Cramérs gissning

I talteorin är Cramérs gissning , formulerad av den svenske matematikern Harald Cramér 1936, en uppskattning av storleken på gap mellan på varandra följande primtal : intuitivt, att gap mellan på varandra följande primtal alltid är små, och gissningen kvantifierar asymptotiskt hur små de måste vara. Det står det

p_{n+1}-p_{n}=O((\log p_{n})^{2}), \

där p _n anger det n: te primtalet , O är stor O-notation och "log" är den naturliga logaritmen . Även om detta är det uttalande som Cramér uttryckligen antar, stöder hans heuristik faktiskt det starkare uttalandet

\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n} }{(\log p_{n})^{2}}}=1,

och ibland kallas denna formulering för Cramérs gissning. Denna starkare version stöds dock inte av mer exakta heuristiska modeller, som ändå stöder den första versionen av Cramérs gissning. Ingendera formen har ännu bevisats eller motbevisats.

Villkorligt beprövade resultat på prime gap

Cramér gav ett villkorligt bevis för det mycket svagare uttalandet att

p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\log p_{ n})

på antagandet av Riemann-hypotesen . Den mest kända ovillkorliga bunden är

p_{n+1}-p_{n}=O(p_{n}^{0.525})

på grund av Baker, Harman och Pintz .

Åt andra hållet bevisade E. Westzynthius 1931 att primgap växer mer än logaritmiskt. Det är,

\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .

Hans resultat förbättrades av RA Rankin , som bevisade det

style

Paul Erdős förmodade att den vänstra sidan av ovanstående formel är oändlig, och detta bevisades 2014 av Kevin Ford , Ben Green , Sergei Konyagin och Terence Tao .

Heuristisk motivering

Cramérs gissning är baserad på en probabilistisk modell – i huvudsak en heuristik – där sannolikheten att ett tal av storleken x är primtal är 1/log x . Detta är känt som Cramér-slumpmodellen eller Cramér-modellen av primtal.

I Cramérs slumpmässiga modell,

\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ log ^{2}p_{n}}}=1

med sannolikhet ett . Men som påpekats av Andrew Granville visar Maiers sats att Cramérs slumpmässiga modell inte på ett adekvat sätt beskriver fördelningen av primtal på korta intervall, och en förfining av Cramérs modell som tar hänsyn till delbarhet med små primtal antyder att $c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1,1229\ldots$ ( OEIS : A125313 ), där $\gamma$ är Euler–Mascheroni-konstanten . János Pintz har föreslagit att gränsen sup kan vara oändlig, och på samma sätt skriver Leonard Adleman och Kevin McCurley

Som ett resultat av H. Maiers arbete om klyftor mellan på varandra följande primtal har den exakta formuleringen av Cramérs gissning ifrågasatts [...] Det är förmodligen fortfarande sant att för varje konstant c > 2 {\ $2 }$ , det finns en konstant $d>0$ så att det finns ett primtal mellan $x$ och $x+d(\log x)^ {c}$ .

Likaså skriver Robin Visser

I själva verket, på grund av det arbete som utförts av Granville, är det nu en allmän uppfattning att Cramérs gissning är falsk. Det finns faktiskt vissa satser om korta intervall mellan primtal, såsom Maiers sats, som motsäger Cramérs modell.

(interna referenser har tagits bort).

Relaterade gissningar och heuristik

Prime gap funktion

Daniel Shanks antog följande asymptotiska likhet, starkare än Cramérs gissning, för rekordluckor: $G(x)\sim \log ^{2}x.$

JH Cadwell har föreslagit formeln för de maximala luckorna: $G(x)\sim \log ^{2}x-\log x \log \log x,$ som formellt är identisk med Shanks-förmodan men föreslår en term av lägre ordning.

Marek Wolf har föreslagit formeln för de maximala luckorna $G(x)$ uttryckt i termer av primräkningsfunktionen $\pi (x)$ :

G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}( 2\log \pi (x)-\log x+c),

där $c=\log(C_{2})=0,2778769...$ och $C_{2}=1,3203236 ...$ är två gånger tvillingprimtalskonstanten ; se OEIS : A005597 , OEIS : A114907 . Detta motsvarar återigen formellt Shanks gissning men föreslår termer av lägre ordning

G(x)\sim \log ^{2}x-2\log x\log \log x-(1-c)\log x.

.

Thomas Nicely har räknat ut många stora primtal gap. Han mäter passformens kvalitet enligt Cramérs gissning genom att mäta förhållandet

R={\frac {\log p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}.

Han skriver, "För de största kända maximala luckorna har $R$ legat nära 1,13."

Se även

Primtalssatsen
Legendres gissningar och Andricas gissningar , mycket svagare men fortfarande obevisade övre gränser för prime gap
Firoozbakhts gissning
Maiers sats om antalet primtal i korta intervall för vilka modellen förutsäger ett felaktigt svar

Guy, Richard K. (2004). Olösta problem i talteorin (3:e uppl.). Springer-Verlag . A8. ISBN 978-0-387-20860-2 . Zbl 1058.11001 .
Pintz, János (2007). "Cramér vs. Cramér. Om Cramérs probabilistiska modell för primtal" . Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici . 37 (2): 361–376. doi : 10.7169/facm/1229619660 . ISSN 0208-6573 . MR 2363833 . Zbl 1226.11096 .
Soundararajan, K. (2007). "Fördelningen av primtal". I Granville, Andrew ; Rudnick, Zeév (red.). Likfördelning i talteori, en introduktion. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on equidistribution in number theory, Montréal, Kanada, 11–22 juli 2005 . NATO Science Series II: Matematik, fysik och kemi. Vol. 237. Dordrecht: Springer-Verlag . s. 59–83. ISBN 978-1-4020-5403-7 . Zbl 1141.11043 .

externa länkar