Abstraktion (matematik)

Abstraktion i matematik är processen att extrahera de underliggande strukturerna , mönstren eller egenskaperna hos ett matematiskt koncept, ta bort allt beroende av verkliga objekt som det ursprungligen kan ha varit kopplat till, och generalisera det så att det har bredare tillämpningar eller matchning bland annat abstrakt. beskrivningar av likvärdiga fenomen . Två av de mest abstrakta områdena inom modern matematik är kategoriteori och modellteori .

Beskrivning

Många områden av matematik började med studiet av verkliga problem, innan de underliggande reglerna och begreppen identifierades och definierades som abstrakta strukturer . Till exempel geometri sitt ursprung i beräkningen av avstånd och ytor i den verkliga världen, och algebra började med metoder för att lösa problem i aritmetik .

Abstraktion är en pågående process inom matematik och den historiska utvecklingen av många matematiska ämnen uppvisar en progression från det konkreta till det abstrakta. Till exempel gjordes de första stegen i abstraktionen av geometri historiskt av de gamla grekerna, med Euklids element som den tidigaste bevarade dokumentationen av plangeometrins axiom – även om Proclus berättar om en tidigare axiomatisering av Hippokrates från Chios . På 1600-talet introducerade Descartes kartesiska koordinater som möjliggjorde utvecklingen av analytisk geometri . Ytterligare steg i abstraktionen togs av Lobachevsky , Bolyai , Riemann och Gauss , som generaliserade begreppen geometri för att utveckla icke-euklidiska geometrier . Senare på 1800-talet generaliserade matematiker geometrin ytterligare och utvecklade områden som geometri i n dimensioner , projektiv geometri , affin geometri och finit geometri . Slutligen Felix Kleins " Erlangen-program " det underliggande temat för alla dessa geometrier, och definierade var och en av dem som studien av egenskaper som är invarianta under en given grupp av symmetrier . Denna nivå av abstraktion avslöjade samband mellan geometri och abstrakt algebra .

I matematik kan abstraktion vara fördelaktigt på följande sätt:

Den avslöjar djupa samband mellan olika områden inom matematiken.
Kända resultat inom ett område kan antyda gissningar inom ett annat relaterat område.
Tekniker och metoder från ett område kan användas för att bevisa resultat inom andra relaterade områden.
Mönster från ett matematiskt objekt kan generaliseras till andra liknande objekt i samma klass.

Å andra sidan kan abstraktion också vara ofördelaktigt genom att mycket abstrakta begrepp kan vara svåra att lära sig. En grad av matematisk mognad och erfarenhet kan behövas för konceptuell assimilering av abstraktioner.

Bertrand Russell , i The Scientific Outlook (1931), skriver att "Vanligt språk är totalt olämpligt för att uttrycka vad fysiken verkligen hävdar, eftersom vardagslivets ord inte är tillräckligt abstrakta. Endast matematik och matematisk logik kan säga så lite som fysikern menar. att säga."

Se även

Vidare läsning

Bajnok, Béla (2013). En inbjudan till abstrakt matematik . Springer. ISBN 978-1-4614-6635-2 .