Extrem längd

I den matematiska teorin för konforma och kvasikonformella avbildningar är extremlängden av en samling kurvor $\Gamma$ ett mått på storleken på $\displaystyle \Gamma }$ { som är invariant under konforma mappningar. Mer specifikt, anta att $D$ är en öppen mängd i det komplexa planet och $\Gamma$ är en samling av banor i $D$ och $f :D\to D'$ är en konform mappning. Då är extremallängden för $\Gamma$ lika med extremallängden på bilden av $\Gamma$ under $f$ . Man arbetar också med konformmodulen för $\Gamma$ , den reciproka av extremallängden. Det faktum att extremallängd och konformmodul är konforma invarianter av $\Gamma$ gör dem till användbara verktyg i studiet av konforma och kvasi-konforma mappningar. Man arbetar också med extrema längder i dimensioner större än två och vissa andra metriska utrymmen , men det följande behandlar i första hand den tvådimensionella inställningen.

Definition av extremallängd

För att definiera extremallängd måste vi först introducera flera relaterade kvantiteter. Låt $D$ vara en öppen mängd i det komplexa planet. Antag att $\Gamma$ är en samling likriktbara kurvor i $D$ . Om $\rho :D\to [0,\infty ]$ är Borel-mätbar , så låter vi för varje likriktbar kurva $\gamma$

$L_{\rho }(\gamma ):=\int _{\gamma }\rho \,|dz|$

beteckna $\rho$ –längden av $\gamma$ , där $|dz|$ betecknar det euklidiska längdelementet. (Det är möjligt att ${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty } .$ ) Vad betyder detta egentligen? Om $\gamma :I\to D$ parametreras i något intervall $I$ , då $\int _{\gamma }\rho \,|dz|$ är integralen av den Borel-mätbara funktionen $\rho (\gamma (t))$ med avseende på Borelmåttet på $I$ för vilket måttet för varje delintervall $J\subset I$ är längden på begränsningen av $\gamma$ till $J$ . Med andra ord är det Lebesgue-Stieltjes-integralen $\int _{I}\rho (\gamma (t))\ ,d{\mathrm {längd} }_{\gamma }(t)$ , där ${\mathrm {längd} }_{\gamma }(t)$ är längden på begränsningen av $\gamma$ till $\{s\in I:s\leq t\}$ . Ställ även in

$L_{\rho }(\Gamma ):=\inf _{\gamma \in \Gamma }L_{\rho }(\gamma ).$

Arean av $\rho }$ displaystyle definieras som

$A(\rho ):=\int _{D}\rho ^{2}\,dx\,dy,$

och den extrema längden av $\Gamma$ är

$EL(\Gamma ):=\sup _{\rho }{\frac {L_{\rho }(\Gamma ) ^{2}}{A(\rho )}}\,,$

där det högsta är över alla Borel-mätbara $\rho :D\to [0,\infty ]$ med $0<A(\rho )<\infty$ . Om $\Gamma$ innehåller några icke-likriktbara kurvor och $\Gamma _{0}$ betecknar uppsättningen likriktbara kurvor i $\Gamma$ , då $EL(\Gamma )$ definieras som $EL(\Gamma _{0})$ .

Termen (konform) modul för $\Gamma$ hänvisar till $1/EL(\Gamma )$ .

Det extrema avståndet i $D$ mellan två uppsättningar i ${\overline {D}}$ är extrema längden på samlingen av kurvor i $D$ med en slutpunkt i en uppsättning och den andra slutpunkten i den andra uppsättningen.

Exempel

I detta avsnitt beräknas extremallängden i flera exempel. De tre första av dessa exempel är faktiskt användbara i applikationer med extremal längd.

Extremt avstånd i rektangel

Fixa några positiva tal $w,h>0$ , och låt $R$ vara rektangeln $\displaystyle R=(0,w) \ gånger (0,h)}$ . Låt $\Gamma$ vara mängden av alla ändliga längdkurvor $\gamma :(0,1)\to R$ som korsar rektangeln från vänster till höger, i betydelsen att $\lim _{t\to 0}\gamma (t)$ är på vänsterkanten $\{0\}\ gånger [0 ,h]$ av rektangeln, och $\lim _{t\to 1}\gamma (t)$ är på högerkanten ${\ displaystil \{w\}\ gånger [0,h]}$ . (Gränserna finns nödvändigtvis, eftersom vi antar att $\gamma$ har ändlig längd.) Vi ska nu bevisa att i detta fall

$EL(\Gamma )=w/h$

Först kan vi ta $\rho =1$ på $R$ . Denna $\rho$ ger $A(\rho )=w\,h$ och $L_{\rho }(\Gamma ) =w$ . Definitionen av $EL(\Gamma )$ som supremum ger då $EL(\Gamma )\geq w/h$ .

