står för flerdimensionell dimension. Definiera f som en multidimensionell signal för diskret domän. Den inversa flerdimensionella Fouriertransformen ges av

$f(n_{1},n_{2},\dots ,n_{m})=\left({\frac { 1}{2\pi }}\right)^{m}\int _{-\pi }^{\pi }\cdots \int _{-\pi }^{\pi }F(w_{1}, w_{2},\ldots ,w_{m})e^{iw_{1}n_{1}+iw_{2}n_{2}+\cdots +iw_{m}n_{m}}\,dw_{ 1}\cdots \,dw_{m}$

Den flerdimensionella Fourier-transformen för kontinuerliga domänsignaler definieras enligt följande:

$F(\Omega _{1},\Omega _{2},\ldots ,\Omega _{m})=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{m})e^{-i\Omega _{ 1}t_{1}-i\Omega _{2}t_{2}\cdots -i\Omega _{m}t_{m}}\,dt_{1}\cdots \,dt_{m}$

Fouriertransformens egenskaper

Liknande egenskaper för 1-D FT-transformen gäller, men istället för att ingångsparametern bara är en enda post, är det en multidimensionell (MD) array eller vektor. Därför är det x(n ₁ ,...,n _M ) istället för x(n).

Linjäritet

om $x_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\översatt {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},\ldots,\omega _{M})$ och $x_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT } }{}}{\longleftrightarrow }}X_{2}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ sedan,

$ax_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M})+bx_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset { \mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}aX_{1}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})+bX_{2}(\omega _{1},\ ldots ,\omega _{M})$

Flytta

om ${\displaystyle x(n_{1},...,n_{M}){\översatt {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},...,\omega _{M})} ,$ sedan $x(n_ {1}-a_{1},...,n_{M}-a_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}e^{-j( \omega _{1}a_{1}+,...,+\omega _{M}a_{M})}X(\omega _{1},...,\omega _{M})$

Modulation

om ${\displaystyle x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\översatt {\underset {\ mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})} ,$ sedan

$e^{j(\theta _{1}n_{1}+\cdots +\theta _{M}n_{M})}x(n_{1}-a_{1},\ldots,n_ {M}-a_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1}-\theta _{1},\ldots ,\ omega _{M}-\theta _{M})$

Multiplikation

om $x_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\översatt {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},\ldots,\omega _{M})$ och $x_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT } }{}}{\longleftrightarrow }}X_{2}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$

sedan,

$x_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M})x_{2} (n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {1}{(2\pi )^{M }}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cdots \int \limits _{-\pi }^{\pi }X_{1}(\omega _{1}-\theta _ {1},\ldots ,\omega _{M}-\theta _{M})X_{2}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{M})\,d\theta _{ 1}\cdots d\theta _{M}$

 

 

 

 

()

eller,

$x_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M})x_{2} (n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {1}{(2\pi )^{M }}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cdots \int \limits _{-\pi }^{\pi }X_{1}(\theta _{1},\ldots, \theta _{M})X_{2}(\omega _{1}-\theta _{1},\ldots ,\omega _{M}-\theta _{M})\,d\theta _{ 1}\cdots d\theta _{M}$

 

 

 

 

()

Differentiering

Om ${\displaystyle x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\översatt {\underset {\ mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})} ,$ sedan

$-jn_{1}x(n_{1},\ ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\partial }{(\partial \omega _{1})}}X( \omega _{1},\ldots ,\omega _{M}),$

$-jn_{2}x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\partial }{(\partial \omega _{2})}}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M}),$

$(-j)^ {M}(n_{1}n_{2}\cdots n_{M})x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}} {\longleftrightarrow }}{\frac {(\partial )^{M}}{(\partial \omega _{1}\partial \omega _{2}\cdots \partial \omega _{M})}}X (\omega _{1},\ldots ,\omega _{M}),$

Transponering

Om ${\displaystyle x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\översatt {\underset {\ mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})} ,$ sedan

$x(n_{M},\ldots ,n_{1}){\översatt {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{M},\ldots ,\omega _{1})$

Reflexion

Om ${\displaystyle x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\översatt {\underset {\ mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})} ,$ sedan

$x(\pm n_{1},\ldots ,\pm n_{M}){ \overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\pm \omega _{1},\ldots ,\pm \omega _{M})$

Komplex konjugation

Om ${\displaystyle x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\översatt {\underset {\ mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})} ,$ sedan

