Förfiningsbar funktion

Inom matematiken , inom området wavelet- analys, är en förfinbar funktion en funktion som uppfyller någon form av självlikhet . En funktion $\varphi$ kallas förfinbar med avseende på masken $h$ om

$\varphi (x)=2\cdot \sum _{k=0}^{N-1} h_{k}\cdot \varphi (2\cdot xk)$

Detta tillstånd kallas förfiningsekvation , dilatationsekvation eller tvåskalig ekvation .

Med hjälp av faltningen (betecknad med en stjärna, *) för en funktion med en diskret mask och dilatationsoperatorn $D$ kan man skriva mer kortfattat:

$\varphi =2\cdot D_{1/2}(h*\varphi )$

Det betyder att man erhåller funktionen, igen, om man konvolverar funktionen med en diskret mask och sedan skalar tillbaka den. Det finns en likhet med itererade funktionssystem och de Rham-kurvor .

Operatorn $\varphi \mapsto 2\cdot D_{1/2}(h*\varphi )$ är linjär. En förfinbar funktion är en egenfunktion för den operatorn. Dess absoluta värde är inte unikt definierat. Det vill säga, om ${\displaystyle \varphi } är en förfinbar funktion, så är$ funktionen $c\cdot \varphi$ för varje $c$ också förfinbar.

Dessa funktioner spelar en grundläggande roll i wavelet -teorin som skalningsfunktioner .

Egenskaper

Värden på integrerade punkter

En förfinningsbar funktion definieras endast implicit. Det kan också vara så att det finns flera funktioner som är förfiningsbara med avseende på samma mask. Om $\varphi$ ska ha ändligt stöd och funktionsvärdena vid heltalsargument önskas, så blir tvåskalekvationen ett system av samtidiga linjära ekvationer .

Låt $a$ vara det minsta indexet och $b$ vara det maximala indexet för element som inte är noll i $h$ , då får man

$${\begin{pmatrix}\varphi (a)\\\varphi (a+1)\\\vdots \\\varphi (b)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{a }&&&&&\\h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&&&\\h_{a+4}&h_{a+3}&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a }&\\\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}&h_{b-3}&h_{b-4 }\\&&&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}\\&&&&&h_{b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varphi (a)\\\varphi (a+1 )\\\vdots \\\varphi (b)\end{pmatrix}}.$$

Använd diskretiseringsoperatorn , kalla den $Q$ här, och överföringsmatrisen för $h$ , benämnd $T_{h}$ , detta kan skrivas kortfattat som

$$Q\varphi =T_{h}Q\varphi .$$

Detta är återigen en fastpunktsekvation . Men denna kan nu betraktas som ett egenvektor - egenvärdesproblem . Det vill säga, en ändligt stödd raffinerbar funktion existerar endast (men inte nödvändigtvis), om $T_{h}$ har egenvärdet 1.

Värderingar på dyadiska punkter

Från värdena på integralpunkter kan du härleda värdena på dyadiska punkter, dvs punkter av formen $k\cdot 2^{-j}$ , med $k\in \ mathbb {Z}$ och $j\in \mathbb {N}$ .

${\displaystyle \varphi =D_{1/2}(2\cdot (h*\varphi )$

$D_{2}\varphi =2\cdot (h*\varphi )$

$Q (D_{2}\varphi )=Q(2\cdot (h*\varphi ))=2\cdot (h*Q\varphi )$

Stjärnan betecknar faltningen av ett diskret filter med en funktion. Med detta steg kan du beräkna värdena vid punkter av formen ${\frac {k}{2}}$ . Genom att ersätta itererat $\varphi$ med $D_{2}\varphi$ får man värdena på alla finare skalor.

$$Q(D_{2^{j+1}}\varphi )=2\cdot (h*Q( D_{2^{j}}\varphi ))$$

Veck

Om $\varphi$ är förfiningsbar med avseende på $h$ , och $\psi$ är förfinbar med avseende på $g$ , då $\varphi * \psi$ är förfiningsbar med avseende på $h*g$ .

Differentiering

Om $\varphi$ är förfiningsbar med avseende på $h$ , och derivatan $\varphi '$ finns, så är $\varphi '$ förfiningsbar med avseende på $2\cdot h$ . Detta kan tolkas som ett specialfall av faltningsegenskapen, där en av faltningsoperanderna är en derivata av Dirac-impulsen .

Integration

Om $\varphi$ är förfiningsbar med avseende på $h$ , och det finns en antiderivata $\Phi$ med ${\textstyle \ Phi (t)=\int _{0}^{t}\varphi (\tau )\,\mathrm {d} \tau } , sedan antiderivatan t ↦ Φ ( t$ ) $\ Phi (t)+c}$ kan förfinas med avseende på mask ${\textstyle {\frac {1}{2}}\cdot h}$ där konstanten $c$ måste uppfylla ${\textstyle c\cdot \left(1-\summa _{j}h_{j}\right)=\summa _{j}h_{j }\cdot \Phi (-j)}$ .

Om $\varphi$ har begränsat stöd , då kan vi tolka integration som faltning med Heaviside-funktionen och tillämpa faltningslagen.