Den motsatta ojämlikheten är inte fullt så lätt. Betrakta en godtycklig Borel-mätbar $\rho :R\to [0,\infty ]$ så att $\ell :=L_{ \rho }(\Gamma )>0$ . För $y\in (0,h)$ , låt $\gamma _{y}(t)=i\,y+ w\,t$ (där vi identifierar $\mathbb {R} ^{2}$ med det komplexa planet). Sedan $\gamma _{y}\in \Gamma$ , och därmed $\ell \leq L_{\rho }(\gamma _{y})$ . Den senare ojämlikheten kan skrivas som

$\ell \leq \int _{0}^{1}\rho (i\,y+w\,t)\,w\,dt.$

Att integrera denna ojämlikhet över $y\in (0,h)$ innebär

$h\,\ell \leq \int _{0}^{h}\int _{0}^{1} \rho (i\,y+w\,t)\,w\,dt\,dy$ .

ger en förändring av variabeln $x=w\,t$ och en tillämpning av Cauchy–Schwarz-olikheten

$h\,\ell \leq \int _{0}^{h}\int _{0}^{w}\rho (x+i\,y)\,dx\,dy\leq {\ Bigl (}\int _{R}\rho ^{2}\,dx\,dy\int _{R}\,dx\,dy{\Bigr )}^{1/2}={\bigl (} w\,h\,A(\rho ){\bigr )}^{1/2}$ . Detta ger $\ell ^{2}/A(\rho )\leq w/h$ .

Därför ${\displaystyle EL(\Gamma )\leq w/h},$ efter behov.

Som beviset visar är extremlängden för $\Gamma$ densamma som extremallängden för den mycket mindre samlingen av kurvor $\{\gamma _{ y}:y\in (0,h)\}$ .

Det bör påpekas att den extrema längden av familjen av kurvor $\Gamma \,'$ som förbinder den nedre kanten av $R$ med den övre kanten av $R$ uppfyller $EL(\Gamma \,')=h/w$ , med samma argument. Därför är $EL(\Gamma )\,EL(\Gamma \,')=1$ . Det är naturligt att hänvisa till detta som en dualitetsegenskap av extremallängd, och en liknande dualitetsegenskap förekommer i samband med nästa underavsnitt. Observera att det i allmänhet är lättare att erhålla en nedre gräns på $EL(\Gamma )$ än att få en övre gräns, eftersom den nedre gränsen innebär att man väljer en ganska bra $\rho$ och uppskattar ${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma )^{2}/A(\rho )} ,$ medan den övre gränsen innebär att bevisa ett påstående om alla möjliga $\rho$ . Av denna anledning är dualitet ofta användbar när den kan fastställas: när vi vet att $EL(\Gamma )\,EL(\Gamma \,')= 1$ , en nedre gräns på $EL(\Gamma \,')$ översätts till en övre gräns på $EL(\Gamma )$ .

Extremt avstånd i annulus

Låt $r_{1}$ och $r_{2}$ vara två radier som uppfyller $0<r_{1}<r_{2}<\ infty$ . Låt $A$ vara annulus $A:=\{z\in \mathbb {C} :r_{1}<|z|<r_{2}\}$ och låt $C_{1}$ och $C_{2}$ är de två gränskomponenterna för $A$ : $C_{1}:=\{z:|z|=r_{1}\}$ och $C_{2}:=\{z:|z|=r_{2}\}$ . Betrakta extremavståndet i $A$ mellan $C_{1}$ och $C_{2}$ ; vilket är extremlängden för samlingen $\Gamma$ av kurvor $\gamma \subset A$ som förbinder $C_{1}$ och $C_{2}$ .

För att få en nedre gräns på $EL(\Gamma )$ tar vi $\rho (z)=1/|z|$ . Sedan för $\gamma \in \Gamma$ orienterad från $C_{1}$ till $C_{2}$

$\int _{\gamma }|z|^{-1}\,ds\geq \int _{\gamma }|z|^{-1}\,d|z|=\int _{\ gamma }d\log |z|=\log(r_{2}/r_{1}).$

Å andra sidan,

$A(\rho )=\int _{A}|z|^{-2}\,dx\,dy=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1} }^{r_{2}}r^{-2}\,r\,dr\,d\theta =2\,\pi \,\log(r_{2}/r_{1}).$