$x^{*}(\pm n_{1},\ldots ,\pm n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X^{*}(-\omega _{1},\ldots ,-\omega _{M} )$

Parsevals teorem (MD)

om $x_{1}(n_{1},...,n_{M }){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},...,\omega _{M})$ och ${\displaystyle x_{2}(n_{1},...,n_{M}) {\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{2}(\omega _{1},...,\omega _{M})} sedan$ ,

$\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }...\sum _{n_{M}=-\infty }^{\infty }x_{1}( n_{1},...,n_{M})x_{2}^{*}(n_{1},...,n_{M}){=}{\frac {1}{(2\ pi )^{M}}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }...\int \limits _{-\pi }^{\pi }X_{1}(\omega _{ 1},...,\omega _{M})X_{2}^{*}(\omega _{1},...,\omega _{M})d\omega _{1}.. .d\omega _{M}$

om $_ {=}x_{2}(n_{1},...,n_{M})}$ , sedan

$\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }...\sum _{n_{M}=-\infty }^{\infty }|x_{1} (n_{1},...,n_{M})|^{2}{=}{\frac {1}{(2\pi )^{M}}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }...\int \limits _{-\pi }^{\pi }|X_{1}(\omega _{1},...,\omega _{M})|^ {2}d\omega _{1}...d\omega _{M}$

Ett specialfall av Parsevals teorem är när de två flerdimensionella signalerna är lika. I det här fallet skildrar satsen signalens energibesparing och termen i summan eller integralen är signalens energitäthet.

Separerbarhet

En signal eller ett system sägs vara separerbart om det kan uttryckas som en produkt av 1-D-funktioner med olika oberoende variabler. Detta fenomen gör det möjligt att beräkna FT-transformen som en produkt av 1-D FT istället för flerdimensionell FT.

om $x(n_{1},...,n_{M}){\översatt {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},...,\omega _{M})$ , $a(n_{1}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}A(\omega _{1})$ , $b(n_{2}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}B(\omega _{2})$ . .. ${\displaystyle y(n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}Y(\omega _{$$x(n_{1},...,n_{M}){=}a(n_{1})b(n_{2})...y(n_{M} )$ om , sedan

${\displaystyle X(\omega _{1},...,\omega _{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}x (n_{1},...,n_{M}){=}a(n_{1})b(n_{2})...y(n_{M}){\overset {\underset {\ mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}A(\omega _{1})B(\omega _{2})...Y(\omega _{M})} ,$ så

$X(\omega _{1},...,\omega _{M}){=}A(\omega _{1})B(\omega _{2}). ..Y(\omega _{M})$

MD FFT

En snabb Fouriertransform (FFT) är en algoritm för att beräkna den diskreta Fouriertransformen (DFT) och dess invers. En FFT beräknar DFT och producerar exakt samma resultat som att utvärdera DFT-definitionen direkt; den enda skillnaden är att en FFT är mycket snabbare. (I närvaro av avrundningsfel är många FFT-algoritmer också mycket mer exakta än att utvärdera DFT-definitionen direkt). Det finns många olika FFT-algoritmer som involverar ett brett utbud av matematik, från enkel aritmetik med komplexa tal till gruppteori och tal teori. Se mer i FFT .

MD DFT

Den flerdimensionella diskreta Fourier-transformen (DFT) är en samplade version av den diskreta domänen FT genom att utvärdera den vid sampelfrekvenser som är likformigt fördelade. N 1 × N ₂ × ... N _{m DFT} ges av:

$Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{m} )=\summa _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\cdots \sum _{n_{m}=0}^{N_{m}-1}fx(n_{1} ,n_{2},\ldots ,n_{m})e^{-i{\frac {2\pi }{N_{1}}}n_{1}K_{1}-i{\frac {2\ pi }{N_{2}}}n_{2}K_{2}\cdots -i{\frac {2\pi }{N_{m}}}n_{m}K_{m}}$

för , 0 ≤ Ki _≤ Ni ₋ 1 , i = 1, 2, ... m .

Den omvända flerdimensionella DFT-ekvationen är

$fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})={\frac {1}{N_{1}\cdots N_{m}}}\summa _{K_{1}=0}^{N_{1}-1}\cdots \sum _{K_{m}=0}^{N_{m}-1}Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{m})e^{i{\frac {2\pi } {N_{1}}}n_{1}K_{1}+i{\frac {2\pi }{N_{2}}}n_{2}K_{2}\cdots +i{\frac {2\ pi }{N_{m}}}n_{m}K_{m}}$

för 0 ≤ n ₁ , n ₂ , ... , n _m ≤ N _{(1, 2, ... , m )} – 1 .

