Davenport–Schmidts sats

Inom matematiken , närmare bestämt området för Diophantine approximation , berättar Davenport-Schmidts sats hur väl ett visst slags reellt tal kan approximeras av ett annat slag. Specifikt säger det oss att vi kan få en bra approximation till irrationella tal som inte är kvadratiska genom att använda antingen kvadratiska irrationala eller helt enkelt rationella tal . Den är uppkallad efter Harold Davenport och Wolfgang M. Schmidt .

Påstående

Givet ett tal α som är antingen rationellt eller en kvadratisk irrationell, kan vi hitta unika heltal x , y och z så att x , y och z inte alla är noll, den första icke-noll bland dem är positiv, de är relativt bra, och det har vi

$x\alpha ^{2}+y\alpha +z=0.$

Om α är en kvadratisk irrationell kan vi ta x , y och z för att vara koefficienterna för dess minimala polynom . Om α är rationell kommer vi att ha x = 0. Med dessa heltal unikt bestämda för varje sådant α kan vi definiera höjden av α som

$H(\alpha )=\max\{|x|,|y|,|z|\}.$

Satsen säger sedan att för varje reellt tal ξ som varken är rationellt eller kvadratiskt irrationellt kan vi hitta oändligt många reella tal α som är rationella eller kvadratiska irrationala och som uppfyller

${\displaystyle |\xi -\alpha |<CH(\alpha )^{-3}\max(1,\xi ^{2})$

där C är ett reellt tal som uppfyller C > 160/9.

Medan satsen är relaterad till Roths sats ligger dess verkliga användning i det faktum att den är effektiv , i den meningen att konstanten C kan utarbetas för en given ξ.

Anteckningar

• Wolfgang M. Schmidt . Diofantisk approximation . Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 med smärre korrigeringar])
• Wolfgang M. Schmidt. Diofantiska approximationer och diofantiska ekvationer , Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000

externa länkar

• "Davenport-Schmidts teorem" . PlanetMath .