Det drar vi slutsatsen

$EL(\Gamma )\geq {\frac {\log(r_{2}/r_{1})}{2\pi }}.$

Vi ser nu att denna ojämlikhet verkligen är en jämlikhet genom att använda ett argument som liknar det som ges ovan för rektangeln. Betrakta en godtycklig Borel-mätbar $\rho$ så att $\ell :=L_{\rho }(\Gamma )>0$ . För $\theta \in [0,2\,\pi )$ låt $\gamma _{\theta }:( r_{1},r_{2})\till A$ betecknar kurvan $\gamma _{\theta }(r)=e^{i\theta }r$ . Sedan

$\ell \leq \int _{\gamma _{\theta }}\rho \,ds=\int _{r_{1}}^{r_{2}}\rho (e^{i\theta }r)\,dr.$

Vi integrerar över $\theta$ och tillämpar Cauchy-Schwarz-olikheten för att få:

$2\,\pi \,\ell \leq \int _{A}\rho \,dr\,d\theta \leq {\Bigl (}\int _{A}\rho ^{2}\ ,r\,dr\,d\theta {\Bigr )}^{1/2}{\Bigl (}\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_ {2}}{\frac {1}{r}}\,dr\,d\theta {\Bigr )}^{1/2}.$

Kvadrering ger

$4\,\pi ^{2}\,\ell ^{2}\leq A(\rho )\cdot \,2\,\pi \,\log(r_{2}/r_{1} ).$

Detta innebär den övre gränsen $EL(\Gamma )\leq (2\,\pi )^{-1}\, \log(r_{2}/r_{1})$ . När det kombineras med den nedre gränsen, ger detta det exakta värdet av extremallängden:

$EL(\Gamma )={\frac {\log(r_{2}/r_{1})}{2\pi }}.$

Extrem längd runt en annulus

Låt $r_{1},r_{2},C_{1},C_{2},\Gamma$ och $A$ vara som ovan , men låt nu $\Gamma ^{*}$ vara samlingen av alla kurvor som slingrar sig en gång runt ringen och skiljer $C_{1}$ från $C_{2}$ . Med hjälp av ovanstående metoder är det inte svårt att visa det

$EL(\Gamma ^{*})={\frac {2\pi }{\log(r_{2}/r_{1})}}=EL(\Gamma )^{-1}.$

Detta illustrerar ett annat exempel på extrem längddualitet.

Extrem längd av topologiskt väsentliga banor i projektivt plan

I exemplen ovan, extremal $\rho$ som maximerade förhållandet $L_{\rho }(\Gamma )^{2}/A(\rho )$ och gav den extrema längden motsvarade en platt metrik. Med andra ord, när den euklidiska riemannska metriken för den motsvarande plana domänen skalas med $\rho$ , är den resulterande metriken platt. I fallet med rektangeln var detta bara den ursprungliga metriken, men för annulusen är den identifierade extrema metriken metriken för en cylinder . Vi diskuterar nu ett exempel där ett extremvärde inte är platt. Det projektiva planet med den sfäriska metriken erhålls genom att identifiera antipodalpunkter på enhetssfären i $\mathbb {R} ^{3}$ med dess Riemannska sfäriska metrik. Med andra ord är detta sfärens kvot av kartan $x\mapsto -x$ . Låt $\Gamma$ beteckna uppsättningen av slutna kurvor i detta projektiva plan som inte är noll-homotopa . (Varje kurva i $\Gamma$ erhålls genom att projicera en kurva på sfären från en punkt till dess antipod.) Då är den sfäriska metriken extremal för denna kurvfamilj. (Definitionen av extremal längd sträcker sig lätt till Riemannska ytor.) Extremallängden är alltså $\pi ^{2}/(2\,\pi )=\pi /2$ .

Extrema längder av banor som innehåller en punkt

Om $\Gamma$ är en samling banor som alla har positiv diameter och som innehåller en punkt $z_{0}$ , då $EL(\Gamma )= \infty$ . Detta följer till exempel genom att ta

${\displaystyle \rho (z):={\begin{cases}(-|z-z_{0}|\,\log |z-z_{0}|)^{-1$ uppfyller $A( \rho )<\infty$ och $L_{\rho }(\gamma )=\infty$ för varje likriktbar $\gamma \in \Gamma$ .

