Ovanligt antal

Demonstration, med Cuisenaire-stavar , att talet 10 är ett ovanligt tal, dess största primtal är 5, vilket är större än √10 ≈ 3,16

I talteorin är ett ovanligt tal ett naturligt tal n vars största primtalsfaktor är strikt större än ${\sqrt {n}}$ .

Ett k - jämnt tal har alla sina primtalsfaktorer mindre än eller lika med k , därför är ett ovanligt tal icke- ${\sqrt {n}}$ -jämnt.

Relation till primtal

Alla primtal är ovanliga. För varje primtal p är dess multipler mindre än p ² ovanliga, det vill säga p , ... ( p -1) p , som har en densitet 1/ p i intervallet ( p , p ² ).

Exempel

De första ovanliga siffrorna är

2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, ... (sekvens A064052 i OEIS )

De första få icke-primtal (sammansatta) ovanliga talen är

6, 10, 14, 15, 20, 21, 22, 26, 28, 33, 34, 35, 38, 39, 42, 44, 46, 51, 52, 55, 57, 58, 62, 65, 6 68, 69, 74, 76, 77, 78, 82, 85, 86, 87, 88, 91, 92, 93, 94, 95, 99, 102, ... (sekvens A063763 i OEIS )

Distribution

Om vi ​​betecknar antalet ovanliga tal mindre än eller lika med n med u ( n ) så beter sig u ( n ) enligt följande:

n	u ( n )	u ( n ) / n
10	6	0,6
100	67	0,67
1000	715	0,72
10 000	7319	0,73
100 000	73322	0,73
1000000	731660	0,73
10000000	7280266	0,73
100000000	72467077	0,72
1000000000	721578596	0,72

Richard Schroeppel konstaterade 1972 att den asymptotiska sannolikheten för att ett slumpmässigt valt tal är ovanligt är ln(2) . Med andra ord:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {u(n)}{n}}=\ln(2)=0,693147\dots \,.$

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Rough Number" . MathWorld .