Faktoriellt momentmått

Inom sannolikhet och statistik är ett faktoriellt momentmått en matematisk storhet, funktion eller, mer exakt, mått som definieras i relation till matematiska objekt som kallas punktprocesser , som är typer av stokastiska processer som ofta används som matematiska modeller av fysikaliska fenomen som kan representeras som slumpmässigt placerade punkter i tid , rum eller båda. Momentmått generaliserar idén om faktoriella moment , som är användbara för att studera icke-negativa heltalsvärde slumpvariabler .

Det första faktoriella momentmåttet för en punktprocess sammanfaller med dess första momentmått eller intensitetsmått , vilket ger det förväntade eller genomsnittliga antalet punkter för punktprocessen som finns i någon region av rymden. I allmänhet, om antalet punkter i någon region betraktas som en slumpvariabel, så är momentfaktormåttet för denna region faktormomentet för denna slumpvariabel. Faktoriella momentmått kännetecknar helt en bred klass av punktprocesser, vilket innebär att de kan användas för att unikt identifiera en punktprocess.

Om ett faktoriellt momentmått är absolut kontinuerligt , sägs det med avseende på Lebesgue-måttet ha en densitet (vilket är en generaliserad form av en derivata ), och denna täthet är känd under ett antal namn som faktoriell momentdensitet och produktdensitet , såväl som koincidensdensitet , ledintensitet , korrelationsfunktion eller multivariat frekvensspektrum De första och andra faktoriella momentdensiteterna för en punktprocess används i definitionen av parkorrelationsfunktionen , vilket ger ett sätt att statistiskt kvantifiera styrkan hos interaktion eller korrelation mellan punkter i en punktprocess.

Faktoriella momentmått tjänar som användbara verktyg i studiet av punktprocesser såväl som de relaterade områdena stokastisk geometri och rumslig statistik , som tillämpas inom olika vetenskapliga och tekniska discipliner som biologi , geologi , fysik och telekommunikation .

Punktprocessbeteckning

Huvudartikel: Point process notation

Punktprocesser är matematiska objekt som definieras på något underliggande matematiskt utrymme . Eftersom dessa processer ofta används för att representera samlingar av punkter slumpmässigt utspridda i rum, tid eller båda, är det underliggande utrymmet vanligtvis ett d -dimensionellt euklidiskt utrymme betecknat här med R ^d , men de kan definieras på mer abstrakta matematiska utrymmen.

Punktprocesser har ett antal tolkningar, vilket återspeglas av de olika typerna av punktprocessnotation . Till exempel, om en punkt $\textstyle x$ tillhör eller är medlem av en punktprocess, betecknad med N , kan detta skrivas som:

$\textstyle x\in {N},$

och representerar punktprocessen som tolkas som en slumpmässig uppsättning . Alternativt skrivs antalet punkter av N som finns i någon Borel-uppsättning B ofta som:

$\textstyle {N}(B),$

vilket återspeglar en slumpmässig måtttolkning för punktprocesser. Dessa två notationer används ofta parallellt eller omväxlande.

Definitioner

n: te faktorkraften för en punktprocess

För något positivt heltal $\textstyle n=1,2,\ldots$ , den $\textstyle n$ -te faktorpotensen för en punktprocess $\textstyle { N}$ på $\textstyle {\textbf {R}}^{d}$ definieras som:

${N}^{(n)} (B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\summa _{(x_{1}\neq \dots \neq x_{n})\in {N}}\prod _{i=1 }^{n}\mathbf {1} _{B_{i}}(x_{i})$

där $\textstyle B_{1},...,B_{n}$ är en samling av inte nödvändigtvis disjunkta Borel-uppsättningar i $\textstyle {\textbf {R}}^{d}$ , som bildar en $\textstyle n$ -faldig kartesisk produkt av mängder betecknade med:

$B_{1}\times \cdots \times B_{n}.$

Symbolen $\textstyle \mathbf {1}$ betecknar en indikatorfunktion så att $\textstyle \mathbf {1} _{B_{1}}$ är ett Dirac-mått för mängden $\textstyle B_{n}$ . Summeringen uttrycket ovan utförs över alla $\textstyle n$ - tuplar av distinkta punkter, inklusive permutationer , som kan jämföras med definitionen av n :te potensen av en punktprocess . Symbolen $\textstyle \Pi$ betecknar multiplikation medan förekomsten av olika punktprocessnotation innebär att den n -te faktorpotensen för en punktprocess ibland definieras med annan notation.

n :e faktoriella momentmåttet

Det n :te faktoriella momentmåttet eller n: te ordningens faktoriella momentmått definieras som:

$M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=E[{N}^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})],$

där E betecknar förväntan ( operator ) för punktprocessen N. Med andra ord är det n -te faktoriella momentmåttet förväntan på den n :te faktorkraften för någon punktprocess.

Det n: te faktoriella momentmåttet för en punktprocess N definieras ekvivalent av:

$\int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})M^{(n)}(dx_{ 1},\ldots ,dx_{n})=E\vänster[\summa _{(x_{1}\neq \cdots \neq x_{n})\in {N}}f(x_{1},\ ldots ,x_{n})\right],$

där $f$ är valfri icke-negativ mätbar funktion på ${\displaystyle {\textbf {R}}^{nd}} ,$ och summeringen ovan utförs över alla $n$ tuplar av distinkta punkter, inklusive permutationer. Följaktligen är det faktoriella momentmåttet definierat så att det inte finns några punkter som upprepas i produktuppsättningen, i motsats till momentmåttet.

