Triangulär funktion

Ej att förväxla med trigonometriska funktioner eller Schwarz triangelfunktion .

Exemplarisk triangulär funktion

En triangulär funktion (även känd som en triangelfunktion , hattfunktion eller tältfunktion ) är en funktion vars graf tar formen av en triangel. Ofta är detta en likbent triangel med höjd 1 och bas 2 i vilket fall den kallas den triangulära funktionen. Triangulära funktioner är användbara i signalbehandling och kommunikationssystemteknik som representationer av idealiserade signaler, och den triangulära funktionen specifikt som en integrerad transformeringskärnfunktion från vilken mer realistiska signaler kan härledas, till exempel i kärndensitetsuppskattning . Den har också tillämpningar inom pulskodmodulering som en pulsform för sändning av digitala signaler och som ett matchat filter för att ta emot signalerna. Det används också för att definiera det triangulära fönstret som ibland kallas Bartlett-fönstret .

Definitioner

Den vanligaste definitionen är som en styckvis funktion:

${\begin{aligned}\operatörsnamn {tri} (x)=\Lambda (x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\ stor (}1-|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-|x|,&|x|<1;\\0&{\text{annars}}.\ \\end{cases}}\end{aligned}}$

På motsvarande sätt kan det definieras som faltningen av två identiska rektangulära enheter :

${\begin{aligned}\operatörsnamn {tri} (x)&=\operatörsnamn {rect} (x)*\operatörsnamn {rect} (x)\\&=\int _{-\infty }^{ \infty }\operatörsnamn {rect} (x-\tau )\cdot \operatörsnamn {rect} (\tau )\,d\tau .\\\end{aligned}}$

Den triangulära funktionen kan också representeras som produkten av de rektangulära och absoluta värdefunktionerna:

$\operatörsnamn {tri} (x)=\operatörsnamn {rect} (x/2){\big (}1-|x|{\big )}.$

Alternativ triangelfunktion

Observera att vissa författare istället definierar triangelfunktionen så att den har en bas med bredd 1 istället för bredd 2:

${\begin{aligned}\operatörsnamn {tri} (2x)=\Lambda (2x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\ stor (}1-2|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-2|x|,&|x|<{\tfrac {1}{2}};\ \0&{\text{annars}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}$

I sin mest allmänna form är en triangulär funktion vilken linjär B-spline som helst :

$\operatorname {tri} _{j}(x)={\begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_{j}-x_{j-1}),&x_{j -1}\leq x<x_{j};\\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_{j}),&x_{j}\leq x<x_{j +1};\\0&{\text{annars}}.\end{cases}}$

Medan definitionen överst är ett specialfall

$\Lambda (x)=\operatörsnamn {tri} _{j}(x),$

där $x_{j-1}=-1$ , $x_{j}=0$ och $x_{j+ 1}=1$ .

En linjär B-spline är detsamma som en kontinuerlig styckvis linjär funktion $f(x)$ , och denna allmänna triangelfunktion är användbar för att formellt definiera $f(x)$ som

$f(x)=\sum _{j}y_{j}\cdot \operatorname {tri} _{j}(x),$

där $x_{j}<x_{j+1}$ för alla heltal $j$ . Den bitvis linjära funktionen passerar genom varje punkt uttryckt som koordinater med ordnat par ${\displaystyle (x_{j},y_{j})} ,$ dvs.

$f(x_{j})=y_{j}$ .

Skalning

För valfri parameter $a\neq 0$ :

${\begin{aligned}\operatörsnamn {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {1 }{|a|}}\operatörsnamn {rect} \left({\tfrac {\tau }{a}}\right)\cdot \operatörsnamn {rect} \left({\tfrac {t-\tau }{a }}\right)\,d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|;\\0&{\text{annars}}.\end {fall}}\end{aligned}}$

Fouriertransform

Transformen bestäms enkelt med hjälp av faltningsegenskapen för Fourier-transformationer och Fourier-transformen av den rektangulära funktionen :

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatörsnamn {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{ \operatörsnamn {rect} (t)*\operatörsnamn {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatörsnamn {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F} }\{\operatörsnamn {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatörsnamn {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^ {2}(f),\end{aligned}}$

där $\operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$ är den normaliserade sinc-funktionen .

Se även

• Källén funktion , även känd som triangelfunktion
• Tältkarta
• Triangulär fördelning
• Triangelvåg , en bitvis linjär periodisk funktion
• Trigonometriska funktioner