Elementära egenskaper av extremal längd

Den extrema längden uppfyller några enkla monotoniska egenskaper. För det första är det tydligt att om ${\displaystyle \Gamma _{1}\subset \Gamma _{2}},$ då $EL( \Gamma _{1})\geq EL(\Gamma _{2})$ . Dessutom gäller samma slutsats om varje kurva $\gamma _{1}\in \Gamma _{1}$ innehåller en kurva $\gamma _{2}\ i \Gamma _{2}$ som en subkurva (det vill säga $\gamma _{2}$ är begränsningen av $\gamma _{1}$ till ett underintervall av dess domän) . En annan ibland användbar ojämlikhet är

$EL(\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2})\geq {\bigl (}EL(\Gamma _{1})^{-1}+EL(\Gamma _{2} )^{-1}{\bigr )}^{-1}.$

Detta är tydligt om $EL(\Gamma _{1})=0$ eller om $EL(\Gamma _{2})=0$ , i vilket fall den högra sidan tolkas som $0$ . Så anta att så inte är fallet och utan förlust av generalitet anta att kurvorna i $\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}$ alla är likriktbara. Låt $\rho _{1},\rho _{2}$ uppfylla $L_{\rho _{j}}(\Gamma _{ j})\geq 1$ för $j=1,2$ . Ställ in $\rho =\max\{\rho _{1},\rho _{2}\}$ . Sedan $L_{\rho }(\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2})\geq 1$ och $A(\rho )=\int \rho ^{2}\,dx \,dy\leq \int (\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2})\,dx\,dy=A(\rho _{1})+A(\ rho _{2})$ , vilket bevisar ojämlikheten.

Konform invarians av extremal längd

Låt $f:D\to D^{*}$ vara en konform homeomorfism (en bijektiv holomorf karta ) mellan plana domäner. Antag att $\Gamma$ är en samling kurvor i $D$ , och låt $\Gamma ^{*}:=\{ f\circ \gamma :\gamma \in \Gamma \}$ betecknar bildkurvorna under $f$ . Då $EL(\Gamma )=EL(\Gamma ^{*})$ . Denna konforma invarianssats är den främsta anledningen till att begreppet extremallängd är användbart.

Här är ett bevis på konform invarians. Låt $\Gamma _{0}$ beteckna uppsättningen av kurvor $\gamma \in \Gamma$ så att $f\circ \gamma$ är likriktbar, och låt ${\displaystyle \Gamma _{0}^{*}=\{f\circ \gamma :\gamma \in \Gamma _{0}\}}, vilket$ är uppsättning likriktbara kurvor i $\Gamma ^{*}$ . Antag att $\rho ^{*}:D^{*}\to [0,\infty ]$ är Borel-mätbar. Definiera

$\rho (z)=|f\,'(z)|\,\rho ^{*}{\bigl (}f(z){\bigr )}.$

En förändring av variabler $w=f(z)$ ger

$A(\rho )=\int _{D}\rho (z)^{2}\,dz\,d{\bar {z}}=\int _{D}\rho ^{*} (f(z))^{2}\,|f\,'(z)|^{2}\,dz\,d{\bar {z}}=\int _{D^{*}}\ rho ^{*}(w)^{2}\,dw\,d{\bar {w}}=A(\rho ^{*}).$

Antag nu att $\gamma \in \Gamma _{0}$ är likriktbar, och sätt $\gamma ^{*}:=f\circ \gamma$ . Formellt kan vi använda en förändring av variabler igen:

$L_{\rho }(\gamma )=\int _{\gamma }\rho ^{*}{\bigl (}f(z){\bigr )}\,|f\,'(z) |\,|dz|=\int _{\gamma ^{*}}\rho (w)\,|dw|=L_{\rho ^{*}}(\gamma ^{*}).$

För att motivera denna formella beräkning, anta att $\gamma$ är definierad i något intervall $I$ , låt $\ell (t)$ beteckna längden på begränsningen av ${ \displaystyle \gamma }$ till $I\cap (-\infty ,t]$ , och låt $\ell ^{*}(t)$ vara definieras på liknande sätt med $\gamma ^{*}$ istället för $\gamma$ . Då är det lätt att se att ${\displaystyle d\ell ^{*}(t)=|f\,'(\gamma (t))|\,d\ell (t)} , och detta$ innebär ${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=L_{\rho ^{*}}(\gamma ^{*})} ,$ efter behov. Ovanstående likheter ger,

$EL(\Gamma _{0})\geq EL(\Gamma _{0}^{*})=EL(\Gamma ^{*}).$

Om vi ​​visste att varje kurva i $\Gamma$ och $\Gamma ^{*}$ var likriktbar, skulle detta bevisa $EL( \Gamma )=EL(\Gamma ^{*})$ eftersom vi också kan tillämpa ovanstående med $f$ ersatt av dess invers och $\Gamma$ utbytt med $\Gamma ^ {*}$ . Det återstår att hantera de icke korrigerbara kurvorna.