Första faktoriella momentmåttet

Det första faktoriella momentmåttet $\textstyle M^{1}$ sammanfaller med det första momentmåttet :

$M^{(1)}(B)=M^{1}(B)=E[{N} (B)],$

där $\textstyle M^{1}$ är känt, bland andra termer, som intensitetsmåttet eller medelmåttet , och tolkas som det förväntade antalet punkter av $\textstyle {N}$ som hittats eller finns i uppsättningen $\textstyle B$

Andra faktoriellt momentmått

Det andra faktoriella momentmåttet för två Borel-uppsättningar $\textstyle A$ och $\textstyle B$ är:

$M^{(2)}(A\ gånger B)=M^{2}(A\ gånger B)-M^{1}(A\cap B).$

Namnförklaring

För en del Borel-uppsättning $\textstyle B$ avslöjas namnet på detta mått när det ${\displaystyle \textstyle n\,}:$ e faktoriella momentmåttet reduceras till:

$M^{(n)}( B\times \cdots \times B)=E[{N}(B)({N}(B)-1)\cdots ({N}(B)-n+1)],$

vilket är det $\textstyle n\,$ -te faktormomentet för den slumpmässiga variabeln $\textstyle {N}(B)$ .

Faktoriell momenttäthet

Om ett faktoriellt momentmått är absolut kontinuerligt , så har det en densitet (eller mer exakt, en Radon-Nikodym-derivat eller densitet) med avseende på Lebesgue-måttet och denna densitet är känd som den faktoriella momentdensiteten eller produktdensiteten , ledintensitet , korrelationsfunktion eller multivariat frekvensspektrum . Betecknar den $\textstyle n$ -th faktoriella momentdensiteten med $\textstyle \mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ , den definieras i förhållande till ekvationen:

$M^{(n)}(B_{1}\times \ldots \times B_{n})=\int _{B_{1}}\cdots \int _{B_{n}}\mu ^ {(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}.$

Vidare betyder detta följande uttryck

$E\left[\summa _{(x_{1}\neq \cdots \neq x_{n})\in {N}}f(x_{1} ,\ldots ,x_{n})\right]=\int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\mu ^{(n )}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n},$

där $\textstyle f$ är en icke-negativ gränsad mätbar funktion definierad på $\textstyle {\textbf {R}}^{n}$ .

Parkorrelationsfunktion

I rumslig statistik och stokastisk geometri, för att mäta det statistiska korrelationsförhållandet mellan punkter i en punktprocess, definieras parkorrelationsfunktionen för en punktprocess ${\displaystyle {N}} som:$

$\rho (x_{1},x_{ 2})={\frac {\mu ^{(2)}(x_{1},x_{2})}{\mu ^{(1)}(x_{1})\mu ^{(1) }(x_{2})}},$

där punkterna $x_{1},x_{2}\i R^{d}$ . I allmänhet $\rho (x_{1},x_{2})\geq 0$ medan $\rho (x_ {1},x_{2})=1$ motsvarar ingen korrelation (mellan punkter) i typisk statistisk mening.

Exempel

Poisson point process

För en allmän Poisson-punktsprocess med intensitetsmått $\textstyle \Lambda$ ges det ${\displaystyle \textstyle n} -te faktoriella momentmåttet av uttrycket:$

$M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{ n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],$

där $\textstyle \Lambda$ är intensitetsmåttet eller första momentmåttet för ${\displaystyle \textstyle {N}} ,$ som för vissa Borel-mängder $\textstyle B$ ges av:

$\Lambda (B)=M^{1}(B)=E[{N}(B)].$

För en homogen Poisson-punktsprocess är det $\textstyle n$ -te faktoriella momentmåttet helt enkelt:

$M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i }|,$

där $\textstyle |B_{i}|$ är längden, arean eller volymen (eller mer allmänt, Lebesgue-måttet ) för $\textstyle B_{i}$ . Dessutom är den $\textstyle n$ -th faktoriella momentdensiteten:

$\mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lambda ^{n}.$

Par-korrelationsfunktionen för den homogena Poisson-punktprocessen är helt enkelt

$\rho (x_{1},x_{2})=1,$

vilket återspeglar bristen på interaktion mellan punkter i denna punktprocess.

Faktoriell momentexpansion

Förväntningarna på allmänna funktionaler för enkla punktprocesser, förutsatt att vissa matematiska förhållanden, har (möjligen oändliga) expansioner eller serier som består av motsvarande faktoriella momentmått. I jämförelse med Taylor-serien , som består av en serie derivator av någon funktion, spelar det n: te faktoriella momentmåttet roll som det för den n :te derivatan Taylor-serien. Med andra ord, givet ett allmänt funktionellt f för någon enkel punktprocess, betyder detta Taylor-liknande teorem för icke-Poisson-punktsprocesser att en expansion existerar för förväntan av funktionen E , förutsatt att något matematiskt villkor är uppfyllt, vilket säkerställer konvergens av expansionen.

Se även

• Faktoriellt ögonblick
• Ögonblick
• Momentmått