Flerdimensionell diskret cosinustransform

Den diskreta cosinustransformen (DCT) används i ett brett spektrum av applikationer som datakomprimering , funktionsextraktion , bildrekonstruktion , multi-frame detektion och så vidare. Den flerdimensionella DCT ges av:

$Fx(K_{1},K_{2}, \ldots ,K_{r})=\summa _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\summa _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}\ cdots \sum _{n_{r}=0}^{N_{r}-1}fx(n_{1},n_{2},\ldots,n_{r})\cos {\frac {\pi ( 2n_{1}+1)K_{1}}{2N_{1}}}\cdots \cos {\frac {\pi (2n_{r}+1)K_{r}}{2N_{r}}}$

för ki _, = 0, 1, ..., Ni ₋ 1 i = 1, 2, ... , r .

Flerdimensionell Laplace-transform

Den flerdimensionella Laplace-transformen är användbar för att lösa problem med gränsvärde. Gränsvärdesproblem i två eller flera variabler som kännetecknas av partiella differentialekvationer kan lösas genom en direkt användning av Laplace-transformen. Laplace-transformen för ett M-dimensionellt fall definieras som

$F(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})=\int _{0}^{\infty }\cdots \int _ {0}^{\infty }f(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})e^{-s_{n}t_{n}-s_{n-1}t_{n -1}\cdots \cdots s_{1}t_{1}}\,dt_{1}\cdots \,dt_{n}$

där F står för s-domänrepresentationen av signalen f(t).

Ett specialfall (tillsammans med två dimensioner) av den flerdimensionella Laplace-transformen av funktionen f(x,y) definieras som

$$F(s_{1},s_{2})=\int \limits _{0}^{\infty }\int \limits _{0}^{\infty }\ f(x,y)e^{-s_{1}x-s_{2}y}\,dxdy$$

$F(s_{1},s_{2})$ kallas bilden av $f(x,y)$ och $f(x,y)$ är känt som originalet av $F(s_{1},s_{2})$ . Detta specialfall kan användas för att lösa telegrafens ekvationer . }

Flerdimensionell Z-transform

Den flerdimensionella Z-transformen används för att mappa den diskreta tidsdomänens flerdimensionella signal till Z-domänen. Detta kan användas för att kontrollera filtrens stabilitet. Ekvationen för den flerdimensionella Z-transformen ges av

Figur 1.1a

$F(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{m})=\summa _{n_{1}=-\infty }^{\infty } \cdots \sum _{n_{m}=-\infty }^{\infty }f(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})z_{1}^{-n_{1 }}z_{2}^{-n_{2}}\ldots z_{m}^{-n_{m}}$

där F står för z-domänrepresentationen av signalen f(n).

Ett specialfall av den flerdimensionella Z-transformen är 2D Z-transformen som ges som

$F(z_{1} ,z_{2})=\summa _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\summa _{n_{2}=-\infty }^{\infty }f(n_{1}, n_{2})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}$

Fouriertransformen är ett specialfall av Z-transformen utvärderad längs enhetscirkeln (i 1D) och enhetsbicirkeln (i 2D). jag äter

${\textstyle z=e^{jw}}$ där z och w är vektorer.

Konvergensregion

Figur 1.1b

Punkter ( z ₁ , z ₂ ) för vilka $F(z_{1},z_{2})=\summa _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\summa _{n_{2}=-\infty } ^{\infty }|f(n_{1},n_{2})||z_{1}|^{-n_{1}}|z_{2}|^{-n_{2}}$$<\infty$ finns i ROC.

Ett exempel:

Om en sekvens har ett stöd som visas i figur 1.1a, visas dess ROC i figur 1.1b. Detta följer att | F ( zi , z2 ₎ | _{_} < ∞ .

$(z_{01},z_{02})$ ligger i ROC, sedan alla punkter $(z_{1},z_{2} )$ som uppfyller |z1|≥|z01| och |z2|≥|z02 ligger i ROC.

Därför, för figur 1.1a och 1.1b, skulle ROC vara

$\ln |z_{1}|\geq \ln |z_{01}|{\text{ och }}\ln |z_{2}|\geq L\ln |z_{1}|+\ {\ln |z_{02}|-L\ln |z_{01}|\}$

där L är lutningen.

2D Z-transformen , liknande Z-transformen, används i flerdimensionell signalbehandling för att relatera en tvådimensionell diskret-tidssignal till den komplexa frekvensdomänen där 2D-ytan i 4D-rymden som Fourier-transformen ligger på är känd. som enhetsyta eller enhetscirkel.

Ansökningar

DCT och DFT används ofta i signalbehandling och bildbehandling, och de används också för att effektivt lösa partiella differentialekvationer med spektrala metoder. DFT kan också användas för att utföra andra operationer såsom faltningar eller multiplicera stora heltal. DFT och DCT har sett en bred användning inom ett stort antal fält, vi skisserar bara några exempel nedan.

Bildbehandling

Tvådimensionella DCT-frekvenser från JPEG DCT

DCT används i JPEG- bildkomprimering, MJPEG , MPEG , DV , Daala och Theora- videokomprimering . Där beräknas den tvådimensionella DCT-II av N x N block och resultaten kvantiseras och entropikodas . I det här fallet N vanligtvis 8 och DCT-II-formeln tillämpas på varje rad och kolumn i blocket. Resultatet är en 8x8 omvandlingskoefficient-array där: (0,0) element (överst till vänster) är DC-komponenten (nollfrekvens) och poster med ökande vertikala och horisontella indexvärden representerar högre vertikala och horisontella rumsfrekvenser, som visas på bilden till höger.

Inom bildbehandling kan man också analysera och beskriva okonventionella kryptografiska metoder baserade på 2D DCTs, för att infoga icke-synliga binära vattenstämplar i 2D-bildplanet, och Enligt olika orienteringar kan den 2-D riktade DCT-DWT hybridtransformen tillämpas vid förnedring av ultraljudsbilder. 3-D DCT kan också användas för att transformera videodata eller 3-D-bilddata i vattenmärkesinbäddningsscheman i transformeringsdomänen.

Spektralanalys

När DFT används för spektralanalys representerar { xn _. }-sekvensen vanligtvis en ändlig uppsättning av likformigt fördelade tidssampler av någon signal x ( t ) där t representerar tid Omvandlingen från kontinuerlig tid till sampel (diskret-tid) ändrar den underliggande Fourier-transformen av x ( t ) till en diskret-tids-Fourier-transform (DTFT), som i allmänhet innebär en typ av distorsion som kallas aliasing . Valet av en lämplig samplingshastighet (se Nyquist-hastighet ) är nyckeln till att minimera den distorsionen. På liknande sätt medför omvandlingen från en mycket lång (eller oändlig) sekvens till en hanterbar storlek en typ av distorsion som kallas läckage , vilket manifesteras som en förlust av detaljer (aka upplösning) i DTFT. Valet av en lämplig undersekvenslängd är den primära nyckeln för att minimera den effekten. När tillgänglig data (och tid att bearbeta den) är mer än den mängd som behövs för att uppnå den önskade frekvensupplösningen, är en standardteknik att utföra flera DFT, till exempel för att skapa ett spektrogram . Om det önskade resultatet är ett effektspektrum och brus eller slumpmässighet förekommer i data, är medelvärdesberäkning av magnitudkomponenterna för de multipla DFT:erna en användbar procedur för att reducera variansen i spektrumet (även kallat ett periodogram i detta sammanhang); två exempel på sådana tekniker är Welch-metoden och Bartlett-metoden ; det allmänna ämnet för att uppskatta effektspektrumet för en brusig signal kallas spektral uppskattning .

En sista källa till distorsion (eller kanske illusion ) är själva DFT, eftersom det bara är ett diskret sampling av DTFT, som är en funktion av en kontinuerlig frekvensdomän. Det kan mildras genom att öka upplösningen av DFT. Denna procedur illustreras i § Sampling av DTFT .

• Proceduren hänvisas ibland till som nollutfyllnad , vilket är en speciell implementering som används i samband med algoritmen för snabb Fourier-transform (FFT). Ineffektiviteten i att utföra multiplikationer och additioner med nollvärde "sampel" är mer än uppvägd av den inneboende effektiviteten hos FFT.
• Som redan nämnts sätter läckage en gräns för DTFT:s inneboende upplösning. Så det finns en praktisk gräns för fördelen som kan erhållas från en finkornig DFT.

Partiella differentialekvationer

Diskreta Fouriertransformer används ofta för att lösa partiella differentialekvationer , där återigen DFT används som en approximation för Fourierserien ( som återvinns i gränsen för oändligt N ). Fördelen med detta tillvägagångssätt är att det expanderar signalen i komplexa exponentialer e ^inx , som är egenfunktioner för differentiering: d / dx e ^inx = i e ^inx . Således, i Fourierrepresentationen är differentiering enkel - vi multiplicerar bara med i . (Observera dock att valet av n inte är unikt på grund av aliasing; för att metoden ska vara konvergent bör ett val liknande det i den trigonometriska interpolationsavsnittet ovan användas.) En linjär differentialekvation med konstanta koefficienter omvandlas till en lättlöslig algebraisk ekvation. Man använder sedan den inversa DFT för att omvandla resultatet tillbaka till den vanliga rumsliga representationen. Ett sådant tillvägagångssätt kallas en spektral metod .

DCT:er används också i stor utsträckning för att lösa partiella differentialekvationer med spektrala metoder, där de olika varianterna av DCT motsvarar något olika jämna/udda gränsförhållanden vid de två ändarna av arrayen.

Laplacetransformer används för att lösa partiella differentialekvationer. Den allmänna teorin för att erhålla lösningar i denna teknik är utvecklad av satser om Laplace-transform i n dimensioner.

Den flerdimensionella Z-transformen kan också användas för att lösa partiella differentialekvationer.

Bildbehandling för konstens ytanalys av FFT

En mycket viktig faktor är att vi måste tillämpa en oförstörande metod för att få fram dessa sällsynta värdesaker information (från HVS synvinkel, är fokuserad på hel kolorimetrisk och rumslig information) om konstverk och noll skada på dem. Vi kan förstå konsten genom att titta på en färgförändring eller genom att mäta ytans enhetlighetsförändring. Eftersom hela bilden kommer att vara väldigt stor, så använder vi ett dubbelt upphöjt cosinusfönster för att trunkera bilden:

$w(x,y)={\frac {1}{4}}\left( 1+\cos {\frac {x\pi }{N}}\right)\left(1+\cos {\frac {y\pi}{N}}\right)$

där N är bildens dimension och x , y är koordinaterna från mitten av bilden spänner från 0 till N /2. Författaren ville beräkna ett lika värde för rumslig frekvens som:

${\begin{aligned}A_{m}(f)^{2}=\ vänster[\summa _{i=-f}^{f}\right.&\operatörsnamn {FFT} (-f,i)^{2}+\summa _{i=-f}^{f}\operatörsnamn {FFT} (f,i)^{2}\\[5pt]&\left.{}+\summa _{i=-f+1}^{f-1}\operatörsnamn {FFT} (i,- f)^{2}+\summa _{i=-f+1}^{f-1}\operatörsnamn {FFT} (i,f)^{2}\right]\end{aligned}}$

där "FFT" betecknar den snabba Fouriertransformen, och f är de rumsliga frekvensområdena från 0 till N /2 – 1 . Den föreslagna FFT-baserade avbildningsmetoden är diagnostisk teknik för att säkerställa en lång livslängd och stabil för odling av konst. Detta är en enkel, billig som kan användas på museer utan att påverka deras dagliga användning. Men denna metod tillåter inte ett kvantitativt mått på korrosionshastigheten.

Tillämpning på svagt olinjär kretssimulering

Ett exempel på en svagt olinjär krets

Den inversa flerdimensionella Laplace-transformen kan appliceras för att simulera olinjära kretsar. Detta görs genom att formulera en krets som ett tillståndsrum och expandera den omvända Laplace-transformen baserat på Laguerre-funktionsexpansion .

Laguerre-metoden kan användas för att simulera en svagt olinjär krets och Laguerre-metoden kan invertera en flerdimensionell Laplace-transform effektivt med hög noggrannhet.

Det observeras att en hög noggrannhet och betydande hastighet kan uppnås för simulering av stora olinjära kretsar med användning av flerdimensionella Laplace-transformer.

Se även

• Diskret cosinustransform
• Lista över Fourier-relaterade transformer
• Lista över Fourier-analysämnen
• Flerdimensionell diskret faltning
• 2D Z-transform
• Flerdimensionell empirisk sönderdelning
• Flerdimensionell signalrekonstruktion