Skalära produkter

Beräkning av de skalära produkterna för två raffinerbara funktioner och deras översättningar kan delas upp till de två ovanstående egenskaperna. Låt $T$ vara översättningsoperatorn. Det håller

$$\langle \varphi ,T_{k}\psi \varphi = *\langle \psi ^{*},T_{k}\delta \rangle =(\varphi *\psi ^{*})(k)$$

där $\psi ^{*}$ är adjointen till $\psi$ med avseende på faltning , dvs. $\psi ^{*}$ är den vända och komplexa konjugerade versionen av $\psi$ , dvs $\psi ^{*}(t)={\overline {\psi (-t)}}$ .

På grund av egenskapen ovan är $\varphi *\psi ^{*}$ förfiningsbar med avseende på $h*g^{*}$ , och dess värden vid integralargument kan beräknas som egenvektorer för överföringsmatrisen. Denna idé kan lätt generaliseras till integraler av produkter med mer än två förädlingsbara funktioner.

Smidighet

En förfinbar funktion har vanligtvis en fraktal form. Utformningen av kontinuerliga eller smidiga raffinerbara funktioner är inte uppenbar. Innan man tar itu med framtvingande jämnhet är det nödvändigt att mäta jämnheten hos förfiningsbara funktioner. Med hjälp av Villemoes-maskinen kan man beräkna jämnheten hos raffinerbara funktioner i termer av Sobolev-exponenter .

delas förfiningsmasken ${\displaystyle h} in i ett filter$$b$ , som är en potens av jämnhetsfaktorn $(1,1)$ (detta är en binomial mask) och en vila $q$ . Grovt sagt, binomialmasken $b$ gör jämnhet och $q$ representerar en fraktal komponent, vilket minskar jämnheten igen. Nu är Sobolev-exponenten ungefär i storleksordningen $b$ minus logaritmen av spektralradien för $T_{q*q^{*}}$ .

Generalisering

Begreppet förfiningsbara funktioner kan generaliseras till funktioner av mer än en variabel, det vill säga funktioner från $\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ . Den enklaste generaliseringen handlar om tensorprodukter . Om $\varphi$ och $\psi$ är förfiningsbara med avseende på $h$ respektive $g$ , då $\varphi \otimes \psi$ är förfiningsbar med avseende på $h\otimes g$ .

Schemat kan generaliseras ännu mer till olika skalningsfaktorer med avseende på olika dimensioner eller till och med att blanda data mellan dimensioner. Istället för att skala med skalär faktor som 2, omvandlas signalen koordinaterna av en matris $M$ av heltal. För att schemat ska fungera måste de absoluta värdena för alla egenvärden för $M$ vara större än ett. (Kanske det också räcker att ${\displaystyle \left|\det M\right|>1} .$ )

Formellt förändras inte tvåskaliga ekvationen särskilt mycket:

$$\varphi (x)=\left|\det M\right|\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} ^ {d}}h_{k}\cdot \varphi (M\cdot xk)$$

$$\varphi =\left|\det M\right|\cdot D_{M^{-1}}(h*\varphi )$$

Exempel

• Om definitionen utvidgas till distributioner är Dirac-impulsen förfiningsbar med avseende på enhetsvektorn ${\displaystyle \delta},$ som är känd som Kronecker delta . Den $n$ -te derivatan av Dirac-fördelningen är raffinerad med avseende på $2^{n}\cdot \delta$ .
• Heaviside -funktionen kan förfinas med avseende på ${\frac {1}{2}}\cdot \delta$ .
• De trunkerade potensfunktionerna med exponent $n$ är förfiningsbara med avseende på ${\frac {1}{2^{n+1}}}\cdot \delta$ .
• Den triangulära funktionen är en förfinningsbar funktion. B-spline- funktioner med successiva integralnoder $[0,1)$ förfiningsbara på grund av faltningssatsen och förfinbarheten av den karakteristiska funktionen för intervallet (en lådbilsfunktion ).
• Alla polynomfunktioner är förfiningsbara. För varje förfiningsmask finns det ett polynom som är unikt definierat upp till en konstant faktor. För varje polynom av grad $n$ finns det många förfiningsmasker som alla skiljer sig åt med en mask av typen $v*(1,-1)^{n+ 1}$ för valfri mask $v$ och faltningseffekten $(1,-1)^{n+1}$ .
• En rationell funktion $\varphi$ kan förfinas om och endast om den kan representeras med partiella bråk som $\varphi (x)= \sum _{i\in \mathbb {Z} }{\frac {s_{i}}{(xi)^{k}}}} , där k {\displaystyle k$ är $positivt$ naturligt tal och s $\ displaystyle s}$ är en reell sekvens med ändligt många icke-nollelement (ett Laurent-polynom ) så att $s|(s\uparrow 2)$ (läs: ${ \displaystyle \exists h(z)\i \mathbb {R} [z,z^{-1}]\ h(z)\cdot s(z)=s(z^{2})} )$ . Laurentpolynomet $2^{k-1}\cdot h$ är den associerade förfiningsmasken.

Se även

• Indelningsschema