Överföringsmatris

Den här artikeln handlar om överföringsmatrisen i wavelet-teori. För överföringsmatris i styrsystem, se Överföringsfunktionsmatris . För överföringsmatrismetoden i statistisk fysik, se överföringsmatrismetod . För överföringsmatrismetoden i optik, se Överföringsmatrismetod (optik) . För överföringsmatrisen i dynamisk systemteori, se Transfer operator . För en enskild skalär, se Överföringskoefficient (disambiguation) .

I tillämpad matematik är överföringsmatrisen en formulering i termer av en block-Toeplitz-matris av tvåskaliga ekvationen, som kännetecknar raffinerbara funktioner . Refinerbara funktioner spelar en viktig roll i wavelet- teori och finita elementteori .

För masken $h$ , som är en vektor med komponentindex från $a$ till $b$ , överföringsmatrisen för $h$ , kallar vi den ${\ displaystyle T_{h}}$ här, definieras som

$(T_{h})_{j,k}=h_{2\cdot jk}.$

Mer omfattande

$T_{h}={\begin{pmatrix}h_{a}&&&&&\\h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&&&\\h_{a+4}&h_{a+ 3}&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&\\\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&h_{b}&h_{b-1} &h_{b-2}&h_{b-3}&h_{b-4}\\&&&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}\\&&&&&h_{b}\end{pmatrix}}.$

Effekten av $T_{h}$ kan uttryckas i termer av nedsamplingsoperatorn " $\downarrow$ ":

$T_{h}\cdot x=(h*x)\nedåtpil 2.$

Egenskaper

• $T_{h}\cdot x=T_{x}\cdot h$ .
• Om du släpper den första och den sista kolumnen och flyttar de udda indexerade kolumnerna till vänster och de jämna indexerade kolumnerna till höger, får du en transponerad Sylvester-matris .
• Determinanten för en överföringsmatris är väsentligen en resultant.

Mer exakt:

Låt $h_{\mathrm {e} }$ vara de jämna indexerade koefficienterna för $h$ ( $(h_{\mathrm { e} })_{k}=h_{2k}$ ) och låt $h_{\mathrm {o} }$ vara de udda-indexerade koefficienterna för $h$ ( ${\displaystyle (h_{\mathrm {o} })_{k}=h_{2k+1}} )$ .

Då $\det T_{h}=(-1)^{ \lfloor {\frac {b-a+1}{4}}\rfloor }\cdot h_{a}\cdot h_{b}\cdot \mathrm {res} (h_{\mathrm {e} },h_{ \mathrm {o} })$ , där $\mathrm {res}$ är resultanten .

Denna anslutning möjliggör snabb beräkning med den euklidiska algoritmen .

• För spåret av överföringsmatrisen av konvolverade masker gäller

$\mathrm {tr} ~T_{g*h}=\mathrm {tr} ~T_ {g}\cdot \mathrm {tr} ~T_{h}$

• För determinanten för överföringsmatrisen för konvolverad mask gäller

${\displaystyle \det T_{g*h}=\det T_{g}\cdot \det T_{h}\cdot \mathrm {res} (g_{-},h)} där g − {$

\ ${ -}}$ betecknar masken med alternerande tecken, dvs $(g_{-})_{k}=(-1)^{k}\cdot g_ {k}$ .

• Om $T_{h}\cdot x=0$ , då $T_{g*h}\cdot (g_{-}* x)=0$ .

Detta är en konkretisering av den bestämmande egenskapen ovan. Från determinantegenskapen vet man att $T_{g*h}$ är singular närhelst $T_{h}$ är singular. Den här egenskapen berättar också hur vektorer från nollrymden av T $\displaystyle T_{h}}$ kan konverteras till nollrymdsvektorer av $T_{g*h}$ .

• Om $x$ är en egenvektor till $T_{h}$ med avseende på egenvärdet $\lambda$ , dvs

$T_{h} \cdot x=\lambda \cdot x$ ,

sedan är $x*(1,-1)$ en egenvektor till $T_{h *(1,1)}$ med avseende på samma egenvärde, dvs

${\ displaystyle T_{h*(1,1)}\cdot (x*(1,-1))=\lambda \cdot (x*(1,-1))}$ .

• Låt $\lambda _{a},\dots ,\lambda _{b}$ vara egenvärdena för $T_{h}$ , vilket innebär ${\displaystyle \lambda _{a}+\dots +\lambda _{b}=\mathrm {tr} ~T_{h}} och mer$ allmänt $\lambda _{a}^{n}+\dots +\lambda _{b}^{n}=\mathrm {tr} (T_{h}^{n} )$ . Denna summa är användbar för att uppskatta spektralradien för $T_{h}$ . Det finns en alternativ möjlighet att beräkna summan av egenvärdespotenser, som är snabbare för små $n$ .

( Låt $C_{k}h$ vara periodiseringen av $h$ med avseende på period $2^{k}-1$ . Det vill säga $C_{k}h$ är ett cirkulärt filter, vilket betyder att komponentindexen är restklasser med avseende på modulen $2^{k}-1$ . Sedan håller den med uppsamplingsoperatorn ${\displaystyle \uparrow$

$\mathrm {tr} (T_{h}^{n})=\left(C_{k}h*(C_{k}h\uparrow 2 )*(C_{k}h\uparrow 2^{2})*\cdots *(C_{k}h\uparrow 2^{n-1})\right)_{[0]_{2^{n }-1}}$

Egentligen behövs inte ${\displaystyle n-2} faltningar, utan endast$$2\cdot \log _{2}n$ ettor, när strategin tillämpas effektiv beräkning av krafter. Ännu mer kan tillvägagångssättet snabbas upp ytterligare med hjälp av Fast Fourier-transformen .

• Från föregående påstående kan vi härleda en uppskattning av spektralradien för $\varrho (T_{h})$ . Den håller

$\varrho (T_{h})\geq {\frac {a}{\sqrt {\#h}}}\geq {\ frac {1}{\sqrt {3\cdot \#h}}}$

där $\#h$ är storleken på filtret och om alla egenvärden är reella är det också sant att

$\varrho (T_{h})\leq a$ ,

där $a=\Vert C_{2}h\Vert _{2}$ .

Se även

• Hurwitz determinant

• Strang, Gilbert (1996). "Eigenvärden för $(\downarrow 2){H}$ och konvergens av kaskadalgoritmen". IEEE-transaktioner på signalbehandling . 44 : 233-238. doi : 10.1109/78.485920 .
• Thielemann, Henning (2006). Optimalt matchade wavelets (PhD-avhandling). (innehåller bevis på ovanstående egenskaper)