Låt nu ${\hat {\Gamma }}$ beteckna uppsättningen av likriktbara kurvor $\gamma \in \Gamma$ så att $f\circ \gamma$ är icke rättelsebara. Vi hävdar att $EL({\hat {\Gamma }})=\infty$ . Ta faktiskt ${\displaystyle \rho (z)=|f\,'(z)|\,h(|f(z)|)} ,$ där $h(r)={\bigl (}r\,\log(r+2){\bigr )}^{-1}$ . Då ger en förändring av variabel enligt ovan

$A(\rho )=\int _{D^{*}}h(|w|)^{2}\,dw\,d{\bar {w}}\leq \int _{0} ^{2\pi }\int _{0}^{\infty }(r\,\log(r+2))^{-2}\,r\,dr\,d\theta <\infty .$

För $\gamma \in {\hat {\Gamma }}$ och $r\in (0,\infty )$ så att $f \circ \gamma$ finns i $\{z:|z|<r\}$ , vi har

$L_{\rho }(\gamma )\geq \inf\ {h(s):s\in [0,r]\}\,\mathrm {längd} (f\circ \gamma )=\infty$ .

Anta å andra sidan att $\gamma \in {\hat {\Gamma }}$ är sådan att $f\circ \gamma$ är obegränsad. Ställ in $H(t):=\int _{0}^{t}h(s)\,ds$ . Då $L_{\rho }(\gamma )$ åtminstone längden på kurvan $t\mapsto H(|f \circ \gamma (t)|)$ (från ett intervall i $\mathbb {R}$ till $\mathbb {R}$ ). Eftersom ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }H(t)=\infty } ,$ följer det att $L_{\rho }(\gamma )=\infty$ . Således, faktiskt, $EL({\hat {\Gamma }})=\infty$ .

Med hjälp av resultaten från föregående avsnitt har vi

$EL(\Gamma )=EL(\Gamma _{0}\cup {\hat {\Gamma }})\geq EL(\Gamma _{0})$ .

Vi har redan sett att $EL(\Gamma _{0})\geq EL(\Gamma ^{*})$ . Således, $EL(\Gamma )\geq EL(\Gamma ^{*})$ . Den omvända ojämlikheten gäller genom symmetri, och konform invarians etableras därför.

Vissa applikationer av extrem längd

Genom beräkningen av extremavståndet i en annulus och den konforma invariansen följer att annulus $\{z:r<|z|<R\}$ (där $0\leq r<R\leq \infty$ ) är inte konformt homeomorf till annulus $\{w:r^{*}<|w|<R^{*}\}$ om ${\frac {R}{r}} \neq {\frac {R^{*}}{r^{*}}}$ .

Extrem längd i högre dimensioner

Begreppet extremal längd anpassar sig till studiet av olika problem i dimension 3 och högre, särskilt i relation till kvasikonformella kartläggningar.

Diskret extremallängd

Antag att $G=(V,E)$ är någon graf och $\Gamma$ är en samling av banor i $G$ . Det finns två varianter av extremallängd i denna inställning. För att definiera kantens ytterlängd , som ursprungligen introducerades av RJ Duffin, överväg en funktion $\rho :E\to [0,\infty )$ . ρ $\rho$ -längden av en bana definieras som summan av $\rho (e)$ över alla kanter i banan, räknat med multiplicitet " Området " $A(\rho )$ definieras som $\sum _{e\in E}\rho (e)^{2}$ . Extremallängden för $\Gamma$ definieras sedan som tidigare. Om $G$ tolkas som ett motståndsnätverk , där varje kant har enhetsresistans, så är det effektiva motståndet mellan två uppsättningar av hörn exakt kantens extrema längd av samlingen av banor med en ändpunkt i en uppsättning och den andra slutpunkt i den andra uppsättningen. Således är diskret extremallängd användbar för uppskattningar i diskret potentialteori .

En annan uppfattning om diskret extremallängd som är lämplig i andra sammanhang är vertexextremallängd , där $\rho :V\to [0,\infty )$ , arean är ${\displaystyle A(\rho ):=\sum _{v\in V}\rho (v)^{2}} ,$ och längden på en väg är summan av $\rho (v)$ över de hörn som sökvägen besöker, med multiplicitet.

Anteckningar

•   Ahlfors, Lars V. (1973), Konformella invarianter: ämnen i geometrisk funktionsteori , New York: McGraw-Hill Book Co., MR 0357743
• Duffin, RJ (1962), "The extremal length of a network", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 5 (2): 200–215, doi : 10.1016/S0022-247X(62)80004-3
• Lehto, O.; Virtanen, KI (1973), Quasiconformal mappings in the plane (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag